專(zhuān)題三-柯西不等式的應(yīng)用

1、專(zhuān)題三 不等式的證明 （柯西不等式）1下列不等式的證明明過(guò)程：若a，bR，則 若x，yR，則；若xR，則；若a，bR，ab0，則其中正確的序號(hào)是 2設(shè)a，bR+，a+b=1，則+的最小值為（ ）A.2+ B.2 C.3 D.3已知ab0，cd0，則與的大小關(guān)系為 4已知a，b，cR，且a+b+c=0，abc0，則+的值（ ）A.小于0 B.大于0 C.可能是0 D.正負(fù)不能確定5若不等式（1）na2+對(duì)任意nN*恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）A.2，） B.（2，） C.3，） D.（3，）6設(shè)a，b，c（，0），則對(duì)于a+，b+，c+，下列正確的是 都不大于2 都不小于2 至少有一個(gè)不小

2、于2 至少有一個(gè)不大于27定義在R上的函數(shù)f（x）=mx2+2x+n的值域是0，+），又對(duì)滿(mǎn)足前面要求的任意實(shí)數(shù)m，n都有不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為（ ）A.2013 B.1 C. D.8已知a、b、c是ABC的三邊長(zhǎng)，A=，B=，則（ ）A.AB B.AB C.AB D.AB9設(shè)正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的最大值為（ ）A.0 B. 2 C . D. 10設(shè)正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為（ ）A B C D11（2012湖北）設(shè)a，b，c，x，y，z是正數(shù)，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，則=（ ）A. B. C. D.12用柯西

3、不等式求函數(shù)y=的最大值為（ ）A. B.3 C.4 D.513若，則函數(shù)的最大值為（ ）A. B. C. D.14對(duì)任意正數(shù)x，y不等式（k）x+ky恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值是（ ）A.1 B.2 C.3 D.415已知x2+4y2+kz2=36，且x+y+z的最大值為7，則正數(shù)k等于（ ）A.1 B.4 C.8 D.916設(shè)x、y、z是正數(shù)，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，則x+y+z等于（ ）A. B. C. D.17已知x，y，z均為正數(shù)，且x+y+z=2，則+的最大值是（ ）A.2 B.2 C.2 D.318實(shí)數(shù)ai（i=1，2，3，4，5，6）滿(mǎn)足（a2a1）2+

4、（a3a2）2+（a4a3）2+（a5a4）2+（a6a5）2=1則（a5+a6）（a1+a4）的最大值為（ ）A.3 B.2 C. D.119設(shè)a，b，c，x，y，z均為正數(shù)，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，則等于()A. B. C. D.參考答案1、【解析】試題分析：依次分析4個(gè)命題：a0，b0時(shí)，0，故不正確當(dāng)x=，y=時(shí)，檢驗(yàn)不正確，利用基本不等式可得正確，綜合可得答案解：當(dāng)a，bR且 a0，b0時(shí)，0，故不正確當(dāng)x=，y=時(shí)，lgx 和lgy 都等于lg2，小于0，故不正確|=|x|+|2=4，故正確若a，bR，ab0，則，故正確故答案為 、點(diǎn)評(píng)：本題考查不等

5、式性質(zhì)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，注意考慮特殊情況和基本不等式的使用條件，屬于中檔題2D【解析】試題分析：利用二維形式的柯西不等式求得 的最小值為10，可得+的最小值解：a，bR+，a+b=1，a2+b2=12ab，又=a2+b2+5+262ab+2=62ab+2（ab+2）=10，+，當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)，等號(hào)成立，故+的最小值為，故選：D點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用二維形式的柯西不等式求函數(shù)的最小值，屬于基礎(chǔ)題3【解析】試題分析：將兩個(gè)式子作差、變形、依據(jù)條件及不等式的性質(zhì)判斷符號(hào)，從而得到結(jié)論解：=因?yàn)?ab0，cd0，所以，ac0，bd0，ba0，又cd0，則有acbd，即 acbd，則 bdac0，

6、所以（b+a）（ba）（bdac）0，所以，=0，即 故答案為 點(diǎn)評(píng)：本題考查用比較法證明不等式的方法和步驟，將兩個(gè)式子作差、變形、判斷符號(hào)，其中，判斷符號(hào)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵當(dāng)然，本題還可采用特殊值法進(jìn)行比較這兩個(gè)式子的大小關(guān)系4A【解析】試題分析：因?yàn)閍+b+c=0，abc（乘積）是正數(shù)，則這三個(gè)數(shù)中只能有一個(gè)正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)把a(bǔ)+b+c=0變形代入代數(shù)式，運(yùn)用柯西不等式即可判斷解：a+b+c=0，abc0，a，b，c中只能有一個(gè)正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)，不妨設(shè)a0，b0，c0由a+b+c=0得a=（b+c）代入得，+=+，（b）+（c）（）4，即，=0，故選A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查柯西不等式的運(yùn)用，

7、解題的關(guān)鍵是由條件正確判斷a，b，c的符號(hào)5A【解析】試題分析：對(duì)n進(jìn)行分類(lèi)討論，分離出參數(shù)a，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問(wèn)題解決解：當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，a2恒成立，又2為增函數(shù)，其最小值為2=a當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，a2+，即a2恒成立而2為增函數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)n，有22，a2故a2，）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了不等式的證明及恒成立問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題6【解析】試題分析：因?yàn)閍，b，c（，0），所以a+b+c+6，再假設(shè)三個(gè)數(shù)都小于2，則a+b+c+6，所以假設(shè)錯(cuò)誤所以對(duì)立面成立，即至少有一個(gè)不小于2解：因?yàn)閍，b，c（，0），所以a+b+c+6假設(shè)三個(gè)數(shù)都小于2則a+b+c+6所以假設(shè)錯(cuò)誤所以至少有一個(gè)不

