高數(shù)下冊(cè)常用常見(jiàn)知識(shí)點(diǎn)

1、高等數(shù)學(xué)下冊(cè)常用常見(jiàn)知識(shí)點(diǎn)第八章 空間解析幾何與向量代數(shù)（一） 向量及其線(xiàn)性運(yùn)算1、 向量，向量相等，單位向量，零向量，向量平行、共線(xiàn)、共面；2、 線(xiàn)性運(yùn)算：加減法、數(shù)乘；3、 空間直角坐標(biāo)系：坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面、卦限，向量的坐標(biāo)分解式；4、 利用坐標(biāo)做向量的運(yùn)算：設(shè)，則 , ； 5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：；2） 兩點(diǎn)間的距離公式：3） 方向角：非零向量與三個(gè)坐標(biāo)軸的正向的夾角4） 方向余弦：5） 投影：，其中為向量與的夾角。（二） 數(shù)量積，向量積1、 數(shù)量積：1）2）2、 向量積：大?。海较颍悍嫌沂忠?guī)則1）2）運(yùn)算律：反交換律 （三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：2

2、、 旋轉(zhuǎn)曲面：（旋轉(zhuǎn)后方程如何寫(xiě)）面上曲線(xiàn)，繞軸旋轉(zhuǎn)一周：繞軸旋轉(zhuǎn)一周：3、 柱面：（特點(diǎn)）表示母線(xiàn)平行于軸，準(zhǔn)線(xiàn)為的柱面4、 二次曲面（會(huì)畫(huà)簡(jiǎn)圖）1） 橢圓錐面：2） 橢球面：旋轉(zhuǎn)橢球面：3） *單葉雙曲面：4） *雙葉雙曲面：5） 橢圓拋物面：6） *雙曲拋物面（馬鞍面）：7） 橢圓柱面：8） 雙曲柱面：9） 拋物柱面：（四） 空間曲線(xiàn)及其方程1、 一般方程：2、 參數(shù)方程：，如螺旋線(xiàn)：3、 空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影，消去，得到曲線(xiàn)在面上的投影（五） 平面及其方程（法向量）1、 點(diǎn)法式方程： 法向量：，過(guò)點(diǎn)2、 一般式方程：（某個(gè)系數(shù)為零時(shí)的特點(diǎn)）截距式方程：3、 兩平面的夾角：， 4、

3、點(diǎn)到平面的距離：（六） 空間直線(xiàn)及其方程（方向向量）1、 一般式方程：2、 對(duì)稱(chēng)式（點(diǎn)向式）方程： 方向向量：，過(guò)點(diǎn)3、 參數(shù)式方程：4、 兩直線(xiàn)的夾角：， 5、 直線(xiàn)與平面的夾角：直線(xiàn)與它在平面上的投影的夾角， 第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用（一） 基本概念1、 距離，鄰域，內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)，聚點(diǎn)，開(kāi)集，閉集，連通集，區(qū)域，閉區(qū)域，有界集，無(wú)界集。2、 多元函數(shù)：，圖形，定義域：3、 極限：4、 連續(xù)：5、 偏導(dǎo)數(shù)：6、 方向?qū)?shù)： 其中為的方向角。7、 梯度：，則。8、 全微分：設(shè)，則（二） 性質(zhì)1、 函數(shù)可微，偏導(dǎo)連續(xù)，偏導(dǎo)存在，函數(shù)連續(xù)等概念之間的關(guān)系：偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)

4、數(shù)連續(xù)充分條件必要條件定義122342、 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1） 定義： 2） 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：鏈?zhǔn)椒▌t 若，則 ，3） 隱函數(shù)求導(dǎo)：a.兩邊求偏導(dǎo)，然后解方程（組），b.公式法（三） 應(yīng)用1、 極值1） 無(wú)條件極值：求函數(shù)的極值解方程組 求出所有駐點(diǎn)，對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)，令， 若，函數(shù)有極小值，若，函數(shù)有極大值； 若，函數(shù)沒(méi)有極值； 若，不定。2） 條件極值：求函數(shù)在條件下的極值令： Lagrange函數(shù)解方程組 2、 幾何應(yīng)用1） 曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面曲線(xiàn)，則上一點(diǎn)（對(duì)應(yīng)參數(shù)為）處的切線(xiàn)方程為：法平面方程為：2） 曲面的切平面與法線(xiàn)曲面，則上

5、一點(diǎn)處的切平面方程為： 法線(xiàn)方程為：第十章 重積分（一） 二重積分1、 定義：2、 性質(zhì)：（6條）3、 幾何意義：曲頂柱體的體積。4、 計(jì)算：1） 直角坐標(biāo)X型區(qū)域：，Y型區(qū)域：，*交換積分次序（課后題）2） 極坐標(biāo) （二） 三重積分1、 定義： 2、 性質(zhì)：3、 計(jì)算：1） 直角坐標(biāo) -投影法“先一后二” -截面法“先二后一”2） 柱面坐標(biāo)，3） *球面坐標(biāo)*（三） 應(yīng)用曲面的面積：第十一章 曲線(xiàn)積分與曲面積分（一） 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分1、 定義：2、 性質(zhì)：1） 2） 3）在上，若，則4） ( l 為曲線(xiàn)弧 L的長(zhǎng)度)3、 計(jì)算：設(shè)在曲線(xiàn)弧上有定義且連續(xù)，的參數(shù)方程為，其中在上具有一階連續(xù)導(dǎo)

