(完整版)高一數(shù)學(xué)(必修一)知識(shí)點(diǎn)總結(jié),推薦文檔

1、高一數(shù)學(xué)必修 1 各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（拂曉搜集整理）第一章 集合與函數(shù)概念一、集合有關(guān)概念1. 集合的含義2. 集合的中元素的三個(gè)特性：(1) 元素的確定性如：世界上最高的山(2) 元素的互異性如：由 happy 的字母組成的集合h,a,p,y(3) 元素的無序性: 如：a,b,c和a,c,b是表示同一個(gè)集合3. 集合的表示： 如：我校的籃球隊(duì)員，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1) 用拉丁字母表示集合：a=我校的籃球隊(duì)員,b=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列舉法與描述法。u 注意：常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集） 記作：n正整數(shù)集n*或 n+整數(shù)集 z有理數(shù)集 q實(shí)數(shù)集 r

2、1 列舉法：a,b,c2 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。xr| x-32 ,x| x-323 語言描述法：例：不是直角三角形的三角形4venn 圖:4、集合的分類：(1) 有限集含有有限個(gè)元素的集合(2) 無限集含有無限個(gè)元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合例：x|x2=5二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集注意： a b 有兩種可能（1）a 是 b 的一部分，；（2）a 與 b 是同一集合。反之:集合 a 不包含于集合 b,或集合 b 不包含集合 a,記作a / b 或 b / a2“相等”關(guān)系：a=b(55，且 55，則 5=5)實(shí)例：設(shè)a=

3、x|x2-1=0b=-1,1“元素相同則兩集合相等”即： 任何一個(gè)集合是它本身的子集。aa真子集:如果 ab,且 a b 那就說集合 a 是集合 b 的真子集，記作 ab(或 ba)如果 ab, bc ,那么 ac 如 果 ab同時(shí) ba 那么 a=b3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為 規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。第 9 頁 共 11 頁u 有 n 個(gè)元素的集合，含有 2n 個(gè)子集，2n-1 個(gè)真子集三、集合的運(yùn)算運(yùn)算類型交集并集補(bǔ)集定義由所有屬于 a 且屬由所有屬于集合 a 或設(shè) s 是一個(gè)集合，a是 s 的一個(gè)子集，由 s 中所有不屬于 a 的元素組成的

4、集合，叫做 s 中子集 a 的補(bǔ)集（或余集）記作cs a ，即csa=x | x s, 且x a于 b 的元素所組成屬于集合 b 的元素所的集合,叫做 a,b 的組成的集合，叫做交集記作a,b 的并集記作：aa i b（讀作a 交u b（讀作a 并 b），b），即 a i b=x|x即 a u b =x|xa，a，且 xb或 xb)韋恩圖示a圖 1ba圖 2bsa性質(zhì)a i a=aa i =a u a=aa u =a(cua) i (cub)= cu (a u b)a i b=b i aa i b aa u b=b u aa u b (cua) u (cub)a i b ba u b b= c

5、u(a i b)a u (cua)=ua i (cua)= 例題：1. 下列四組對(duì)象，能構(gòu)成集合的是（）a 某班所有高個(gè)子的學(xué)生 b 著名的藝術(shù)家 c 一切很大的書 d 倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)2. 集合a，b，c 的真子集共有個(gè)3.若集合 m=y|y=x2-2x+1,xr,n=x|x0，則 m 與 n 的關(guān)系是.4.設(shè)集合 a=x 1 x 2，b=x x a，若 a b，則 a 的取值范圍是 5.50 名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實(shí)驗(yàn)，已知物理實(shí)驗(yàn)做得正確得有 40 人，化學(xué)實(shí)驗(yàn)做得正確得有 31 人，兩種實(shí)驗(yàn)都做錯(cuò)得有 4 人，則這兩種實(shí)驗(yàn)都做對(duì)的有人。6. 用描述法表示圖中陰影部分的點(diǎn)（含邊界上

6、的點(diǎn)）組成的集合 m=. 7.已知集合 a=x| x2+2x-8=0, b=x| x2-5x+6=0, c=x| x2-mx+m2-19=0, 若bc，ac=，求 m 的值二、函數(shù)的有關(guān)概念1. 函數(shù)的概念：設(shè) a、b 是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f，使對(duì)于集合 a 中的任意一個(gè)數(shù) x，在集合 b 中都有唯一確定的數(shù) f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱 f：ab 為從集合 a 到集合 b 的一個(gè)函數(shù)記作：y=f(x)，xa其中，x 叫做自變量，x 的取值范圍 a 叫做函數(shù)的定義域；與 x 的值相對(duì)應(yīng)的 y 值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xa 叫做函數(shù)的值域注意：1定義域：能使函數(shù)