8、小于2故正確的序號(hào)為，故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，正難則反的思想，屬于一道基礎(chǔ)題7A【解析】試題分析：根據(jù)已知條件可以得到m0，mn=1，n0由已知的不等式可得：只要讓小于等于的最小值即可因?yàn)閙，n0，所以有=，所以只要求的最大值即可，所以只要求m2+n2的最小值即可，根據(jù)m2+n22mn=2知m2+n2的最小值為2，這樣即可求出的最小值為1，所以，所以就能得到a的最大值了解：定義在R上的函數(shù)f（x）=mx2+2x+n的值域是0，+）；m0，mn=1，n0；=；m2+n22mn=2，2+m2+n24，；即的最大值為1；，即的最小值是1；，a2013，實(shí)數(shù)a的最大值為2013故

9、選A點(diǎn)評(píng)：考查二次函數(shù)：y=ax2+bx+c值域的求法，利用基本不等式：a+b，a2+b22ab求最值8A【解析】試題分析：由題意得 ca+b，故 B=，變形后再放大，可證小于 A解：a、b、c是ABC的三邊長(zhǎng)，ca+b，B=+=A，BA，故選 A點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的邊長(zhǎng)的性質(zhì)，用放縮法證明不等式9B【解析】試題分析：由已知得，時(shí)等號(hào)成立，代入已知得，則。10B 【解析】試題分析：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，因此，所以.考點(diǎn)：（1）基本不等式的應(yīng)用，（2）利用二次函數(shù)求最值。 11C【解析】試題分析：根據(jù)所給條件，利用柯西不等式求解，利用等號(hào)成立的條件即可解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（x2

10、+y2+z2）（ax+by+cz）2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，等號(hào)成立=故選C點(diǎn)評(píng)：柯西不等式的特點(diǎn)：一邊是平方和的積，而另一邊為積的和的平方，因此，當(dāng)欲證不等式的一邊視為“積和結(jié)構(gòu)”或“平方和結(jié)構(gòu)”，再結(jié)合不等式另一邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去嘗試構(gòu)造12C【解析】試題分析：由柯西不等式可得，函數(shù)y=，從而求得函數(shù)的最大值解：由柯西不等式可得，函數(shù)y=4，當(dāng)且僅當(dāng)= 時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)y的最大值為4，故選：C點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二維形式的柯西不等式（ac+bd）2（a2+b2）（c2+d2），在求解函數(shù)最值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題13C【解析

11、】試題分析：由柯西得不等式，選C.考點(diǎn)：柯西不等式.14A【解析】試題分析：根據(jù)題意可得（k）x+ky2，不等式（k）x+ky恒成立，可得2，化簡(jiǎn)可得（2k+1）（k1）0，由此求得k的最小值解：由所給的選項(xiàng)可得k1，（k）x+ky2，x、y都是正實(shí)數(shù)，不等式（k）x+ky恒成立，2，2，化簡(jiǎn)可得 （2k+1）（k1）0解得 k （舍去），或k1，故k的最小值為1，故選：A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題15D【解析】試題分析：由柯西不等式可得 （x2+4y2+kz2）（1+）（x+y+z）2，再根據(jù)x+y+z的最大值為7，可得36（1

12、+）=49，由此求得正數(shù)k的值解：由題意利用柯西不等式可得 （x2+4y2+kz2）（1+）（x+y+z）2，即 36（1+）（x+y+z）2再根據(jù)x+y+z的最大值為7，可得36（1+）=49，求得正數(shù)k=9，故選：D點(diǎn)評(píng)：本題主要考查柯西不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題16A【解析】試題分析：運(yùn)用柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）（ad+be+cf）2，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立解：x、y、z是正數(shù)，x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，（22+22+12）（x2+4y2+9z2）=94（2x+4y+3z）2=36，可設(shè)，（k為常數(shù)），代入2x+4y+3z=6，得k=，x+y+z

13、=故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查三元柯西不等式及應(yīng)用，考查基本的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題17C【解析】試題分析：利用柯西不等式，可得（1+2+3）（x+y+z）（+）2，結(jié)合x(chóng)+y+z=2，即可求出+的最大值解：x、y、z是正數(shù)，（1+2+3）（x+y+z）（+）2，x+y+z=2，+=2，+的最大值是2故選：C點(diǎn)評(píng)：本題考查三元柯西不等式及應(yīng)用，考查基本的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題18B【解析】試題分析：由柯西不等式可得：（a2a1）2+（a3a2）2+（a4a3）2+（a5a4）2+（a6a5）2（1+1+1+4+1）（a2a1）+（a3a2）+（a4a3）+2（a5a4）+（a6a5）2，結(jié)合條件，即可得出結(jié)論解：由柯西不等式可得：（a2a1）2+（a3a2）2+（a4a3）2+（a5a4）2+（a6a5）2（1+1+1+4+1）（a2a1）+（a3a2）+（a4a3）+2（a5a4）+（a6a5）2=（a5+a6）（a1+a4）2，（a5+a6）（a1+a4）28，（a5+a6）（a1+a4）2，（a5+a6）（a1+a4）的最大值為2，故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查柯西不等式，