大學(xué)物理教學(xué)課件：熱2第二章 氣體分子運(yùn)動(dòng)論

1、第二章 氣體分子運(yùn)動(dòng)論 (Kinetic theory of gases,2.1 理想氣體的壓強(qiáng)與溫度 2.2 能量均分定理 2.3 麥克斯韋速率分布律 2.4 麥克斯韋速率分布律的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證 2.5 玻耳茲曼分布律 2.6 實(shí)際氣體等溫線 2.7 范德瓦爾斯方程 2.8 氣體分子的平均自由程 2.9 輸運(yùn)過程,2.1 理想氣體的壓強(qiáng)與溫度,TV:布朗運(yùn)動(dòng),一. 微觀模型,二理想氣體壓強(qiáng)公式的推導(dǎo),三理想氣體的溫度和分子平均平動(dòng)動(dòng)能,一. 微觀模型,1. 對單個(gè)分子的力學(xué)性質(zhì)的假設(shè),分子當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)，不占體積； （因?yàn)榉肿拥木€度分子間的平均距離） 分子之間除碰撞的瞬間外，無相互作用力。（忽略重力）

2、彈性碰撞（動(dòng)能不變） 服從牛頓力學(xué) 分子數(shù)目太多，無法解這么多的聯(lián)立方程。 即使能解也無用，因?yàn)榕鲎蔡l繁，運(yùn)動(dòng)情況瞬息萬變， 必須用統(tǒng)計(jì)的方法來研究,理想氣體的微觀假設(shè),定義: 某一事件 i 發(fā)生的概率為 Pi Ni - 事件 i 發(fā)生的 次數(shù) N - 各種事件發(fā)生的 總次數(shù),統(tǒng)計(jì)規(guī)律有以下幾個(gè)特點(diǎn): （1）只對大量偶然的事件才有意義. （2）它是不同于個(gè)體規(guī)律的整體規(guī)律(量變到質(zhì)變). （3）總是伴隨著漲落,表演實(shí)驗(yàn)：伽耳頓板,例. 扔硬幣,2. 對分子集體的統(tǒng)計(jì)假設(shè),什么是統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,大量偶然事件從整體上反映出來的一種規(guī)律性,對大量分子組成的氣體系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)假設(shè),dV-體積元（宏觀小，微觀

3、大,1）分子的速度各不相同，而且通過碰撞不斷變化著； （2）平衡態(tài)時(shí)分子按位置的分布是均勻的， 即分子數(shù)密度到處一樣，不受重力影響,一定質(zhì)量的處于平衡態(tài)的某種理想氣體。 把所有分子按速度分為若干組，在每一組內(nèi)的分子速度大小， 方向都差不多,二理想氣體壓強(qiáng)公式的推導(dǎo),一次碰撞單分子動(dòng)量變化,2m vix,在 dt 時(shí)間內(nèi)與dA碰撞的分子數(shù),ni vix dt dA,設(shè) dA 法向?yàn)?x 軸,dt 時(shí)間內(nèi)傳給 dA 的沖量為,這里的壓強(qiáng)只是統(tǒng)計(jì)概念,三理想氣體的溫度和分子平均平動(dòng)動(dòng)能,P = n kT,平均平動(dòng)動(dòng)能只與溫度有關(guān),理想氣體溫標(biāo)或熱力學(xué)溫標(biāo),溫度是統(tǒng)計(jì)概念， 只能用于大量分子， 溫度標(biāo)

4、志物體內(nèi)部 分子無規(guī)運(yùn)動(dòng)的劇烈 程度,方均根速率,2.2 能量均分定理,研究氣體的能量時(shí)，氣體分子不能再看成質(zhì)點(diǎn)，微觀模型要修改，因?yàn)榉肿佑衅絼?dòng)動(dòng)能，還有轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，振動(dòng)動(dòng)能,自由度：確定一個(gè)物體的空間位置 所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目,N個(gè) 原子組成的分子 總自由度= 3N，其中分子整體平動(dòng)自由度 =3 ，整體轉(zhuǎn)動(dòng)自由度= 3,若 N 個(gè)原子都在一條直線，整體轉(zhuǎn)動(dòng)自由度=2,N 個(gè)原子振動(dòng)自由度 = 3N - 6，直線型分子振動(dòng)自由度= 3N - 5,能量均分定理：由經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)描述的氣體在絕對溫度 T 時(shí) 處于平衡，其能量的每個(gè)獨(dú)立平方項(xiàng)的平均 值等于 kT/2,由理想氣體模型 單原子分子,剛性雙原

