定積分的性質(zhì)和基本定理

1、第二節(jié) 定積分的性質(zhì)和基本定理用求積分和式的極限的方法來計(jì)算定積分不是很方便，在很情況下難以求出定積分的值。因此，我們在定積分定義的基礎(chǔ)上，討論它的各種性質(zhì)，揭示定積分與微分的內(nèi)在聯(lián)系，尋找定積分的有效的，簡便的計(jì)算方法。2.1 定積分的基本性質(zhì)一、定積分的基本性質(zhì)性質(zhì)1 ba1dx=badx=b-a證 f(i）xixi (b-a)=b-a所以 ba1dx=badx=b-a性質(zhì)2(線性運(yùn)算法則)，設(shè)f(x),g(x)在a,b上可積，對任何常數(shù)、，則f(x)+g(x)在a,b上可積，且 baf(x)+g(x)dx=baf(x)dx+bag(x)dx證：設(shè)F(x)=f(x)+g(x),由 F(i）

2、xif(i)+g(i）xi f(i）xig(i）xi baf(x)dx+bag(x)dx，因此f(x)+g(x)在a,b上可積，且 baf(x)+g(x)dx=baf(x)dx+bag(x)dx特別當(dāng)=1,=1時(shí)，有 baf(x)g(x)dx=baf(x)dxbag(x)dx當(dāng)=0時(shí) baf(x)dx=baf(x)dx性質(zhì)2 主要用于定積分的計(jì)算性質(zhì)3 對于任意三個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c，若f(x)在任意兩點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)間上可積，則 baf(x)dx=caf(x)dx+bcf(x)dx證 a,b,c的位置，由排列知有六種順序(i)當(dāng)acb，按定義，定積分的值與區(qū)間分法無關(guān)，在劃分區(qū)間a,b時(shí)，可以讓點(diǎn)C是

3、一個(gè)固定的分點(diǎn)，則有 baf(x)dx=f(i）xif(i）xif(i)xif(i)xif(i）xicaf(x)dx+bcf(x)dx（ii)當(dāng)cba由(i)知acf(x)dx=bcf(x)dx+abf(x)dx有-caf(x)dx=bcf(x)dx-baf(x)dx,則baf(x)dx=caf(x)dx+bcf(x)dx對于其它4種位置與(ii)證明類似。性質(zhì)3主要用于分段函數(shù)的計(jì)算及定積分說明。性質(zhì)4 若f(x)在a,b上可積，f(x)0，且a0，有f(i）xi0有f(i）xi0，由函數(shù)極限不等式知 baf(x)dx=f(i）xi0性質(zhì)4用于不通過計(jì)算，判別定積分的符號。性質(zhì)5 若f(x)

4、,g(x)在a,b上可積，f(x)g(x)，且a0證 由f(x)=0，則存在x0a,b，不妨設(shè)x(a,b)，有f(x)0，由f(x)在a,b上連續(xù)，所以在點(diǎn)x處連續(xù)，即f(x)=f(x)0，由連續(xù)保號性知，對00，當(dāng)x(x-,x）時(shí)，有f(x) xx，x (x，x）時(shí)，f(x) ，則baf(x)dx=xaf(x)dx+f(x)dx+bxf(x)dxf(x)dxdx=dx=0性質(zhì)6用于判斷定積分值的符號推論 若f(x),g(x)在a,b上連續(xù)，f(x)g(x)，且f(x)g(x)，abag(x)dx該推論用于不通過計(jì)算比較兩定積分的大小若將性質(zhì)5用不等式f(x)f(x)f(x)，有baf(x)d

5、xbaf(x)dxbaf(x)dx，于是有性質(zhì)7 若f(x)在a,b上連續(xù)，則 baf(x)dxbaf(x)dx性質(zhì)8 若f(x)在a,b上連續(xù)，m、M是f(x)區(qū)間a,b上的最小值與最大值，則 m(b-a)baf(x)dxM(b-a)該性質(zhì)用于估計(jì)定積分值的范圍證：由mf(x)M,xa,b ab由性質(zhì)5知 m(b-a)=bamdxbaf(x)dxbamdx=M(b-a)性質(zhì)9 (積分中值定理)若f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，a0，有 mM由f(x)在a,b上連續(xù)，則m,M為函數(shù)值域，故至少存在一點(diǎn)a,b，使 f() (2.2)則 baf(x)dx=f()(b-a)積分中值定理的幾何意義：設(shè)f