7、式有意義的實(shí)數(shù) x 的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3) 對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4) 指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于 1.(5) 如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的 x 的值組成的集合.(6) 指數(shù)為零底不可以等于零，(7) 實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.u 相同函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)）；定義域一致 (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)(見課本 21 頁相關(guān)例 2) 2值域 : 先考慮其定義域(1)觀察

8、法(2) 配方法(3) 代換法3. 函數(shù)圖象知識(shí)歸納(1) 定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù) y=f(x) , (xa)中的 x 為橫坐標(biāo)，函數(shù)值 y 為縱坐標(biāo)的點(diǎn) p(x，y)的集合 c，叫做函數(shù) y=f(x),(xa)的圖象c 上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系 y=f(x)，反過來，以滿足 y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì) x、y 為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)，均在 c 上 .(2) 畫法a描點(diǎn)法：b 圖象變換法常用變換方法有三種1) 平移變換2) 伸縮變換3) 對(duì)稱變換4. 區(qū)間的概念（1） 區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（2） 無窮區(qū)間（3） 區(qū)間的數(shù)軸表示5. 映射一般地，設(shè)

9、a、b 是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則 f，使對(duì)于集合 a 中的任意一個(gè)元素 x，在集合 b 中都有唯一確定的元素 y 與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng) f：a b 為從集合 a 到集合 b 的一個(gè)映射。記作“f（對(duì)應(yīng)關(guān)系）：a（原象） b（象）”對(duì)于映射 f：ab 來說，則應(yīng)滿足：(1) 集合 a 中的每一個(gè)元素，在集合 b 中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合 a 中不同的元素，在集合 b 中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；(3) 不要求集合 b 中的每一個(gè)元素在集合 a 中都有原象。6. 分段函數(shù)(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。(2)各部分的自變量的取值情況(3)分段函數(shù)

10、的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集補(bǔ)充：復(fù)合函數(shù)如果 y=f(u)(um),u=g(x)(xa),則 y=fg(x)=f(x)(xa)稱為 f、g的復(fù)合函數(shù)。二函數(shù)的性質(zhì)1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))（1） 增函數(shù)設(shè)函數(shù) y=f(x)的定義域?yàn)?i，如果對(duì)于定義域 i 內(nèi)的某個(gè)區(qū)間d 內(nèi)的任意兩個(gè)自變量 x1，x2，當(dāng) x1x2 時(shí)，都有 f(x1)f(x2)，那么就說 f(x)在區(qū)間 d 上是增函數(shù).區(qū)間 d 稱為 y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間. 如果對(duì)于區(qū)間 d 上的任意兩個(gè)自變量的值 x1，x2，當(dāng) x1x2 時(shí)， 都有 f(x1)f(x2)，那么就說 f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函

11、數(shù).區(qū)間 d 稱為 y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；（2） 圖象的特點(diǎn)如果函數(shù) y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(a) 定義法：1 任取 x1，x2d，且 x1x2；2 作差 f(x1)f(x2)；3 變形（通常是因式分解和配方）；4 定號(hào)（即判斷差 f(x1)f(x2)的正負(fù)）；5 下結(jié)論（指出函數(shù) f(x)在給定的區(qū)間 d 上的單調(diào)性）(b) 圖象法(從圖象上看升降) (c)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)

12、性復(fù)合函數(shù) fg(x)的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù) u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.8函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)）（1）偶函數(shù)一般地，對(duì)于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè) x，都有 f(x)=f(x)， 那么 f(x)就叫做偶函數(shù)（2）奇函數(shù)一般地，對(duì)于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè) x，都有 f(x)= f(x)，那么 f(x)就叫做奇函數(shù)（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：1 首先確定函數(shù)的定

13、義域，并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；2 確定 f(x)與 f(x)的關(guān)系；3 作出相應(yīng)結(jié)論：若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則 f(x)是偶函數(shù)；若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則 f(x)是奇函數(shù)注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對(duì)稱，(1)再根據(jù)定義判定; (2)由 f(-x)f(x)=0 或f(x)f(-x)=1 來判定; (3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 .9、函數(shù)的解析表達(dá)式（1）.函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一

14、是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.（2）求函數(shù)的解析式的主要方法有：1) 湊配法2) 待定系數(shù)法3) 換元法4) 消參法10函數(shù)最大（小）值（定義見課本 p36 頁）1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲? 利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲? 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担喝绻瘮?shù) y=f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞減則函數(shù) y=f(x)在 x=b 處有最大值 f(b)；如果函數(shù) y=f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞增則函數(shù) y=f(x)在 x=b 處有最小值 f(b)； 例題：1. 求下列函數(shù)的定義域：x2 -

