(完整版)高一上學(xué)期數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)(含答案),推薦文檔

1、一、集合與命題高一上學(xué)期數(shù)學(xué)知識概念方法題型易誤點(diǎn)技巧總結(jié)91. 集合元素具有確定性、無序性和互異性. 在求有關(guān)集合問題時，尤其要注意元素的互異性，如（1）設(shè) p、 q 為兩個非空實(shí)數(shù)集合，定義集合 p + q = a + b | a p, b q，若 p = 0, 2, 5， q = 1,2,6，則 p + q 中元素的有 個。（答：8）（2）非空集合 s 1,2,3,4,5，且滿足“若 a s ，則6 - a s ”，這樣的 s 共有個（答：7）2. 遇到 a i b = 時，你是否注意到“極端”情況： a = 或 b = ；同樣當(dāng) a b 時，你是否忘記 a = 的情形？要注意到 是任何

2、集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合 a = x | ax -1 = 0，2b = x| x2 - 3x + 2 = 0，且 a u b = b ，則實(shí)數(shù) a .（答： a = 0,1, 1 ）3. 對于含有 n 個元素的有限集合 m ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為 2n ，2n - 1， 2n - 1，2n - 2. 如滿足1, 2 m 1, 2, 3, 4, 5集合 m 有 個。（答：7）4. 集合的運(yùn)算性質(zhì)： a u b = a b a ； a i b = b b a ； a b ua ub ； a i ub = ua b ； ua u b = u a b ；

3、cu ( a i b)= cu a u cu b ； cu ( a u b) = cu a i cu b .如設(shè)全集u + 1,2,3,4,5，若 a i b + 2， (cu a) i b + 4，(cu a) i (cu b) + 1,5，則 a，b.（答： a = 2, 3， b = 2, 4）5. 研究集合問題，一定要理解集合的意義抓住集合的代表元素。如：x| y = f (x)函數(shù)的定義域；y | y = f (x)函數(shù)的值域；(x, y) | y = f (x)函數(shù)圖象上的點(diǎn)集，如設(shè)集合 m = x | y =x - 2，集合 ny | y = x2 , x m ，則 m i n

4、= _（答：4, +) ）；6. 數(shù)軸和韋恩圖是進(jìn)行交、并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具，在具體計算時不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況，補(bǔ)ax - 5集思想常運(yùn)用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題。如已知關(guān)于 x 的不等式5 m 求實(shí)數(shù) 5a 的取值范圍。x2 - a 1，證明方程 f (x) = 0 沒有負(fù)數(shù)根。8. 充要條件。關(guān)鍵是分清條件和結(jié)論（劃主謂賓），由條件可推出結(jié)論，條件是結(jié)論成立的充分條件；由結(jié)論可推出條件，則條件是結(jié)論成立的必要條件。從集合角度解釋，若 a b ，則 a 是 b 的充分條件；若 b a ，則 a 是b 的必要條件；若 a=b，則 a 是 b 的充要條件。如設(shè)命題 p：

5、 | 4x - 3 | 1 ；命題 q: x 2 - (2a + 1)x + a(a + 1) 0 。若1p 是 q 的必要而不充分的條件，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（答： 0, ）2二、不等式1. 不等式的性質(zhì)：（1） 同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若 a b, c d ，則 a + c b + d （若 a b, c b - d ），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；（2） 左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若a b 0, c d 0 ，則 ac bd （若 a b 0, 0 c b ）；cdn b（3） 左右同正不等式：

6、兩邊可以同時乘方或開方：若 a b 0 ，則 an bn 或 n a ；1 1 ；若 ab b ，則 1 1 。（4） 若 ab 0 ， a b ，則abab如（1）對于實(shí)數(shù) a, b, c 中，給出下列命題： 若a b,則ac 2 bc 2 ； 若ac 2 bc 2 ,則a b ； 若a b ab b 2 ； 若a b 0,則1 1 ；ab 若a b a ； 若a b b ； 若c a b 0,則 a b 、a b, 1 1 ，abc - ac - b ；ab則 a 0, b b c ，且 a + b + c = 0, 則c的取值范圍是（答： -2, - 1 ）a2 2. 不等式大小比較的常