6、(x)0，則baf(x)dx的數(shù)值表示曲線y=f(x),y=0,x=a,x=b同成的曲邊梯形面積，如圖-表明，在區(qū)間a,b上至少存在一點(diǎn)，以處的縱坐標(biāo)f()為高，(b-a)為底的矩形面積，等于該曲邊梯形的面積。圖- f()即(2.2)式左邊所確定的值，稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的平均值。積分中值定理與微分中值定理同樣重要，利用積分中值定理可以證明方程根的存在性，適合某種條件的存在性及不等式，有時(shí)與微分中值定理綜合運(yùn)用解決一些問題。例 設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)，(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且3f(x)dx=f(0),證明在(0,1)內(nèi)存在一點(diǎn)，使f（)=0證：由積分中值定理知，在，上存在一點(diǎn)c,使

7、 f(x)dx=f(c)（）f(c)=f(0)故f(x)在區(qū)間0,c上滿足羅爾定理?xiàng)l件，因此至少存在一點(diǎn)(0,c) (0,1)使f()=0例 證明dx=0證 由積分中值定理0dx n，有nn（）n，由（）n=0，由夾逼定理知nn，而00)解 令x=asint，則t，時(shí)，x=asint0,a，且t=0時(shí)，x=0,t=時(shí)，x=a,于是 adxacostdasintacostdt (1+cos2t)dtt+圖- 利用定積分幾何意義知，由0，則adx表示曲線y=與x軸，y軸圍成的曲邊梯形面積，即以原點(diǎn)為心以a為半徑圓面積的倍，為例3 解 設(shè)t，即x，則dx=-tdt由變換t=，當(dāng)x=-1時(shí)，t=3，當(dāng)

8、x=1時(shí)，t=1，因此（）t dt dt（t5t）例4 求解 令x=sint，則dx=costdt，當(dāng)x時(shí)，t=；當(dāng)x時(shí)，t=，故cscx dt（-ot t)=(-1)-(-）例5 設(shè)f(x)=，求f(x-2)dx解 f(x-2)dx,令x-2=tf(t)dt（t+t）（-e-t)（）（e）二、分部積分相應(yīng)于不定積分的分部積分公式，定積分也有分部積分公式，若u(x),v(x)在區(qū)間a,b上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，有u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)有u(x)v(x)=u(x)v(x)-u(x)v(x)由等式兩邊的函數(shù)在a,b上都連續(xù)，因此可積且相等，有bau(x)v(x)dx=ba(

9、u(x)v(x)-u(x)v(x)dx于是bau(x)dv(x)=u(x)v(x)babav(x)du(x)，簡記為baudv=uvba-bavdu，因此有定理(定積分的分部積分)，若u(x),v(x)在a,b上具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，則 baudv=uvba-bavdu （）公式(3.2)告訴我們，在利用定積分分部積分公式計(jì)算定積分時(shí)，不必等到原函數(shù)求出以后才將上下限代入，可以算一步就代一步。例6 xcosx dx解xcosx dx=xdsinxxsinx2xsinxdx=+2xdcosx（xcosxcosxdx)=2(2-sinx) 例7 dx解dxdxxdtgxxtanx-tanxdxlnco

10、sxln2例8 設(shè)f(x)=x dt,計(jì)算f(x)dx解 f(x)dx=xf(x) xf(x)dxdt-xdxdx-xdxsinxdxsinxdx=（-cosx) 3.2 幾種定積分簡化的計(jì)算方法一、關(guān)于原點(diǎn)對稱區(qū)間上函數(shù)的定積分(i)若f(x)在區(qū)間-a,a上連續(xù)，則f(x)= （）事實(shí)上，由f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx由f(x)dx,令x=-t, f(-t)d(-t)f(-x)dx 故f(x)dx=(ii)若f(x)在-a,a上連續(xù)f(x)=，由為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，由(i)知f(x)dx=dx+ dx2dx=f(x)+f(-x)dx （）例9 求 (x+x)e-xdx解 由xe