5、子分子 除平動(dòng)能，還有 轉(zhuǎn)動(dòng)能,非剛性雙原子分子 除平動(dòng)能、轉(zhuǎn)動(dòng)能， 還有振動(dòng)能,振動(dòng)自由度 = 1,設(shè)平動(dòng)自由度 t ，轉(zhuǎn)動(dòng)自由度 r，振動(dòng)自由度 v，平均總動(dòng)能,理想氣體內(nèi)能,理想氣體內(nèi)能只是溫度的函數(shù)， 與熱力學(xué)溫度成正比,2.3 麥克斯韋速率分布律,單個(gè)分子速率不可預(yù)知，大量分子的速率分布是遵循統(tǒng)計(jì)規(guī)律， 是確定的，這個(gè)規(guī)律也叫麥克斯韋速率分布律,速率分布函數(shù)：按統(tǒng)計(jì)假設(shè)分子速率通過碰撞不斷改變，不好 說正處于哪個(gè)速率的分子數(shù)多少，但用某一速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù) 占總分子數(shù)的比例為多少的概念比較合適，這就是分子按速率 的分布,設(shè)總分子數(shù)N，速率區(qū)間 v v+dv，該速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù) dNv,

6、速率分布函數(shù),速率 v 附近單位速率區(qū)間內(nèi) 分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比,麥克斯韋速率分布函數(shù),最概然速率 vp,f (v) = 0,f(v,f(vp3,v,vp,f(vp1,f(vp2,T1,T3,T2,溫度越高，速率大的分子數(shù)越多,不要問速率剛好等于某一值的分子數(shù)多少，沒有意義,平均速率,方均根速率,麥克斯韋速度分布函數(shù),設(shè)總分子數(shù)N，速度分量區(qū)間 vx vx+dvx ， 該速度分量區(qū)間內(nèi)分子數(shù) dNvx,速度分量分布函數(shù),同理對 y、z 分量,速度在區(qū)間 vx vx+dvx ， vy vy+dvy ， vz vz+dvz,同理對 y、z 分量，故平均速度為零,2.4 麥克斯韋速率分布律的實(shí)驗(yàn)

7、驗(yàn)證,給定,小孔充分小，改變，測D上的沉積厚度，就可測氣體速率分布,從小孔出射的氣體分子數(shù)目,單位時(shí)間內(nèi)打到單位面積上的 分子數(shù)目（分子數(shù)密度n,速率在 v v+dv 的分子數(shù)目,瀉流的速率分布率,嚴(yán)格推導(dǎo),只有vx0的才打到墻壁,壓強(qiáng),以上推導(dǎo)用到,2.5 玻耳茲曼分布律,假如氣體分子有勢能 Ep = Ep( x，y，z )， E = Ep+ Ek,玻耳茲曼推廣：氣體分子速度在區(qū)間 vx vx+dvx ， vy vy+dvy ， vz vz+dvz ， 位置在區(qū)間 x x+dx，y y+dy，z z+dz 分子數(shù)目為,為準(zhǔn)確描述玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)，引入一概念 - 微觀狀態(tài),微觀狀態(tài)：一氣體分子處于

8、速度區(qū)間 vx vx+dvx ， vy vy+dvy ， vz vz+dvz ，位置區(qū)間 x x+dx，y y+dy，z z+dz， 稱該分子處于一種微觀狀態(tài)， dvx dvy dvz dxdydz 所限 定的區(qū)域稱為狀態(tài)區(qū)間,玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)：溫度T 的平衡狀態(tài)下，任何系統(tǒng)的微觀粒子按 狀態(tài)的分布，即在某一狀態(tài)區(qū)間的粒子數(shù)與該 狀態(tài)區(qū)間的一個(gè)粒子的能量 E有關(guān)，而且與 e -E /kT 成正比,玻耳茲曼因子,其它情形，如原子 處于不同能級的 原子數(shù)目,代入上式，歸一化,分子數(shù) dN 處于位置區(qū)間 x x+dx，y y+dy，z z+dz,令 Ep =0 處 氣體密度 n0,氣體密度隨高度變化,重

9、力場中的氣體分子按位置分布,恒溫氣壓公式（高度計(jì),設(shè)溫度不隨高度變化 P = P0 e - gh /RT,根據(jù)壓強(qiáng)變化測高度，實(shí)際溫度也隨高度變化， 測大氣溫度有一定的范圍，是近似測量,2.6 實(shí)際氣體等溫線,在非常溫或非常壓的情況下，氣體就不能看成理想氣體了,飽和蒸汽壓（汽液共存時(shí)的壓強(qiáng)）與體積無關(guān),臨界點(diǎn)以下汽體可等溫壓縮液化，以上氣體不能等溫壓縮液化,實(shí)際氣體的等溫線可以分成四個(gè)區(qū)域: 汽態(tài)區(qū)(能液化)，汽液共存區(qū)，液態(tài)區(qū)，氣態(tài)區(qū)(不能液化,例. 設(shè)P0=1 atm.恒壓下加熱水，起始狀態(tài)為a點(diǎn),ab: P = P0 不變，t 增加，直到到達(dá) t =1000C的等溫線上的b點(diǎn)。 這時(shí)液體

