含參不等式的解法(教師版

1、不等式(3)-含參不等式的解法當在一個不等式中含有了字母，則稱這一不等式為含參數(shù)的不等式，那么此時的參數(shù)可以從以下兩個方 面來影響不等式的求解，首先是對不等式的類型(即是那一種不等式)的影響，其次是字母對這個不等式的 解的大小的影響。 我們必須通過分類討論才可解決上述兩個問題，同時還要注意是參數(shù)的選取確定了不等式的解，而不是不等式的解來區(qū)分參數(shù)的討論。解參數(shù)不等式一直是高考所考查的重點內(nèi)容。(一)幾類常見的含參數(shù)不等式、含參數(shù)的一元二次不等式的解法:元一次不等式；當 m+1 H 1時，還需對 m+10及m+10來分類m0，圖象開口向下，1m0,圖象開口向上，與 x=4 (3 m) =0，圖象開

2、口向上，與 x軸只有一m3時，=4 ( 3 m) 0,圖象開口向上全部在 x例1：解關(guān)于的x不等式(m+1)x2-4x+1 丄!；L4j或X蘭蘭匹m+1m+1當m 1 時,(m+ 1)x2 4x +1 =0的判別式 A=4(3 m); 則當m2U3m當-1cmc3時,原不等式的解集為Jx|2屈吊/ ,2 + j3-mx 3時,原不等式的解集為 0 。小結(jié)：解含參數(shù)的一元二次不等式可先分解因式再討論求解，若不易分解, 利用函數(shù)圖象必須明確： 圖象開口方向，判別式確定解的存在范圍， 取0、取正值、取負值)對不等式實際解的影響。也可對判別式分類討論。兩根大小。二次項的取值(如成。牛刀小試：解關(guān)于x的

3、不等式ax2-2(a+1)x +4A0,(a0)思路點撥：先將左邊分解因式，找出兩根，然后就兩根的大小關(guān)系寫出解集。具體解答請同學們自己完二、含參數(shù)的分式不等式的解法:例2：解關(guān)于x的不等式*0分析：解此分式不等式先要等價轉(zhuǎn)化為整式不等式，再對 軸標根法。ax 1中的a進行分類討論求解，還需用到序解：原不等式等價于(ax-1)(x-2)(x+1)當a=0時，原不等式等價于(x-2)(x +1)c0解得-1 C X *2，此時原不等式得解集為x| -1 V X C 2；1當a0時，原不等式等價于+1)0,a則：當a二1時，原不等式的解集為x|x A -1且X H 2;2當0 a 1時，原不等式的

4、解集為x | X A1或一 1 VX v?；2I a當a丄時，原不等式的解集為彳x|-1x丄或x22Ia1當a0時，原不等式等價于+1)0 ,a則當a = -1時，原不等式的解集為x|x v2且X1；當-1 ca c0時，原不等式的解集為Jx|1或-1 xc2 UI aI當a -1時，原不等式的解集為長以一1或1；x1和a1分為兩類，再在a0,b 0)分析：解絕對值不等式的思路是去掉絕對值符號，本題要用到同解變形 |f(x)|g(x)u f(x)g(x)，首先將原不等式化為不含絕對值符號的不等式，然后就a、b兩個參數(shù)間的大小關(guān)系分類討論求解。解：|ax-2底bxu ax-2bxu (a+b)x

5、2或X 2 a +b a-b當 a b 0時，(a+b)x2=x 2此時原不等式的解集為Jx | X 0時，由(a +b)x 2得%2無解，此時原不等式的解集為 | X蘭一2L a+b2a +b2 2當 0ab 時，(a+b)x2二 x或 二 x b ：0時，原不等式的解集為 Jx|x蘭2或x二2 L；當ba0時，原不等式的解 I a+ba-bl集為x|x蘭總。小結(jié)：去掉絕對值符號的方法有定義法:I I fa（am）| a |= （狂）平方法：| f（X）國g（x）匕2 2f (x)g(X)利用同解變形：|x|O);|x|au xaa,(a0);|f(x)|g(x)u g(x) f(x) g(

6、x); | f(x)E g(x)u f(x)g(x)；（二）解含參數(shù)不等式的常用方法、通過討論解帶參數(shù)不等式例 1： X2 -x-a(a-1)02 _例2：關(guān)于x的不等式ax +（a-1）x+a-1 0對于x亡R恒成立，求a的取值范圍。二、已知解集的參數(shù)不等式例3：已知集合A=x|x2-5x+4 0 , bJxX2-2”/2 0對于一切X忘（0,）成立，貝U a的取值范圍.2例5：設(shè)f（X ）=lgF1中rn-1+n務(wù)），其中玄是實數(shù)，n是任意給定的自然數(shù)且n2，若f（x）Ln當X亡（處,1】時有意義，求a的取值范圍。例6：已知定義在R上函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在 0,畑 上是增函數(shù)，對于任意

7、 X亡R求實數(shù) m 范圍，使 f（COS20-3）+f （4m-2mcos0 ）0 恒成立。思考：對于（0, 3）上的一切實數(shù)X,不等式（x-2mw2x-1恒成立，求實數(shù) m的取值范圍。如何求解？分離參數(shù)法適用題型：（1）參數(shù)與變量能分離；（2）函數(shù)的最值易求出。四、主參換位法解帶參數(shù)不等式某些含參不等式恒成立問題，在分離參數(shù)會遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數(shù)與變量，但函數(shù)的最值卻難以求出時，可考慮變換思維角度。即把變元與參數(shù)換個位置，再結(jié)合其它知識，往往會取得出 奇制勝的效果。一般情況下，如果給出參數(shù)的范圍，則可以把參數(shù)看作主變量，進行研究。例7：若對于任意（-1,1 ，函數(shù)f（x）=x2 +（a4x+4-2a的值恒大于0,求x的取值范圍。分析：此題若把它看成x的二次函數(shù)，由于 a, x都要變，則函數(shù)的最小值很難求出，思路 受阻。若視a為主元，則給解題帶來轉(zhuǎn)機。例&已知一9蘭a蘭1,關(guān)于x的不等式：ax2 -5x + 4 0恒成立，求x的范圍。例10 :分析：若對一切IP 2log2 x + p恒成立，求實數(shù)x的取值范圍。 對于（0, 3）上的一切實數(shù)X,不等式（x-2m：2x-1恒成立，求實數(shù) m的取值范圍。一般的思路是求 x的表達式，利用