7、用方法：（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；（2） 作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量或放縮法 ；（8）圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。如設(shè) a 2 ， p = a +1a - 2， q = 2-a2 +4a-2 ，試比較 p, q 的大小（答： p q ）3. 一元一次不等式的解法：通過去分母、去括號、移項、合并同類項等步驟化為 ax b 的形式，若 a 0 ,則x b ；若 a 0 ,則 x b ；若 a = 0 ,則當(dāng)b 0 時， x r ；當(dāng)b 0

8、 時， x 。如已知關(guān)于 x 的不等式aa(a + b)x + (2a - 3b) 0 的解集為（答：3x | x -3）4. 一元二次不等式的解集（聯(lián)系圖象）。尤其當(dāng)d = 0 和d 0 , x1, x2 是方程 ax2 + bx + c = 0 的兩實(shí)根，且 x 0ax2 + bx + c 0ax2 + bx + c 0x | x x2x | x x1 或 x x2x | x1 x x2x | x1 x x2d = 0x | x - b 2arfx | x = - b 2ad 0rrff如解關(guān)于 x 的不等式： ax2 - (a + 1)x + 1 1 ；當(dāng) a 1 或 x 1 ；當(dāng)a0

9、a 1時，1 x 1 時， 1 x 1 ）aa5. 對于方程 ax 2 + bx + c = 0 有實(shí)數(shù)解的問題。首先要討論最高次項系數(shù) a 是否為 0，其次若 a 0 ，則一定有d = b 2 - 4ac 0 。對于多項式方程、不等式、函數(shù)的最高次項中含有參數(shù)時，你是否注意到同樣的情形？如：（1） (a - 2)x2 + 2 (a - 2)x -1 0)y6. 一元二次方程根的分布理論。方程 f (x) = ax2 + bx + c = 0(a 0) 在(k,+) 上有兩根、在(m, n) 上有兩根、在(-, k ) 和(k,+) 上各有一根的充要條件分別是什么？d 0（ f (k ) 0d

10、 0f (m) 0、 f (n) 0、 f (k ) km - b 0 ，求實(shí)數(shù) p 的取值范圍。（答： (-3, 3) ）27. 二次方程、二次不等式、二次函數(shù)間的聯(lián)系你了解了嗎？二次方程 ax2 + bx + c = 0 的兩個根即為二次不等式3ax2 + bx + c 0( ax +的解集是(4, b) ，則 a =2（答： 1 ）；（2）若關(guān)于 x 的不等式 ax2 + bx + c + 0 的解集為8112（答：(+, m) u (n,+)，其中m + n + 0 ，則關(guān)于 x 的不等式cx2 + bx + a + 0 的解集為（答：(+,+ ) u (+ ,+) ）；（3）不等式3

11、x - 2bx +1 0 對 x -1, 2恒成立，則實(shí)數(shù)b 的取值范圍是mn ）。8. 簡單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：（1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；（2）將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn) f (x) 的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。如：（1）解不等式(x -1)(x + 2)2 0 。（答： 1,+)u -2）x2 - 2x - 3（2） 不等式(x - 2) 0 的解集是（答： 3, +)u -1）（3） 設(shè)函數(shù) f (x) 、 g(x) 的定義域都是 r，且

12、 f (x) 0 的解集為x |1 x 0 的解集為（答： (-,1)u2, +)）（4） 要使?jié)M足關(guān)于 x 的不等式2x 2 - 9x + a 0 （解集非空）的每一個 x 的值至少滿81足不等式x 2 - 4x + 3 0和x 2 - 6x + 8 0 中的一個，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是.（答：7,）8 9. 分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為 0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時可去分母。5 - x如：（1）解不等式 0 的解集為(1,+) ，求關(guān)于 x 的不等

13、式（答： (-, -1)u (2, +)）10. 絕對值不等式的解法：x - 2 0 的解集（1） 分段討論（最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集）：如解不等式| 2 + 3 x |+ 2+ | x +41 | （答： r ）2（2） 利用絕對值的定義；（3）數(shù)形結(jié)合；如解不等式| x | + | x -1| 3 （答： (-, -1)u (2, +)） 3 （4）兩邊平方：如若不等式| 3x + 2 | 2x + a |對任意 x r 恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍。（答： 4 ） 11. 含參不等式的解法：求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式

