(完整版)三角恒等變換各種題型歸納分析,推薦文檔

1、河南省葉縣高級中學(xué) 數(shù)學(xué)組鄭志祥整理編寫三角恒等變換基礎(chǔ)知識及題型分類匯總一、知識點(diǎn)：（一）公式回顧：cos(a a)= cosacosam sinasin a下下c下 aa下sin(a a)= sinacosa cosasin a下 下s下 aa下tan(a a) = tana tana ,下下下t1m tanatan a(aa)sin 2a= 2 sinacosacos 2a= cos2 a- sin2 a下s2ac2atan 2a=1- tan2 a2 tana (a ka+ a下24a ka+ a2下 下t2acos 2a= cos2a- sin2a= 2cos2a-1 = 1- 2s

2、in2a二倍角公式不僅限于 2 是 的二倍的形式，其它如 4 是 2 的兩倍，/2 是 /4 的兩倍，3 是 3/2 的兩倍，/3 是 /6 的兩倍等，所有這些都可以應(yīng)用二倍角公式。因此，要理解“二倍角”的含義，即當(dāng) =2 時， 就是 的二倍角。凡是符合二倍角關(guān)系的就可以應(yīng)用二倍角公式。（二）公式的變式1 sin 2a= (sina cosa)21+ cos 2a= 2 cos2a 1- cos 2a= 2 sin 2acos2 a= 1+ cos 2aacos= 2sin a = 21+cosa 2 1-cosa22a asin2 a= 1- cos2atana= 1- cosa= sina

3、 = 1- cosa21+ cosa 1+ cosasina2tan 2 =sin 2 = acos 21- cosa 1+ cosa公式前的a號，取決于 2a sin x + b cos x =a+ b22 aa2 + b2sin x + b a2 + b2cos x=a2 + b2 sin( x +a) 其中tana= b a輔助角（合一）公式：所在的象限，注意討論.二典例剖析：基礎(chǔ)題型題型一：公式的簡單運(yùn)用例 1:課本例題已知sin 2a=a5 ,a a, 求sin 4a, cos 4a, tan 4a.同型練習(xí)已知cosa1132 4a a 2 求sina,cosa,tana.= -2

4、13,a ,2 21課本例題在abc中，cos a = 4 , tan b = 2, 求tan(2 a + 2b).提高練習(xí)已知sin x = 3 , x a5aa- y) =, 求tan(x - 2 y). , tan(5題型二：公式的逆向運(yùn)用 22例 2: 1. 求下列各式的值：(1)sin 22.5cos 22.5;(2) 2.化簡下列各式：2 tan15 1- tan2 15; (3)1- 2 sin 2 75aa1- tan2 3aaa(1) sin 4- cos4; (2)2 ;(3) sin -acosa-22tan 3a 44 3.求值：(1) cosa cos 5a2cos

5、721212 ; (2) cos 36題型三：升降冪功能與平方功能的應(yīng)用例 3.1. 下(1)(3)1+ sin 40;(2)1- sina;1+ cos 20;(4)1- cosa2. 下(1)1+ sin 2a- cos 2a;(2)1+ sin 2a+ cos 2a1- sin 2a+cos 2a 1- sin 2a-cos 2a3. 下sin x + cos x = 1 ,0 x a,下3sin 2x下cos 2 x.提高題型：題型一：合一變換（利用輔助角公式結(jié)合正余弦的和角差角公式進(jìn)行變形）例 1a1. sin -12a3cos 122. 當(dāng)銳角a取何值時,(1+3)sin 2a+

6、(1-3) cos 2a有最大值？并求這個最大值. 3.求y = 3sin(x +10) + 5sin(x + 70)的最大值.方法：角不同的時候，能合一變換嗎？4. 求函數(shù)y = 2 sin(x + 10) + a2 cos(x + 55)的最大值和最小值，以及取得最大值和最小值時的x的值.5. f (x) = a sin x + b cos x,當(dāng)f ( )= 1且f (x)的最小值為k時，求k的取值范圍.3 - 2 sin x3 的值域.6. 求函數(shù)y = 2 + 2 cos x方法：1. 轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的最值 2.合一變換+有界性 3.萬能公式換元為二次分式題型 2：角的變換（1）把要

7、求的角用已知角表示例 21.已知a,a為銳角，sina=8 , cos(a- a) = 21 , 求cosa的值.1729類似題a,a為銳角, cosa= 4 , tan(a- a) = - 1 , 求cosa的值.2.已知a aa 3a5 a)= - 3 , cos(a 3)= 12 , 求cos 2a的值.a+- a , sin( 2a4 1a52a13aa+ a類似題已知cos a-= -, sin- a =,且 a a,0 a求cos,.2 9 23222方法：1、想想常見的角的變換有哪些？2、求值時注意討論研究角的范圍。a3 5a12 ,且a 0,a a a 3a3.cos-a =,

