概率論與隨機(jī)過程：3.5 兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布

1、第3次課 教學(xué)內(nèi)容： 兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布。 教學(xué)目的及目標(biāo)： 熟練掌握求隨機(jī)變量函數(shù)的分布的基本方法，會求幾種類型（三類和、商、最大最?。┖瘮?shù)的分布 教學(xué)重點： 分布函數(shù)法及其應(yīng)用 教學(xué)難點： 分布函數(shù)法的正確使用，以及變換定理的理解和使用,3.5兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布,主要問題： 已知(X,Y)的分布,求 Z=g(X,Y)的分布,一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,例1,解,等價于,概率,例2 設(shè)兩個獨立的隨機(jī)變量 X 與 Y 的分布為,求隨機(jī)變量 的分布律,例3 設(shè)相互獨立的兩個隨機(jī)變量 X, Y 具有同一 分布律,且 X 的分布律為,解,一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,1、離散型隨機(jī)變量和的

2、分布,例1 若離散型隨機(jī)變量X、Y獨立，且P(X=k)=ak , k=0,1,2,； P(Y=k)=bk , k=0,1,2, 。求Z=X+Y的概率函數(shù),解,a0br+a1br-1+arb0,由獨立性,此即離散 卷積公式,r=0,1,2,解：依題意,因此,i=0,1,2,j=0,1,2,Z = X + Y 的可能取值為 0,1,2, , 且,即Z服從參數(shù)為 的泊松分布,例2 設(shè)X和Y相互獨立，XB(n1, p),YB(n2,p),求Z=X+Y 的分布,解: Z的全部可能取值為0,1, n1+ n2，而且當(dāng)k=0,1,n1+n2時, 有,所以，Zb(n1+n2, p,回憶二項分布的實際背景，我們

3、可給出本問題的一種直觀解答,同樣，Y是將上述Bernoulli試驗獨立重復(fù)n2次時事件A出現(xiàn)的次數(shù),考慮一個Bernoulli試驗，設(shè)試驗的結(jié)果為 和A，且A發(fā)生的概率為p,于是，Z=X+Y 就是在n1+n2次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，故Z B(n1+n2, p,因為X B(n1,p),所以X 是將上述Bernoulli試驗獨立重復(fù)進(jìn)行n1次時事件A出現(xiàn)的次數(shù),這個結(jié)果很容易推廣至多個的情形: 若Xi b(ni, p), i=1,2,m,且X1,Xm獨立,則X1+X2+Xmb(n1+n2+nm, p,上兩例的結(jié)果通常稱為泊松分布與二項分布的可加性，即,若 X B (n1, p), Y B

4、 (n2, p), 且X,Y獨立,則 X + Y B ( n1+n2, p,若 X P (1), Y P (2), 且X,Y獨立,則 X + Y P(1+ 2,解一:記1-p=q ，則P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n,P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 n,例3 設(shè)隨機(jī)變量X1,X2相互獨立,并且有相同的幾何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求Y=max(X1,X2)的分布,n=1,2,2、離散型隨機(jī)變量函數(shù)分布的其它例子,解二: P(Y=n)=P(Yn)-P(Yn-1,P(max(X1,X2) n )-P(max(X

5、1,X2) n-1,P(X1 n, X2n)-P( X1 n-1, X2 n-1,n=0,1,2,問題：如何求Y=min(X1,X2)的分布,留作課下思考,練2: 設(shè)(X,Y)的分布律為,求(1)V=Max(X,Y)；(2)U=Min(X,Y)；(3)W=X+Y的分布律,解: (1) V=Max(X,Y)可能取值為：0,1,2,3,4,5,PV=0=PX=0,Y=0=0,PV=1=PX=0,Y=1+PX=1,Y=0 +PX=1,Y=1 =0.01+0.01+0.02=0.04,類似可求得V取其它值的概率，從而得到V的分布律為,V=0,V=1,V=2,V=3,V=4,V=5,2) U=Min(X

6、,Y)的可能取值為：0，1，2，3 PU=i=PX=i,Yi+PXi,Y=i,i=0,1,2,3. U的分布律為,U=0,U=1,U=2,U=3,3) W=X+Y的可能取值為：0,1,2,3,4,5,6,7,8,W的分布律為,W=0,W=1,W=2,W=3,W=4,W=5,W=6,W=7,W=8,結(jié)論,問題：設(shè)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)向量,其概率密度為f(x,y),又Z=g(X,Y)為X與Y的函數(shù)（g連續(xù)）,若Z是連續(xù)型隨機(jī)變量, 求Z的概率密度fZ(z),然后由FZ(z)求出Z的概率密度fZ(z,二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,一般方法：分布函數(shù)法先求Z的分布函數(shù)Fz(z,例4: 設(shè)(X,Y)的