11、-x為偶函數(shù)，xe-x為奇函數(shù)，從而（x+x)e-xdxxexdx=2xe-xdx2xd(-e-x)=2-xe-xe-xdxe-e-xee例10 dx解，雖然在，上既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，但我們可以利用(ii)來簡化計(jì)算，有dx=dx()dx=sinxdx（cos2x)dx= (x-sin2x)（）注：本題用其它方法很難求出。二、周期函數(shù)的定積分設(shè)f(x)為同期函數(shù)，周期為T，且連續(xù)，則f(x)dx=f(x)dx(a是任意常數(shù)) (3.5)事實(shí)上，由f(x)dxaf(x)dx+Tf(x)dx+f(x)dx由f(x)dxaf(t+T)dt=af(t)dt=af(x)dx,于是f(x)dx=-

12、af(x)dx+Tf(x)dx+af(x)dx=f(x)dx三、sinnx,cosnx在，上的積分對任意的自然數(shù)n，有sinnxdxcosnxdx （）證：首先證明sinnxdxcosnxdx由sinnxdxsinn（t)d(t)cosntdtcosnxdx設(shè) Insinnxdx由 Insinnxdxsinn-1xdcosx-sinn-1xcosx+cosx(n-1)sinn-2xcosxdx(n-1) sinn-2x(1-sinx)dx(n-1) sinn-2xdx-(n-1) sinnxdx(n-1)In-2-(n-1)In，有In In-2In-4當(dāng)n為偶數(shù)時(shí) In=當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) In=

13、由Isinxdx=，sinxdxcosx因此 sinnxdx例11 求x dx解 xdxxdx2sintcosdt=2sint(1-sint)dtsintdt-sint dt（）例12 證明sin2nxdx=cos2nx=4sin2ndx證 首先證明sin2nxdx=cos2nxdx由sin2nxdxsin2n(2-t)dtcos2ntdtcos2nxdx由sinx周期為，當(dāng)然2也是它的一個(gè)周期，從而sin2nx的周期為，并且2也是它的一個(gè)周期，由公式(3.5)有sin2nxdx=sin2nxdxsin2nxdxsin2nxdx=4sin2nxdx從證明的過程，我們還可以得到sin2nx dx

14、cos2nxdx=2sin2nxdx掌握以上的公式，可以化簡定積分的計(jì)算四、靈活運(yùn)用變量代換、計(jì)算定積分例13 設(shè)函數(shù)f(x)在，上連續(xù)，證明 xf(sinx)dxf(sinx)dx并利用此結(jié)果，計(jì)算dx證xf(sinx)dx-(-t)f(sint)dt (-x)f(sinx)dx=f(sinx)dx-xf(sinx)dx于是移項(xiàng)并除2，就有 xf(sinx)dx=f(sinx)dx利用此結(jié)果dx=dx=dxcosxdcosxdcosxdcosxdcosx（cosx）(aretan(cosx) ）例14 計(jì)算 dx解 dxsectdtlndt=dtlndtlncos（t)dt-lncostdt

15、圖- 由lncos（t)dtlncosudulncostdt，所以質(zhì)式ln dtln以上兩個(gè)例子，被積函數(shù)的原函數(shù)很難求出來。例18 求dt解 由dtdududt由dtdt=dt=故dt。第四節(jié) 定積分的應(yīng)用4.1 平面圖形的面積設(shè)連續(xù)曲線y=f(x)，ox軸及直線x=a,x=b(ab)圖- 所圍成的曲邊梯形的面積為S(1)當(dāng)f(x)0時(shí)，由定積分幾何意義知，S=baf(x)dxbaf(x)dx(2)當(dāng)f(x)0時(shí)，作出曲線y=f(x)關(guān)于ox軸的對稱曲線y=-f(x)，則曲線y=-f(x)，ox軸及直線x=a,x=b圍成曲邊梯形的面積S與S相等，如圖-，即Sba-f(x)dx=baf(x)d