10、中有小汽泡出現(xiàn)（汽化,再繼續(xù)加熱，液體中有大量汽泡產(chǎn)生-沸騰。但溫度仍是t=1000C，它就是1大氣壓下水的沸點(diǎn),bc: 繼續(xù)加熱，水與水汽共存，溫度保持不變，水吸收汽化熱，直到全部變?yōu)樗魵?cd: 繼續(xù)加熱，水蒸氣的溫度升高。 如果在壓強(qiáng) P P0 的條件下加熱水，因?yàn)轱柡驼羝麎罕容^小，水的沸點(diǎn)也比較小，水在不到1000C的條件下保持沸騰狀態(tài)（比如900C），溫度上不去，飯就煮不熟。 用高壓鍋制造一個(gè)局部高壓，沸點(diǎn)就提高了,2.7 范德瓦爾斯方程,實(shí)際氣體要考慮分子大小和分子之間的相互作用,兩個(gè)分子之間的相互作用勢,r0 稱作分子半徑 10 -10 m,平衡位置,s 有效作用距離 10-9

11、m,分子“互不穿透性,分子為剛性球，氣體分子本身占有體積 ，容器容積應(yīng)有修正,一摩爾氣體,理論上 b 約為分子本身體積的 4 倍,估算 b 值 10 -6 m3,通常 b 可忽略，但壓強(qiáng)增大，容積與 b 可比擬時(shí)， b 的修正就必須了,實(shí)際 b 值要隨壓強(qiáng)變化而變化,分子間引力引起的修正,器壁附近分子受一 指向內(nèi)的引力，降 低氣體對器壁的壓 力，稱為內(nèi)壓強(qiáng),器壁分子對氣體分子的引力，增大氣體分子的沖量， 加大對器壁的壓強(qiáng)，但同時(shí)，氣體分子對器壁分子 的引力減少對器壁的壓強(qiáng)，這兩個(gè)量剛好互相抵消,內(nèi)壓強(qiáng)與器壁附近吸引氣體分子的氣體密度成正比， 同時(shí)與在器壁附近被吸引氣體分子的氣體密度成正比,Pi

12、 n2,質(zhì)量為 M 的氣體,上兩式就是范德瓦耳斯方程,對氮?dú)?，常溫和壓?qiáng)低于 5107 Pa范圍,2.8 氣體分子的平均自由程,氣體分子自由程,線度 10-8m,運(yùn)動(dòng)方向上，以 d 為半徑的圓柱體內(nèi)的分子都將與分子A 碰撞,該圓柱體的面積 就叫 碰撞截面 = d2,對空氣分子 d 3.5 10 -10 m,氣體容器線度小于平均自由程計(jì)算值時(shí)，實(shí)際平均自由程 就是容器線度的大小,取平均,各個(gè)方向隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，故為零,設(shè) 均方根速率與平均速率的規(guī)律相似，則由上式,2.9 輸運(yùn)過程,最簡單的非平衡態(tài)問題：不受外界干擾時(shí)，系統(tǒng)自發(fā)地從非 平衡態(tài)向物理性質(zhì)均勻的平衡態(tài)過渡過程 - 輸運(yùn)過程,系統(tǒng)各部分的物理

13、性質(zhì)，如流速、溫度或密度不均勻時(shí)， 系統(tǒng)處于非平衡態(tài),非平衡態(tài)問題是至今沒有完全解決的問題， 理論只能處理一部分，另一部分問題還在研究中,介紹三種輸運(yùn)過程的基本規(guī)律,內(nèi)摩擦,熱傳導(dǎo),擴(kuò)散,內(nèi)摩擦,現(xiàn)象：A盤自由，B盤由電機(jī)帶動(dòng)而 轉(zhuǎn)動(dòng)，慢慢A盤也跟著轉(zhuǎn)動(dòng)起來,解釋：B盤轉(zhuǎn)動(dòng)因摩擦作用力帶動(dòng)了 周圍的空氣層，這層又帶動(dòng)鄰近層， 直到帶動(dòng)A盤,這種相鄰的流體之間因速度不同，引起的 相互作用力稱為內(nèi)摩擦力，或粘滯力,流速不均勻，沿 z 變化（或有梯度,不同流層之間有粘滯力,設(shè)，dS 的上層面上流體對下層面上流體的粘滯力為 df， 反作用為 df ，這一對力滿足牛頓第三定律,實(shí)驗(yàn)測得,稱為粘滯系數(shù),20 oC 時(shí)，水為 1.005 10-3 Pa s 空氣為 1.71 10-7 Pa s,流速大的流層帶動(dòng)流速小的流層，流速小的流層后拖流速 大的流層,用分子運(yùn)動(dòng)論應(yīng)該可以從微觀推導(dǎo)出上面公式,微觀上，這種粘滯力是動(dòng)量傳遞的結(jié)果,下層 平均自由程 l 的區(qū)域，單位時(shí)間通過 dS 面積，向 上層輸運(yùn)動(dòng)量的平均 x 分量,上層 平均自由程 l 的區(qū)域，單位時(shí)間通過dS 面積，向 下層輸運(yùn)動(dòng)量的平均 x 分量,比較實(shí)驗(yàn)定律,結(jié)果支持了分子運(yùn)動(dòng)論,熱傳導(dǎo),溫