7、概率密度為 x, y+,求 的概率密度,解: 先求Z的分布函數(shù)FZ(z,于是可得Z的概率密度為,當(dāng)z0時, FZ(z)=0，當(dāng)z0時,1. Z=X+Y 的分布,由此可得概率密度函數(shù)為,由于 X 與 Y 對稱,所以也有,特別地，當(dāng) X, Y 獨立時,fX(z)與fY(z) 的卷積,由公式,解,例5 設(shè)兩個獨立的隨機(jī)變量 X 與Y 都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,求 Z=X+Y 的概率密度,得,有限個相互獨立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布,則,若(X ,Y,則,為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域,解: 由卷積公式,也即,為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域,如圖示,也即,于是,解,*)

8、例,此時,例,證明,同理可得,故有,當(dāng) X, Y 獨立時,由此可得概率密度為,解,例6,所以,則有,故有,生存函數(shù),或,或,推廣,若X1,Xn是連續(xù)型隨機(jī)變量，在求得M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函數(shù)后，不難求得M和N的密度函數(shù),留作課下練習(xí),例7,解,需要指出的是，當(dāng)X1,Xn相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x)時, 常稱,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn,為極值,由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的意義和實用價值,三、隨機(jī)變量變換的分布定理,設(shè)(X,Y)具有概率密度f(x,y), U=g(X,Y), V=h(X,

9、Y)。 問題：如何由(X,Y)的密度求(U,V)的概率密度？ 對此， 我們不加證明地給出如下定理,ii) g,h在A中有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)； (iii)變換()的雅可比行列式J在A中處處不為0,i) 是一一對應(yīng),中，當(dāng)(x,y)A時,(u,v)的值域為G，且變換()滿足,定理. 設(shè)(X,Y)有聯(lián)合密度f(x,y),且區(qū)域A(可以是全平面)滿足P(X,Y)A =1,在變換,則(U=g(X,Y),V=h(X,Y)的概率密度為,其中x(u,v),y(u,v)是由變換()決定的反函數(shù),利用此法求 商的分布： Z = X / Y,例8: 設(shè)X,Y相互獨立,都服從參數(shù)為=1的指數(shù)分布,而U=X+Y,V=X/Y.

10、(1)求(U,V)的聯(lián)合密度,(2)分別求U,V的概率密度,(3)討論U,V的獨立性. （教材p.136:30） 解: 首先(X,Y)的概率密度為,記 A=(x,y)|x0,y0,顯然有P(X,Y)A=1, 對變換(): 當(dāng)(x,y) A時,(u,v)的值域為G=(u,v)|u0,v0,且此變換滿足定理中的條件(i)(ii)(iii)。由變換()可解得,所以,由前述定理即得(U,V)的概率密度為,2) 由(U,V)的聯(lián)合密度可求出U,V的概率密度fU(u),fV(v,3)容易看出,對于任意的u, v，恒有f(u,v)= fU (u) fV (v) , 所以U,V相互獨立,練4: 設(shè)X,Y相互獨

11、立,服從同一分布N(0,1) ,而 (R,)是平面上隨機(jī)點(X,Y)相應(yīng)的極徑,極角,即有關(guān)系,求(R,)的聯(lián)合密度（教材p.136:31,由定理得(R,)的聯(lián)合密度為,解:變換,的定義域A=(x,y)|(x,y)(0,0,值域G=(r,)|r0,02,滿足定理的條件,并且,順便我們看出R,的概率密度分別為,并且R與是相互獨立的,注： 在求Z=g(X,Y)的概率密度時,可以再找一個X與Y的函數(shù)W=h(X,Y)使得變換 滿足定理的條件,于是利用定理的結(jié)論就可以求出（Z,W）的聯(lián)合 密度，再由聯(lián)合密度便可求出Z的概率密度。 可以用此方法導(dǎo)出X+Y，X/Y，XY，X-Y等簡單函數(shù)的概率密度的一般公式,小結(jié) 本章以二維隨機(jī)變量為主，討論了多維隨機(jī)變量的 (1)聯(lián)合分布 (2)邊緣分布 (3)X,Y的獨立性 (4)條件分布 (5) 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布。 這些內(nèi)容不難推廣到高維隨機(jī)變量，請同學(xué)們自學(xué),2若XN(,2)，則,3若Xi服從二維正態(tài)分布 N(i,