16、x因此，一般地連續(xù)曲線y=f(x),ox軸及直線x=a,x=b(ab)所圍的曲邊梯形的面積S為S=baf(x)dx （）同理，由曲線x=(y),oy軸及直線y=c,y=d(cd)所圍的曲邊梯形面積S(如圖-)為S=dc(y)dy=ec(y)dy+de-(y)dy一般地，由兩條連續(xù)曲線y=f(x),y=f(x)及直線x=a,x=b(ab)，所圍的平面圖形面積的計(jì)算公式為S=baf(x)-f(x)dx （） 圖- 圖-事實(shí)上，對圖-baf(x)dx-baf(x)dxbaf(x)-f(x)dxbaf(x)-f(x)dx圖- 圖5-12 對圖5-11進(jìn)行坐標(biāo)軸平移(設(shè)00=k)，在新坐標(biāo)系下兩條曲線分

17、別為y=f(x)+k,y=f(x)+k,由圖5-10知Sba(f(x)+k)-(f(x)+k)dxbaf(x)-f(x)dx對如圖5-12caf(x)-f(x)dx+bcf(x)-f(x)dxcaf(x)-f(x)dxbcf(x)-f(x)dxbaf(x)-f(x)dx對上面3種情況也可用定義得到，如圖-，在a,b內(nèi)插入n-1個(gè)分點(diǎn)a=xxxxi-1xixn-1xn=b相應(yīng)地分成n個(gè)小區(qū)間xi-1,xi，記xi=xi-xi-1過分點(diǎn)作oy軸平行線增大的圖形分成n個(gè)小的圖形。設(shè)第i個(gè)圖形的面積為Si i=1,2,n由兩條曲線連續(xù)，近似看成矩形，底為xiixi-1,xi,高為f（i)-f(i）有S

18、if(i)-fi(i）xiSf(i）-f(i)xibaf(x)-f(x)dx同樣 由連續(xù)曲線x=(y)，x=(y)，及直線y=c,y=d所圍的曲邊梯形面積為S=dc(y)-（y)dy，如圖-圖- 圖5-14求簡單曲線所圍成的面積時(shí)(1)首先求出曲線的交點(diǎn)(2)畫出經(jīng)過交點(diǎn)的曲線(3)由所圍的平面圖形，選擇適當(dāng)?shù)墓絹碛?jì)算。注意 若曲線很簡單時(shí)，也可在畫曲線的過程中求交點(diǎn)。另外，也可利曲線關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，來簡化計(jì)算。例 求由拋物線y=2x及直線y=x-4所圍成的平面圖形的面積。解 由 解得圖5- 所求的面積是由曲線x=y+4,x=y及直線y=2,y=4所圍成，如圖-，故有S(y+4)- ydy（

19、y）本題如用公式(4.3)來計(jì)算，就需要將整個(gè)面積分成兩部分S及S，然后計(jì)算S，相加才得S，讀者可以計(jì)算一下，這樣做就復(fù)雜多了。例 求曲線y=，及直線y=x,x=2所圍成的平面圖形面積解 此題的曲線都很簡單，可在畫曲線的過程中求出交點(diǎn)，所求的面積由曲線y=x,y=及直線，x=2所圍成，如圖-，故有圖5- S(x-）dx（x-lnx)（ln2)-( ）ln2圖5- 例 求橢圖所圖的面積解 由橢園關(guān)于x軸及y軸對稱，只需計(jì)算位于第一象限部分的面積，然后乘以4就得到求平面圖形面積S，如圖-由，解得y=，故上半橢園的方程是y=，因此Sadxacostacostdt=4abcostdt4ab=ab特別，

20、當(dāng)a=b=R時(shí)，得園的面積為S=R4.2 立體及旋轉(zhuǎn)體的體積一、立體的體積設(shè)為一空間位體，它夾在垂直于x軸的兩平面x=a與x=b之間(ab)，我們稱為位于a,b上的空間立體，在區(qū)間a,b上任意一點(diǎn)x處，作垂直于x軸的平面，它截得立體的截面面積顯然是x的函數(shù)，記為A(x),設(shè)為x的連續(xù)函數(shù)，xa,b，我們稱為空間立體的截面面積函數(shù)，如圖-所示，如何計(jì)算立體的體積。1.分割 在區(qū)間a,b內(nèi)插入n-1個(gè)分點(diǎn)a=xxxxi-1xixn-10寫出部分量Q的近似值f(x)x，即 Qf(x)x要求f(x)x是Q的線性主部dQ，即在計(jì)算的過程中，盡可能的精確，可以略去x的高階無窮小。這一步是最關(guān)鍵，最本質(zhì)的一