14、的解集是”。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集. （見 4 中例題）12. 含絕對值不等式的性質(zhì)：a、b 同號或有0 | a + b |=| a | + | b | | a | - | b |=| a - b |；a、b 異號或有0 | a - b |=| a | + | b | | a | - | b |=| a + b |.如設(shè) f (x) = x2 - x +13 ，實(shí)數(shù) a 滿足| x - a | 1 ，求證： | f (x) - f (a) | 0) 的最大值是2 - 4x3d. y = 2 - 3x - 4 (x 0) 的最小值是2 -

15、 4 3x2+ 1（2）若 x + 2 y = 1，則2x + 4y 的最小值是（答： 2）（3）正數(shù) x, y 滿足 x + 2 y = 1，則 1x 的最小值為（答： 3 + 2）2yaba2 + b2214. 常用不等式有：（1） a + b 2(當(dāng)且僅當(dāng) a = b = c 時，取等號)，根據(jù)目標(biāo)不等式21 + 1ab左右的結(jié)構(gòu)選用；（2） a、 bc r ， a2 + b2 + c2 ab + bc + ca （當(dāng)且僅當(dāng) a = b = c 時，取等號）；（3）若a b 0, m 0 ，則 b b + m （糖水的濃度問題）。如果正數(shù) a 、b 滿足 ab = a + b + 3 ，

16、則 ab 的取值范圍是-aa + m （答： 9, +)）15. 證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與 1 的大小，然后作出結(jié)論。1111111常用的放縮技巧有： -=- 1 2 kk -1 +kkk +1nn +1n(n +1)n2n(n -1)n -1nkkk +1-=1k +1 + b c ，求證： a 2b + b 2c + c 2a ab 2 + bc 2 + ca 2 ；(2) 已知 a, b, c r ，求證： a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 abc(a + b + c) ；

17、（3）已知 a, b, x, y r+ ，且 1 1 , x y ，求證： xy；abx + ay + b(n +1)2 +1n2 +1(4)若 n n * ，求證：- (n +1) a 在區(qū)間 d 上恒成立,則等價于在區(qū)間 d 上 f (x) amax若不等式 f (x) b 在區(qū)間 d 上恒成立,則等價于在區(qū)間 d 上 f (x) a 對一切實(shí)數(shù) x 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍（2） 若不等式2x -1 m(x2 -1) 對滿足 m 2 的所有 m 都成立，則 x 的取值范圍（3） 若不等式 x2 - 2mx + 2m +1 0 對0 x 1的所有實(shí)數(shù) x 都成立，求 m 的取值范圍.

18、（2） 能成立問題max若在區(qū)間 d 上存在實(shí)數(shù) x 使不等式 f (x) a 成立,則等價于在區(qū)間 d 上 f (x)若在區(qū)間 d 上存在實(shí)數(shù) x 使不等式 f (x) a ； b .如min已知不等式 x - 4 + x - 3 a 在區(qū)間 d 上恰成立, 則等價于不等式 f (x) a 的解集為 d ；若不等式 f (x) b 在區(qū)間 d 上恰成立, 則等價于不等式 f (x) -a 0 ，則函數(shù) f (x) = f (x) + f (-x) 的定義域4是(答：a, -a )；（2） 根據(jù)實(shí)際問題的要求確定自變量的范圍。（3） 復(fù)合函數(shù)的定義域：若已知 f (x) 的定義域為a, b,其

19、復(fù)合函數(shù) f g(x) 的定義域由不等式 a g(x) b 解2出即可；若已知 f g(x) 的定義域為a, b,求 f (x) 的定義域，相當(dāng)于當(dāng) x a, b 時，求 g(x) 的值域（即 f (x) 的定義域）。如（1）若函數(shù) y = f (x) 的定義域為 1 ,2 ，則 f (2x ) 的定義域為（答： x | x 4 ）；2（2）若函數(shù) f (x2 +1) 的定義域為-2,1) ，則函數(shù) f (x) 的定義域為（答：1,5）4. 求函數(shù)值域（最值）的方法：（1） 配方法二次函數(shù)（二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間m, n 上的最值；二是求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最