8、 sin+ a = -, , 求sin(a+ a). 45 4134 44 類似題已知a a , 3a，a 0, a，cosa -a =3，sin 3a +a=5 , 求sin(a+ a). 44 4 4544.已知sin(2a+ a) = -2 sin a, 求證：tana= 3 tan(a+ a).13類似題已知7 sina= 3sin(a+ a), 求證：2 tan( 2a+ a2) = 5 tan a.2證明的方法也是角的變換：把要求證的角轉(zhuǎn)化為已知的角.（2）互余與互補(bǔ)3+tana+a1.已知cos x = m,則 -sin 2 xa=4 .2.化簡： a61- 3 cot-a33.

9、已知sina - x = 3 , 求sin 2x4.已知a + x = 3 ,且7a x 7asin 2x + 2 sin 2 x 45cos 4512，求41- tan xaa方法：善于發(fā)現(xiàn)補(bǔ)角和余角解題，關(guān)注題型 3：非特殊角求值+ x,- x,2x三者關(guān)系44 例 3:1. 2 cos10 - sin 20 ;- - - - -類似題 sin7 + cos15sin8 cos 20cos7 - sin15sin83cs 50a 131;- - - - - - - -類似題sin- cos3. tan a2+.sin110 - cos10 ;- - - - -類似題2sin 50 +2a

10、84.1tan 12- 2 sin 701282 sin1705.( tan10 -3) cos10sin 501 + cos 206.- sin10( cot 5 - tan 5 )2 sin 207.1-3 1cos2 80cos2 10cos 2038.2sin 50 + sin10(1 +tan10) 2 sin 2 80tana tana= tan(a a)(1m tanatana) 1- tanaa1+ tanaa1+ tana = tan ( -a)41- tana = tan ( +a)41、tan()公式的變用方發(fā)：(1)減少非特殊角的數(shù)量；(2) 注意“倍”、“半”。題型

11、4：式的變換例 4:化簡：1.tan a + tan a+ tan a tan a ;- - - - - -類似題 tan111 + tan114 + tan111 tan11412612632. tan18 + tan 42 +tan18 tan 42 - -類似題a- x) +a+ x) +a+ x) a- x) tan( 6 3. tan 20 tan 60 + tan 60 tan10 + tan10 tan 204.(1 + tan1)(1 + tan 2)l(1 + tan 44)(1 + tan 45)5. tan(18 - x) tan(12 + x) +3tan(18 - x

12、) + tan(12 + x)6. tan( x + a - tan( a- x )tan( 63 tan(6tan( 624 )42,由5可推廣：a+ a= a 則(1+ tana)(1+ tan a) = 2,為什么？42、齊次式sin a- cos a1.1a21a2sin + cos 12122.已知tana, tan a是方程6x 2 - 5x + 1 = 0的兩個實(shí)數(shù)根.求: (1) tan(a+ a)的值(2) sin 2 (a+ a) - cos(a+ a) sin(a+ a) - 3cos2 (a+ a)的值.3、“1”的運(yùn)用（1sin, 1cos 湊完全平方）1.化簡下列各

13、式：(1) 1- sin1a+ s;(i2n)2a-1-cocso2saa2.化簡：(1)1+ sin 2a+cos 2a; (2) 1- sin 2a+ cos 2a 1- sin 2a- cos 2a3. 已知sin x + cos x = 1 ,0 x a,求sin 2x和cos 2x.34、兩式相加減，平方相加減1. 已知sina+ sin a= 3 , cosa+ cosa= 4 , 求cos(a- a).55類似題1已知cosa+ sin a= 1 , sina- cosa= 1 , 求sin(a- a).23類似題2已知sina+ sin a+ sina= 0, cosa+ co

14、sa+ cosa= 0, 求cos(a- a). 2.已知cos(a+ a) = 1 , cos(a- a) = 3 , 求tanatan a的值.a類似題已知sin(a+ 5 )= 1 ,sin(a-5a)=1 ,求 tana. 的值23tan a3.(2004全國)銳角dabc中, sin(a + b) = 3 , sin(a - b) = 1 , (1)求證：tan a = 2 tan b55(2)若ab = 3, 求ab邊上的高.類似題dabc中, bac = 45, bc邊上的高把bc分成bd = 2, dc = 3的兩部分，求dabc的面積.5、一串特殊的連鎖反應(yīng)（角成等差，連乘）

15、求值1.cos 36 cos 722.sin10sin 30sin 50sin 70 - - - - - - - - - -類似題sin 6sin 42sin 66sin 78cos3.cos a2acos3acos4acos5a- - - - - -類似題cosx cosx lcos x 1111111111242na題型 5：函數(shù)名的變換a要點(diǎn)：(1)切化弦；(2)正余互化a, 3a22例 5:1.(1)若f (cos x) = cos17x, 求證：f (sin x) = sin17x (2)x r, n z ,且f (sin x) = sin(4n + 1)x, 求f (cos x)