21、步，所以稱為微元分析法或簡稱微元法2.得微分 dQ=f(x)dx3.得積分 Q=baf(x)dx二、曲邊扇形的面積求由連續(xù)曲線r=r()與射線=,=所圍圖形(圖-)，(稱為曲邊扇形)的面積。由曲邊扇形分布在區(qū)間，上圖- 1.考察,+區(qū)間上曲邊扇形的面積Sr()2.dSr()d3.Sr()d （）下面 我們來證明r()確實(shí)是S的線性主部，即dSr()d事實(shí)上，由函數(shù)r=r()在，上連續(xù)，則在區(qū)間,+上連續(xù)，設(shè)M，m為r()在,+的最大值與最小值，則mr()M,有mr()，即mSm有mM當(dāng)0時(shí)有mr() Mr()，由夾逼定理知r()，即 dSr()d但實(shí)際中，要檢驗(yàn)所求的近似值f(x)x是否為Q的

22、線性主部即dQ或者說要檢驗(yàn)Q-f(x)x是否是Q的高階無窮小往往不是一件容易的事，并不是每個(gè)實(shí)際問題都可以像求曲邊扇形的那樣來進(jìn)行檢驗(yàn)，因此，在求Q的近似值時(shí)要特別小心謹(jǐn)慎，要盡可能的精確，對于x的高階無窮小可以略去，還可以用實(shí)踐來檢驗(yàn)結(jié)論的正確性。例6 求雙紐線(x+y）=x-y所圍圖形的面積圖- 解 由方程中x用-x代替方程不變，y用-y代替方程不變，則曲線關(guān)于x軸及y軸對稱，因而面積只須計(jì)算第一象限面積，再乘以4倍。由從方程中解y很困難，因此難認(rèn)用直角坐標(biāo)系下求平面圖形面積的方法，雙紐線在極坐標(biāo)系下的方程 r=cos2 r在第一象限0，要使r0，則0由公式(4.11)有Sr()dcos2

23、d=sin2三、平面曲線的弧長在初等幾何中，解決園周的長度問題所用的方法是：利用園內(nèi)接正多邊形的周長作園周長的近似值，再令多邊形的邊數(shù)無限增多而取極限，就定出園周的周長，因此，我們也用類似的方法來定義平面曲線弧長的概念。定義 設(shè)A，B是平面曲線的兩個(gè)端點(diǎn)(這里所指的曲線弧，它自身不相交，且非封閉，否則，可分段考慮，并規(guī)定曲線的弧長為各個(gè)分段的弧長之和。)在上依次任意取點(diǎn)A=MMi-1,MiMn圖- 作折線MMi-1MiMn(如圖)以Sn記此折線的長，即Sn記，若Sn存在，此極限與曲線弧上點(diǎn)Mi的取法無關(guān)，則稱此極限為曲線的長度或曲線的弧長，此時(shí)，也稱曲線是可求長的。設(shè)所給曲線由參數(shù)方程t表示，

24、其中(t),(t)在，上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且(t)+(t)0，我們稱為光滑曲線，設(shè)的兩個(gè)端點(diǎn)A，B各對應(yīng)于參變量t的與(t時(shí)，S取正值；當(dāng)t0從這里也可以看出s=s(t)是增函數(shù)，改寫成微分形式，即得弧長的微分方式 ds=dt （）(4.13)式稱為弧長的微分方式若曲線方程 y=f(x) (axb) 則 ds=dx若曲線方程 x=(y) (cyd)則 ds=dy若曲線方程 r=r() 則 ds=d弧微分的幾何意義：由ds=dt 有ds= （）圖- 它的幾何意義是，當(dāng)自變量x增加到x+x時(shí)，相應(yīng)的曲線的切線長 MP=ds=s這正是在點(diǎn)M處曲線的長可近似用切線長來代替的原因。例 求園x+y的周長解