20、值問題。求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系），如（1）求函數(shù) y = x2 - 2x + 5, x -1, 2 的值域（答：4,8）；（2）當(dāng)x + (0,2 時，函數(shù) f (x) + ax2 + 4(a +1)x + 3 在 x + 2 時取得最大值，則 a 的取值范圍是（答： a + + 1 ）；2特別說明：二次函數(shù)在區(qū)間m, n上最值的求法，一定要注意頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否在定義域內(nèi)。如果是選擇、填空可以bb2a很快寫答案:先看看- 2a 是否在m, n內(nèi)，如果在的話，算三個數(shù) f (m)、f (n)f (- ) ,三數(shù)中誰最大誰

21、就是最大值，誰最小誰就是最小值。如果不在的話，只要算兩個數(shù) f (m)、f (n)，大的就最大值，小的就最小值。x -1x -1（2） 換元法通過換元把一個較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，如（1） y = 2x +1+時，要特別要注意新元t 的范圍）；的值域為（答： (3, +) ）（令= t ， t 0 。運(yùn)用換元法（3） 函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定所求函數(shù)的值域，（4） 單調(diào)性法利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，如求y = x - 1 (1 x 9) 的值域為x80（

22、答： (0,) ）；9（5） 判別式法對分式函數(shù)（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不等式： y =bk + x2型，可直接用不等式性質(zhì)，如求 y =32 + x2的值域（答：3(0, ）2=bx yx2 + mx + nx + 2型，先化簡，再用均值不等式，如（1）求 y =x1+ x21的值域（答： (- 1 ）；（2）求函數(shù), 2y =的值域（答： 0, ）x + 3 x2 + mx + n y =x2 + mx + n2mx2 + 8x + n型，通常用判別式法；如已知函數(shù) y =的定義域為

23、 r，值域為1、9，求常數(shù)x2 +1m, n 的值（答： m = n = 5 ）x2 + mx + nx2 + x +1 y =mx + n型，可用判別式法或均值不等式法，如求 y =x +1的值域（答： (-, -3 u1, +) ）（6） 不等式法利用基本不等式 a + b 2 ab (a, b r+ ) 求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。提醒：（1）求函數(shù)的定義域、值域時，你按要求寫成集合形式了嗎？（2）函數(shù)的最值與值域之間有何關(guān)系？5. 分段函數(shù)的概念。分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個不

24、同的式子來表示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一類較特殊的函數(shù)。在求分段函數(shù)的值 f (x0 ) 時，一定首先要判斷 x0 屬于定義域的哪個子集，然后再代相應(yīng)的關(guān)系式；(x +1)2 .(x 1)分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集。如（1）設(shè)函數(shù) f (x) = ，4 -x -1.(x 1)1(x 0)則使得 f (x) 1的自變量 x 的取值范圍是（答： (-, -2 u0,10）；（2）已知 f (x) = -1(x 0xb 0) 型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運(yùn)用：增區(qū)間為(-, - b , b , +) ，減區(qū)間為- b , 0), (0,b .（例4如函數(shù) y = x

25、 +遞增區(qū)間(-, -2)xaaaa(2, +)；單調(diào)遞減區(qū)間是(-2, 0), (0, 2)）如（1）若函數(shù)f (x) = x 2 + 2(a - 1)x + 2ax +1在區(qū)間(-、4上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù) a 的取值范圍是(答： a -3 ）)；（2）已1知函數(shù) f (x) =x + 2在區(qū)間(-2, +)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍（答： ( , +) ）；2x2 - 4x + 3復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點(diǎn)是同增異減，（2） 特別提醒：求單調(diào)區(qū)間時，一是勿忘定義域，如求函數(shù) f (x) =的單調(diào)遞增區(qū)間；二是在多個單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加符號“ u ”和“或”；三是單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示（3） 你注意到函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用了嗎?（比較大?。唤獠坏仁?；求參數(shù)范圍）.如已知奇函數(shù)f (x) 是定義在(-2,2) 上的減函數(shù),若 f (m - 1) + f (2m - 1) 0 ，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍。（答： - 1 m 0) 的圖象是把函數(shù) y = f (x)的圖象沿 x 軸向左平移 a 個單位得到的。如設(shè)f (x) = 2-x , g(x) 的圖像由 f (x) 的圖像向左平移 1 個單位得到，則 g(x) 為(答： g(x) = 2-(x+1) )函數(shù) y