6、數(shù)，且，則（二） 對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分1、 定義：設(shè) L 為面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑弧，函數(shù)，在 L 上有界，定義，.向量形式：2、 性質(zhì)： 用表示的反向弧 , 則3、 計(jì)算：設(shè)在有向光滑弧上有定義且連續(xù), 的參數(shù)方程為，其中在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則4、 兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的關(guān)系：設(shè)平面有向曲線(xiàn)弧為，上點(diǎn)處的切向量的方向角為：，則.（三） 格林公式1、格林公式：設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線(xiàn) L 圍成，函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 則有2、為一個(gè)單連通區(qū)域，函數(shù)在上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則 曲線(xiàn)積分 在內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)曲線(xiàn)積分 在內(nèi)為某一個(gè)函數(shù)的全微分（四） 對(duì)面積的曲面積分1、 定義

7、：設(shè)為光滑曲面，函數(shù)是定義在上的一個(gè)有界函數(shù)，定義 2、 計(jì)算：“一單值顯函數(shù)、二投影、三代入”，則（五） 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分1、 預(yù)備知識(shí)：曲面的側(cè)，曲面在平面上的投影，流量2、 定義：設(shè)為有向光滑曲面，函數(shù)是定義在上的有界函數(shù)，定義 同理，3、 性質(zhì)：1），則2）表示與取相反側(cè)的有向曲面 , 則4、 計(jì)算：“一投二代三定號(hào)”，在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在上連續(xù)，則,為上側(cè)取“ + ”， 為下側(cè)取“ - ”.5、 兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān)系：其中為有向曲面在點(diǎn)處的法向量的方向角。（六） 高斯公式1、 高斯公式：設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面所圍成, 的方向取外側(cè), 函數(shù)在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 則有

8、或2、 *通量與散度*通量：向量場(chǎng)通過(guò)曲面指定側(cè)的通量為：散度：（七） *斯托克斯公式*1、 斯托克斯公式：設(shè)光滑曲面 S 的邊界 G是分段光滑曲線(xiàn), S 的側(cè)與 G 的正向符合右手法則, 在包含 在內(nèi)的一個(gè)空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 則有為便于記憶, 斯托克斯公式還可寫(xiě)作:2、 *環(huán)流量與旋度*環(huán)流量：向量場(chǎng)沿著有向閉曲線(xiàn)G的環(huán)流量為旋度：第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)（一） 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、 定義：1）無(wú)窮級(jí)數(shù)：部分和：，正項(xiàng)級(jí)數(shù)：，交錯(cuò)級(jí)數(shù)：，2）級(jí)數(shù)收斂：若存在，則稱(chēng)級(jí)數(shù)收斂，否則稱(chēng)級(jí)數(shù)發(fā)散3）條件收斂：收斂，而發(fā)散；絕對(duì)收斂：收斂。2、 性質(zhì)：1） 改變有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的收斂性；2） 級(jí)數(shù)，收斂

9、，則收斂；3） 級(jí)數(shù)收斂，則任意加括號(hào)后仍然收斂；4） 必要條件：級(jí)數(shù)收斂.（注意：不是充分條件?。?、 審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)：，1） 定義：存在；2） 收斂有界；3） 比較審斂法：，為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且 若收斂，則收斂；若發(fā)散，則發(fā)散.4） 比較法的推論：，為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，而收斂，則收斂；若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，而發(fā)散，則發(fā)散. 5） 比較法的極限形式：，為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，而收斂，則收斂；若或，而發(fā)散，則發(fā)散.6） 比值法：為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.7） *根值法：為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可

10、能發(fā)散.8） 極限審斂法：為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若或，則級(jí)數(shù)發(fā)散；若存在，使得，則級(jí)數(shù)收斂.交錯(cuò)級(jí)數(shù)：萊布尼茨審斂法：交錯(cuò)級(jí)數(shù)：，滿(mǎn)足：，且，則級(jí)數(shù)收斂。任意項(xiàng)級(jí)數(shù)：絕對(duì)收斂，則收斂。常見(jiàn)典型級(jí)數(shù)：幾何級(jí)數(shù)：p -級(jí)數(shù)：（二） 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、 定義：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，收斂域，收斂半徑，和函數(shù)；2、 冪級(jí)數(shù)：收斂半徑的求法：，則收斂半徑 3、 泰勒級(jí)數(shù) 展開(kāi)步驟：（直接展開(kāi)法）1） 求出；2） 求出；3） 寫(xiě)出；4） 驗(yàn)證是否成立。間接展開(kāi)法：（利用已知函數(shù)的展開(kāi)式）1）；2）；3）；4）；5）6）7）8）4、 *傅里葉級(jí)數(shù)*1） 定義：正交系：函數(shù)系中任何不同的兩個(gè)函數(shù)的乘積在區(qū)間上積分為零。傅里葉級(jí)數(shù)：系數(shù)：