利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值ppt課件

1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,高二數(shù)學(xué),知識(shí)與技能目標(biāo)：理解極大值、極小值的概念；能夠運(yùn)用判別極大值、極小值的方法來求函數(shù)的極值；掌握求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟； 過程與方法目標(biāo)：多讓學(xué)生舉例說明，培養(yǎng)他們的辨析能力，以及培養(yǎng)他們分析問題和解決問題的能力； 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,教學(xué)目標(biāo),教學(xué)重點(diǎn)：極大、極小值的概念和判別方法，以及求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟. 教學(xué)難點(diǎn)：對極大、極小值概念的理解及求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟,教學(xué)重難點(diǎn),利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性這個(gè)問題.其基本的步驟為,求函數(shù)的定義域,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f (x),解不等式f (x)0得f(x)的

2、單調(diào)遞增區(qū)間; 解不等式f (x) 0得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間,教學(xué)目標(biāo),函數(shù)在x=0的函數(shù)值比它附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大，我們說f (0)是函數(shù)的一個(gè)極大值； 函數(shù)在x=2的函數(shù)值比它附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都小，我們說f(2)是函數(shù)的一個(gè)極小值,右圖為函數(shù)y=2x36x2+7的圖象,從圖象我們可以看出下面的結(jié)論,函數(shù)的極值,一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0及其附近有定義, 如果f(x0)的值比x0附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大, 我們說f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)極大值; 如果f(x0)的值比x0附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都小, 我們說f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)極小值. 極大值與極小值統(tǒng)稱極

3、值,在定義中,取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn),極值點(diǎn)是自變量的值,極值指的是對應(yīng)的函數(shù)值,課前預(yù)習(xí),2)函數(shù)的極值不是唯一的.即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè),請注意以下幾點(diǎn),1)極值是一個(gè)局部概念.由定義,極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小.并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小.也就是說極值與最值是兩個(gè)不同的概念,3)極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系.即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值,如下圖所示, x1是極大值點(diǎn), x4是極小值點(diǎn),而f(x4)f(x1,4)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部,區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn).而使函數(shù)取得最大值、最小值的

4、點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部,也可能在區(qū)間的端點(diǎn),在上節(jié)課中,我們是利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性的.下面我們利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的極值問題,由上圖可以看出, 在函數(shù)取得極值處,如果曲線有切線的話, 則切線是水平的,從而有f (x) =0 .但反過來不一定. 如函數(shù)y=x3, 在x=0處, 曲線的切線是水平的, 但這點(diǎn)的函數(shù)值既不比它附近的點(diǎn)的函數(shù)值大,也不比它附近的點(diǎn)的函數(shù)值小. 假設(shè)x0使f (x) =0 .那么在什么情況下x0是f(x)的極值點(diǎn)呢,如上圖所示,若x0是f(x)的極大值點(diǎn), 則x0兩側(cè)附近點(diǎn)的函數(shù)值必須小于f(x0) . 因此, x0的左側(cè)附近f(x)只能是增函數(shù), 即f (x

5、) 0; x0的右側(cè)附近f(x)只能是減函數(shù), 即f (x) 0,同理, 如上圖所示,若x0是f(x)極小值點(diǎn),則在x0的左側(cè)附近f(x)只能是減函數(shù), 即f (x) 0,從而我們得出結(jié)論:若x0滿足f (x) =0, 且在x0的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào), 則x0是f(x)的極值點(diǎn), f(x0)是極值,并且如果f (x)在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”, 則x0是f(x)的極大值點(diǎn), f(x0)是極大值; 如果f (x) 在x0兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”, 則x0是f(x)的極小值點(diǎn), f(x0)是極小值,從曲線的切線角度看,曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為0, 并且,曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正,右側(cè)為負(fù); 曲線在