16、2 cos2 a- 12.化簡a2 tan(4-a) sin2 (a+a)4- - - - - - - - - -3.化簡sin 2a(1 + tan 2atana).4.若銳角a,a滿足tana tan a= 13 ,且sin(a- a)=75 , 求(1)cos(a- a);(2) cos(a+ a).3題型 6：給值求角要點(diǎn)：先確定角的范圍（盡可能縮小），再選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)例 6:1. a,a為銳角,cosa=2 5 ,sina=5 10 , 求a+ a的值. 10類似題已知a,a為鈍角,且sina=5 ,sina=510 , 求a+ a的值.102.a,a,a為銳角, tana= 1 ,

17、 tan a= 1 , tana= 1 , 求a+ a+a.2583.已知tan(a- a) = 1 , tan a= - 1 ,且a (0,a),a (0,a), 求2a- a的值.類似題已知0 a 2a a a7 且3sin a= sin(2a+ a),4tan a = 1 - tan 2 a 求a+ a的值. ,0,44224.已知3sin 2 a+ 2 sin 2 a= 1,3sin 2a- 2 sin 2a= 0,a,a為銳角，求a+ 2a.題型 7：化簡與證明方法：上述 7 類常見方法思路：變同角，變同名，變同次例 7:1.已知7 sina= 3sin(a+ a), 求證：2 ta

18、n 2a+ a = 5 tan a 222. 1sina- cosa 1sina+cosa化簡：+ 1sina+ cosa 1sina- cosa(1+ sina+ cosa)(sin a cosa3. 化簡-222 + 2 cosa)(0 a a)4. sin 2asin2 a+ cos2acos2 a- 1 cos 2acos2a.25.化簡： 1sina3cosa-a- a aacot -tana a22 cos (-)2 tan( 42 )22題型 8：綜合應(yīng)用42例 8:sin 2x + cos 2x1. 設(shè)f (x) = .(1)求f (x)的最小正周期；(2)求f (x)的值域.

19、2. 已2tan x + cot x知函數(shù)f (x) = 2 cos2 x +3 sin x cos x + a, 若f (x)在-a a， 上最大值與最小值之和為3，求a的值.=已知函數(shù)f (x)aa 6 3 3.3 sin 2x - +2-r.6 2 sin x12, x(1)求函數(shù)f (x)的最小正周期；(2)求使函數(shù)f (x)取得最大值的x的集合.4.(06福建)若函數(shù)f (x) = sin 2 x +3 sin x cos x + 2 cos2 x.(1) 求函數(shù)f (x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；(2) 函數(shù)f (x)的圖象可以由函數(shù)y = sin 2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？一

20、、s、 c 公式的逆向運(yùn)用總結(jié)： （1）變角，以符合公式的形式（2）合一變換二、角的變換 1、變換角：要點(diǎn)：（1）把要求的角用已知角表示；（2）注意角的范圍 2、互余與互補(bǔ)三、非特殊角求值 方向：（1）減少非特殊角的個數(shù)（2）關(guān)注倍、半角關(guān)系（3）利用一些特殊的數(shù)值四、式的變換 1、tan()公式的變用 2、齊次式 3、 “1”的運(yùn)用（1sin, 1cos 湊完全平方） 4、兩式相加減，平方相加減 5、一串特殊的連鎖反應(yīng)（角成等差，連乘） 五、函數(shù)名的變換 要點(diǎn)：（1）切割化弦；（2）正余互化六、倍、半角公式的功能 （1）升降冪功能，（2）平方功能（ 1sin, 1cos） 七、給值求角問題

21、要點(diǎn)：（1）先確定角的范圍（盡可能縮小），（2）選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)八、化簡與證明問題 思路：變同角，變同名，變同次補(bǔ)充公式（了解）sinacosa= 1sin(a+a)+sin(a-a)2sina+ sina= 2sina+a2 cos 2cosa-a2cosasina=1sin(a+a)-sin(a-a)sina- sina=a+asin a-acosacosa= 12a+a)+cos(a-a)cosa+ cosa=a+a22 acos(2cosa-cos222sinasina=-1cos(a+a)-cos(a-a)2sin 3a= 3sina- 4sin3acos 3a= 4 cos3a- 3cosaaa2 sin a cosa2 tan asina= 2sincos=22 =2 .cosa- cosa= -2 sin a+asin2a-a2+22sin 2 a cos2 a 1+ tan2 a2a2 a2 acosa= cos2a- sin2cos22=aa22sin2-sin2+ cos2a2 =1- tan21+ tan2a2 .2 tan atana=2