25、記園的方程化成參數(shù)方程 2則sdRdR例 求曲線xylny(1ye)的弧長解 所求曲線的弧長為s=ee dy例 求內(nèi)擺線xy=a的周長解 由曲線關(guān)于x軸及y軸對稱，只需計(jì)算第一象限內(nèi)曲線的長乘以4即可，不妨設(shè)a0由 y=，（）s=4a（）dx=6a注：也可化為參數(shù)方程在第一象限的參數(shù)0由 xacossin y=3asincoss=4dasincosd=6asin2d=3a(-os2)=6a圖- 四、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面面積求連續(xù)曲線y=f(x)，x軸及直線x=a,x=b(0ab)圖- 所圍的平面圖形繞y軸所形成旋轉(zhuǎn)體的立體體積Vy。把所求的旋轉(zhuǎn)體看成分布在區(qū)間a,b上。1.取區(qū)間x,x+x，該區(qū)

26、間上平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積V為一個(gè)空心園柱體。由第二章第三節(jié)微分的實(shí)際例子知Vy2xf(x)x2.dVy=2xf(x)dx3.Vy=2baxf(x)dx例10 求由曲線y=(x-1)(x-2)和x軸圍成一平面圖形，求此平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。解 由公式(4.15)知Vy2x(x-1)(x-2)dx-2x(x-1)(x-2)dx=2 求由連續(xù)曲線y=f(x)，x軸及直線x=a,x=b所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所形成旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面面積Sx。如圖-圖-將所求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積看成分布在區(qū)間a,b上1.選取區(qū)間x,x+x，該區(qū)間的側(cè)面積Sx看成上底半徑為f(x)，下底半徑為f(x+x)

27、，母線為S的園臺的側(cè)面積，因此，由園臺側(cè)面積公式Sx2Sx2f(x)x即Sx又可簡單地看作一園柱的側(cè)面積，該圓柱的底園半徑為f(x)，高為ds=dx2 dsxf(x)dx3 sx=2baf(x)dx （）注意，園柱的高不能看成x，否則Sx2f(x)x但f(x)(）一般情況下不為0，(當(dāng)f(x)0,f(x)0)即dsx2f(x)dx，因此，我們計(jì)算Q的近似值時(shí)，要利用已知的關(guān)系，盡可能的精確。例11 求半徑為R的球面的面積解 半徑為R的球面的面積可以看成園x+y=R所圍的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所形成旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積圖- 由yS2ydx2ydxRdx=4R4.4 定積分在實(shí)際中的應(yīng)用一、液體的靜壓力在設(shè)

28、計(jì)水庫的閘門、管道的閥門時(shí)，常常需要計(jì)算油類或者水等液體對它們的靜壓為，這類問題也可用定積分來計(jì)算。例12 一園柱形水管半徑為1米，若管中裝水一半，求水管閥門之所受的靜壓力圖- 解 取坐標(biāo)系如圖，此時(shí)變量x表示水中各點(diǎn)的深度，它們變化區(qū)間是，園的方程為x+y。由物理知識，對于均勻受壓的情況，壓強(qiáng)P處處相等，要計(jì)算所求的壓力，可按公式 壓力壓強(qiáng)面積計(jì)算，但現(xiàn)在閘門在水中所受的壓力是不均勻的，壓強(qiáng)隨著水深度x的增加而增加，根據(jù)物理知識，有 P=x(噸米），W=1噸米，因此要計(jì)算閘門所受的水壓力，不能直接用上述公式，但是，如果將閘門分成幾個(gè)水平的窄條，由于窄條上各處深度x相差很小，壓強(qiáng)P=wx可看成

29、不變。1 選取深度x,x+x，所受到的壓力為F，則 Fwx2yx=wx2x2 dF=wxdx3 F2wxdx=2w(- (1-x）（噸)二、功例13 設(shè)有一直徑為20米的半球形水池，池內(nèi)貯滿水，若要把水抽盡，問至少作多少功。圖- 解 本題要計(jì)算克服重力所作的功，要將水抽出，池中水至少要升高到池的表面，由此可見對不同深度x的單位質(zhì)點(diǎn)所需作的功不同，而對同一深度x的單位質(zhì)點(diǎn)所需作的功相同，因此如圖建立坐標(biāo)系，即oy軸取在水平面上，將原點(diǎn)置于球心處，而ox軸向下(此時(shí)x表示深度)這樣，半徑可看作圖x+y在第一象限中部分繞ox軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體，深度x的變化區(qū)間是，。因同一深度的質(zhì)點(diǎn)升高的高度相同，故計(jì)算功時(shí)，宜于用平行于水平