6、極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù),右側(cè)為正,求函數(shù)y=f(x)的極值f(x0)，并判別f(x0)是極大(小)值的方法是,3) 如果在根x0附近的左側(cè) f (x) 0, 右側(cè)f (x) 0, 那么, f(x0)是極大值,4) 如果在根x0附近的左側(cè)f (x) 0, 那么, f(x0)是極小值,1）求導(dǎo)數(shù)f (x); （2）求方程f(x)=0的所有實(shí)數(shù)根,如果在f(x)=0的根x=x0的左、右側(cè)，f(x) 的符號(hào)不變，則f(x0)不是極值. 即:f(x)=0的根不一定都是函數(shù)的極值點(diǎn)。 由此可見，可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0取得極值 的充分必要條件是f(x0)=0，且在x0左側(cè) 與右側(cè)，f(x)的符號(hào)不同。

7、很明顯， f(x0)=0是x0為極值點(diǎn)的必要條件， 并非充分條件,注意,如何求函數(shù)的最大（?。┲的?假設(shè)y=f(x)在閉區(qū)間a，b上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，則該函數(shù)在a，b一定能夠取得最大值與最小值，函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)取得。由于可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值只可能在使f (x)=0的點(diǎn)取得，因此把函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的值與區(qū)間內(nèi)使f (x)=0的點(diǎn)的值作比較，最大者必為函數(shù)在a，b上的最大值，最小者必為最小值,求函數(shù)y=f(x)在a，b的最大（?。┲挡襟E如下： （1）求函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)所有使f (x)=0的點(diǎn)； （2）計(jì)算函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)使f (x)=0的所有

8、點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值,例1已知函數(shù)y= x34x+4， （1）求函數(shù)的極值，并畫出函數(shù)的大致圖象； （2）求函數(shù)在區(qū)間3，4上的最大值和最小值,解：（1）y=( x34x+4)=x24 =(x+2)(x2,令y=0，解得x1=2，x2=2,當(dāng)x變化時(shí)，y，y的變化情況如下表,當(dāng)x=2時(shí)，y有極大值且y極大值,當(dāng)x=2時(shí)，y有極小值且y極小值,2）f(3)=7，f(4)=9 =,與極值點(diǎn)的函數(shù)值比較得到該函數(shù)在區(qū)間3，4上 最大值是9 ， 最小值是,例2求y=(x21)3+1的極值,解：y=6x(x21)2=6x(x+1)2(x1)2 令y=0解得x1=1

9、，x2=0，x3=1. 當(dāng)x變化時(shí)，y，y的變化情況如下表,當(dāng)x=0時(shí)，y有極小值且y極小值=0,例3求函數(shù)y=x42x2+5在區(qū)間2，2上的最大值與最小值,解：先求導(dǎo)數(shù)，得y =4x34x, 令y =0 即4x34x=0,解得x1=1，x2=0，x3=1. 導(dǎo)數(shù)y 的正負(fù)以及f(2)，f(2)如下表,從上表知: 當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有最大值13， 當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最小值4,1函數(shù)y=1 +3xx3有( ) (A) 極小值1，極大值1 (B) 極小值2，極大值3 (C) 極小值2，極大值2 (D) 極小值1，極大值3,D,達(dá)標(biāo)練習(xí),2函數(shù)y(x21)31的極值點(diǎn)是( ) (A) 極大值點(diǎn)x=1 (B) 極大值點(diǎn)x=0 (C) 極小值點(diǎn)x=0 (D) 極小值點(diǎn)x=1,C,3函數(shù)f(x)=x 的極值情況是( ) (A) 當(dāng)x=1時(shí)取極小值2，但無極大值 (B) 當(dāng)x=1時(shí)取極大值2，但無極小值 (C) 當(dāng)x=1時(shí)取極小值2，當(dāng)x=1時(shí)取極大值2 (D) 當(dāng)x=1時(shí)取極大值2，當(dāng)x=1時(shí)取極小值2,D,4若函數(shù)y=x3+ax2bx27在x=3時(shí)有極大值，在x=1時(shí)有極小值，則a= ； b=,3,9,5函數(shù)y=348xx3的 極大值是 , 極小值是,y|x=4=125,y|x=4=131,6函數(shù)