《差分方程建模》PPT課件.ppt

1、第五講 差分方程建模,處理動態(tài)的離散型的問題,處理對象雖然涉及的變量(如時間)是連續(xù)的，但是從建模的目的考慮，把連續(xù)變量離散化更為合適，將連續(xù)變量作離散化處理，從而將連續(xù)模型(微分方程)化為離散型(差分方程)問題,5.1 銀行復利問題 5.2 抵押貸款買房問題 5.3 減肥計劃節(jié)食與運動 5.4 按年齡分組的種群增長 5.5 差分基礎知識,5.1 銀行復利問題,背景,所付利息一年內(nèi)復合n次，即把一年分n個相等的時間段，而所付利息為每一時間段的未尾,給出一個可以預測在任意給定時間的帳目余額,分析,帳目余額與時間直接相關，而時間是離散的,本期結(jié)束時的總存款等于前一時期余下的本利，及本利得到的利息與

2、第本期內(nèi)新存入的存款之和,任何時候都可以存款,模型假設,1. 儲蓄的年利率為 r,2. 任何時候都可以存款，但存款利息只從下一時期開始計算，如時間段開始第一天的存款即開始計算利息,t期結(jié)束時的總存款,記號,第t期內(nèi)的新存款,模 型,注：上式中n=2時，相應于半年的復利，而n=365則是相應于逐日計算的復利,5.2 抵押貸款買房問題,背景,每戶人家都希望有一套屬于自己的住房，但又沒有足夠的資金一次買下。這就產(chǎn)生了貸款買房問題。某新婚夫婦急需一套屬于自己的住房。他們看到一則理想的房產(chǎn)廣告：“名流花園之高尚住宅公寓，供工薪階層選擇。一次性付款優(yōu)惠價40.2萬元。若不能一次性付款也沒關系，只付首期款為

3、15萬元，其余每月1977.04元等額償還，15年還清。(公積金貸款月利息為3.675,問題,公寓原來價多少？每月等額付款如何算出來,假設,貸款期限內(nèi)利率不變,銀行利息按復利計算,記號,A（元）：貸款額（本金,n（月）：貨款期限,r ：月利率,B(元) :月均還款額,Ck：第k個月還款后的欠款,模型,求解,代入n=180、 r=0.003675、 B=1977.04,結(jié)果： A=260000（元,一次性優(yōu)惠價9.8折,還款總額 ？ 利息負擔總額 ,5.3 減肥計劃節(jié)食與運動,背景,多數(shù)減肥食品達不到減肥目標，或不能維持,通過控制飲食和適當?shù)倪\動，在不傷害身體的前提下，達到減輕體重并維持下去的目

4、標,分析,體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起,飲食（吸收熱量）引起體重增加,代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少,體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2). 18.525 超重; BMI30 肥胖,模型假設,1）體重增加正比于吸收的熱量每8000千卡增加體重1千克,2）代謝引起的體重減少正比于體重 每周每公斤體重消耗200千卡 320千卡(因人而異), 相當于70千克的人每天消耗2000千卡 3200千卡,3）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動形式有關,4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千克，每周吸收熱量不要小于10000千卡,基本模型,w(k) 第k天(末)體重,c(k) 第k天吸

5、收熱量,代謝消耗系數(shù)(因人而異,因運動,每小時每千克體重消耗的熱量 (千卡) (因運動項目而異,t: 每天運動時間(小時,某甲體重100千克，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變。現(xiàn)欲減肥至75千克,第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達到下限（10000千卡,第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標,2）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃,1）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃,減肥計劃,3）給出達到目標后維持體重的方案,確定某甲的代謝消耗系數(shù),即每周每千克體重消耗 20000/100=200千卡,基本模型,w(k) 第k周(末)體重,c(k) 第k周吸收

6、熱量,代謝消耗系數(shù)(因人而異,1）不運動情況的兩階段減肥計劃,每周吸收20000千卡 w=100千克不變,第一階段: w(k)每周減1千克, c(k)減至下限10000千卡,第一階段10周, 每周減1千克，第10周末體重90千克,吸收熱量為,1）不運動情況的兩階段減肥計劃,第二階段：每周c(k)保持Cm, w(k)減至75千克,1）不運動情況的兩階段減肥計劃,基本模型,第二階段：每周c(k)保持Cm, w(k)減至75千克,第二階段19周, 每周吸收熱量保持10000千卡, 體重按 減少至75千克,運動 t=24 (每周跳舞8小時或自行車10小時), 14周即可,2）第二階段增加運動的減肥計劃

7、,t每周運動時間(小時,3）達到目標體重75千克后維持不變的方案,每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)C，使體重w不變,不運動,運動(內(nèi)容同前,5.4 按年齡分組的種群增長,不同年齡組的繁殖率和死亡率不同,建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律,假設與建模,種群按年齡大小等分為n個年齡組，記i=1,2, , n,時間離散為時段，長度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2,以雌性個體數(shù)量為對象,第i 年齡組1雌性個體在1時段內(nèi)的繁殖率為bi,第i 年齡組在1時段內(nèi)的死亡率為di, 存活率為si=1- di,假設 與 建模,xi(k)時段k第i 年齡組的種群數(shù)量,按年齡組的分布向量,預測任意時段種群按年

8、齡組的分布,Leslie矩陣(L矩陣,設至少1個bi0,穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學知識,L矩陣存在正單特征根1,若L矩陣存在bi, bi+10, 則,P的第1列是x,特征向量,解釋,L對角化,穩(wěn)態(tài)分析k充分大種群按年齡組的分布,種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，x*稱穩(wěn)定分布, 與初始分布無關,各年齡組種群數(shù)量按同一倍數(shù)增減， 稱固有增長率,3）=1時,各年齡組種群數(shù)量不變,1個個體在整個存活期內(nèi)的繁殖數(shù)量為1,穩(wěn)態(tài)分析,存活率 si是同一時段的 xi+1與 xi之比,與si 的定義 比較,3）=1時,處一階向前差分,5.5 差分基礎知識,一 差分,1.概念,處k階向前差分,處一階向后差分,處k階向后差分,

9、處一階中心差分,處k階中心差分,2. 性質(zhì),二 常微分方程化為差分方程,用導數(shù)近似式替代導數(shù)或者說用適當近似式替代含有導數(shù)的表達式，可以得到這些近似值滿足的代數(shù)方程-差分方程,以二階常微分方程邊值問題為例,目的求,差分法,一般k階常系數(shù)線性差分方程為,差分方程,二 偏微分方程化為差分方程,以二階橢圓方程的邊值問題為例,用兩族平行坐標軸的直線,正方形網(wǎng)格把區(qū)域G剖分,節(jié)點可分三類,1通過該節(jié)點的網(wǎng)格線上的相鄰四網(wǎng)點都在G內(nèi),記 G1,2在G內(nèi)部但不屬于G1 ，記G2,3恰在邊界上記G3,確定各節(jié)點處解的近似值uij，需要建立代數(shù)方程，每一節(jié)點建立一個代數(shù)方程,任務,偏導數(shù)近似式替代,差分方程,偏導數(shù)近似式替代,四 二階常系數(shù)齊次差分方程求法,齊次差分方程,1)特征方程有兩個不相等實根,2)特征方程