15、2x -15x + 3 - 31- ( x -1)2x +1 y = y =2. 設(shè)函數(shù) f ( x) 的定義域?yàn)?，1 ，則函數(shù) f ( x 2 ) 的定義域?yàn)開 _3. 若函數(shù) f (x +1) 的定義域?yàn)?2，3，則函數(shù) f (2x -1) 的定義域是x + 2(x -1)x4.函數(shù) f (x) = 2(-1 x 1，且 n n *u 負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，記作 n 0 = 0 。(an an 當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí)，= a ，當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí)， n an2. 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：nm a n =am (a 0, m, n n * , n 1) ，a=

16、| a |= - a 0)(a 0, m, n n *, n 1) n amu 0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0，0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義3. 實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（1） ar ar = ar +s(a 0, r, s r) ；（2） (ar ) s = ars(a 0, r, s r) ；（3） (ab)r = ar as(a 0, r, s r) （二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù) y = a x (a 0,且a 1) 叫做指數(shù)函數(shù)，其中 x 是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)?ra10a 0且a 1) 值域是f (a), f (b) 或f (b), f (a) ；（2） 若x 0

17、，則f (x) 1； f (x) 取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)x r ；（3） 對(duì)于指數(shù)函數(shù)f (x) = a x (a 0且a 1) ，總有f (1) = a ； 二、對(duì)數(shù)函數(shù)（一）對(duì)數(shù)1對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果 a x = n (a 0, a 1) ，那么數(shù) x 叫做以 a 為底 n 的對(duì)數(shù)，記作： x = log a n （ a 底數(shù)， n 真數(shù)， log a n 對(duì)數(shù)式）說明：1 注意底數(shù)的限制 a 0 ，且 a 1；2 a x = n log n = x ； a3 注意對(duì)數(shù)的書寫格式loga n兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：1 常用對(duì)數(shù)：以 10 為底的對(duì)數(shù)lg n ；2 自然對(duì)數(shù)：以無理數(shù)e = 2.71

18、828l為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)ln n u 指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化冪值真數(shù)ab n log an b底數(shù)指數(shù)對(duì)數(shù)（二）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果 a 0 ，且 a 1， m 0 ， n 0 ，那么：1 log a (m n ) = log a m loga n ；2 log ma n= log am loga n ；3 log a m n = n log a m注意：換底公式(n r) log b = logc b（ a 0 ，且 a 1； c 0 ，且c 1 ； b 0 ）alog ca利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論（1） logbn = n logb ；（2） log b =1amma（二）對(duì)數(shù)函數(shù)alog

19、ba1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù) y = log a x(a 0 ，且 a 1) 叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中 x 是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+）注意：1 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如： y = 2 log2 x ， y = log x5 5都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù)2 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制： (a 0 ，且 a 1) 2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：0a132.52.5221.51.50.50.5-1-1.5-1.5-2-2.5-2.5函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（1，0）函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（1，0）在 r 上遞減在 r 上遞增值域?yàn)?r值域?yàn)?r定義域 x0定義域 x0-2-17654

20、321 10-0.517654321 10-0.51111183-8（三）冪函數(shù)1、冪函數(shù)定義：一般地，形如 y = xa (a r) 的函數(shù)稱為冪函數(shù)， 其中a為常數(shù)2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納（1） 所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義并且圖象都過點(diǎn)（1，1）；（2） a 0 時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間0,+) 上是增函數(shù)特別地，當(dāng)a 1時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0 a 1時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；（3） a0，a0，函數(shù) y=ax 與 y=loga(-x)的圖象只能是 ( )2.計(jì)算： log3 2 = ; 2 4+log2 3log 27 64= ； 251 log5 27+2 log5 23=

21、; 0.064-1 - (- 7 )0 + (-2)3 - 4 + 16-0.75 + 0.011=332 83. 函數(shù) y=log 1 (2x2-3x+1)的遞減區(qū)間為 24. 若函數(shù) f (x) =loga x(0 a 0且a 1) ，（1）求 f (x) 的定義域（2）求使 f (x) 0 的 x 的取值范圍a 1- x第三章 函數(shù)的應(yīng)用一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù) y = f (x)(x d) ，把使f (x) = 0 成立的實(shí)數(shù) x 叫做函數(shù) y = f (x)(x d) 的零點(diǎn)。2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù) y = f (x) 的零點(diǎn)就是方程 f (x) = 0

22、 實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù) y = f (x) 的圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程 f (x) = 0 有實(shí)數(shù)根 函數(shù) y = f (x) 的圖象與 x 軸有交點(diǎn) 函數(shù) y = f (x) 有零點(diǎn)3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：1 （代數(shù)法）求方程 f (x) = 0 的實(shí)數(shù)根；2（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y = f (x) 的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：二次函數(shù) y = ax 2 + bx + c(a 0) （1） ，方程 ax 2 + bx + c = 0 有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)（2） ，方程 ax 2 + bx + c = 0 有兩相等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 x 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)（3） ，方程 ax 2 + bx + c = 0 無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 x 軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)第 10 頁 共 11 頁求函數(shù)模型選擇函數(shù)模