雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)

1、.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)一、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).1雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離差的絕對(duì)值是常數(shù)(大于零，小于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。兩定點(diǎn)F1、F2是焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離F1F2是焦距，用2c表示，常數(shù)用2表示。(1)若MF1-MF2=2時(shí)，曲線只表示焦點(diǎn)F2所對(duì)應(yīng)的一支雙曲線.(2)若MF1-MF2=-2時(shí)，曲線只表示焦點(diǎn)F1所對(duì)應(yīng)的一支雙曲線.(3)若2=2c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不再是雙曲線，而是以F1、F2為端點(diǎn)向外的兩條射線.(4)若22c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：-=1(0,b0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線； -=1(0,b0)表示焦點(diǎn)

2、在y軸上的雙曲線.判定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，不像橢圓似的比較x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系數(shù)的符號(hào)，焦點(diǎn)在系數(shù)正的那條軸上.3.雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖 象關(guān)系范 圍頂 點(diǎn)對(duì) 稱 性關(guān)于軸成軸對(duì)稱、關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱漸 近 線離 心 率焦 點(diǎn)等軸雙曲線：x2-y22(0),它的漸近線方程為yx,離心率e.4.直線與雙曲線的位置關(guān)系，可以通過(guò)討論直線方程與雙曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)來(lái)確定。（1）通常消去方程組中變量(或)得到關(guān)于變量(或)的一元二次方程，考慮該一元二次方程的判別式，則有：直線與雙曲線相交于兩個(gè)點(diǎn)；直線與雙曲線相交于一個(gè)點(diǎn)； 直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)（

3、2）若得到關(guān)于(或)的一元二次方程，則直線與雙曲線相交于一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)直線平行于雙曲線的一條漸近線(3)直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)或，其中 是直線的斜率，是直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，的坐標(biāo)，且，可由韋達(dá)定理整體給出二、例題選講例1、中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的實(shí)軸與虛軸相等，一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，則雙曲線方程為()Ax2y21 Bx2y22 Cx2y2 Dx2y2解析：由題意，設(shè)雙曲線方程為1(a0)，則ca，漸近線yx，a22.雙曲線方程為x2y22. 答案：B例2、根據(jù)以下條件，分別求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)過(guò)點(diǎn)，離心率(2)、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線離心率為且

4、，解：(1)依題意，雙曲線的實(shí)軸可能在軸上，也可能在軸上，分別討論如下如雙曲線的實(shí)軸在軸上，設(shè)為所求 由，得由點(diǎn)在雙曲線上，得， 又，由、得，若雙曲線的實(shí)軸在軸上，設(shè)為所求 同理有，解之，得（不合，舍去）雙曲線的實(shí)軸只能在軸上，所求雙曲線方程為 (2)設(shè)雙曲線方程為，因，而，由雙曲線的定義，得由余弦，得，又，得，所求雙曲線的方程為三、鞏固測(cè)試題1到兩定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于6的點(diǎn)的軌跡 （ D ）A橢圓B線段C雙曲線D兩條射線2方程表示雙曲線，則的取值范圍是（ D ） AB C D或3 雙曲線的焦距是（ C ）A4BC8D與有關(guān)4若，雙曲線與雙曲線有（ D ）A相同的虛軸B相同的實(shí)軸C相同

5、的漸近線D 相同的焦點(diǎn)5過(guò)雙曲線左焦點(diǎn)F1的弦AB長(zhǎng)為6，則（F2為右焦點(diǎn)）的周長(zhǎng)是（ A ）A28 B22C14D126雙曲線1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為 ()A2 B2 C. D1解析：雙曲線1的焦點(diǎn)為(4,0)或(4,0)漸近線方程為yx或yx.由雙曲線的對(duì)稱性可知，任一焦點(diǎn)到任一漸近線的距離相等，d2.7以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的曲線的方程為（ ）A A B C D8過(guò)點(diǎn)P(4,4)且與雙曲線1只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有 ()A1條 B2條 C3條 D4條解析：如圖所示，滿足條件的直線共有3條9經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的雙曲線的方程為 （ ）CA B C D10已知雙曲線的離心率為，焦點(diǎn)是，則雙曲線

6、方程為（ ）A B C D11已知P是雙曲線上的一點(diǎn)，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且 則的面積為 （ ）D A B C D12雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)等于 ，虛軸長(zhǎng)等于 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ， 焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，漸近線方程為 ，離心率等于 13直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，則=_ 12 14過(guò)點(diǎn)且被點(diǎn)M平分的雙曲線的弦所在直線方程為 。 1315雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則 。 雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍， m0，且雙曲線方程為， m=。16已知雙曲線的離心率e，且與橢圓1有共同的焦點(diǎn)，求該雙曲線的方程解：在橢圓中，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，c，又e，a28，b22.雙曲線方程為1.17已知、是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上且

7、滿足，求的面積解：為雙曲線上的一個(gè)點(diǎn)且、為焦點(diǎn),，在中，18已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為 ,設(shè)點(diǎn). （1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程； 18.(1)由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1. 又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上, 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M(x,y) ,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0,y0),由x=得x0=2x1y=y0=2y由,點(diǎn)P在橢圓上,得, 線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是.19已知橢圓C的焦點(diǎn)F1（，0）和F2（，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)6，設(shè)直線交 橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)。解:由已知條件得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,其中c=,a=3,從而b=1,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程是: .聯(lián)立方程組,消去y得, .設(shè)A(),B(),AB線段的中點(diǎn)為M()那么: ,=所以=+2=.也就是說(shuō)線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(-,).20求兩條漸近線為且截直線所得弦長(zhǎng)為的雙曲線方程。解:設(shè)雙曲線方程為x2-4y2=.聯(lián)立方程組得: ,消去y得，3x2-24x+(36+)=0設(shè)直線被雙曲線截得的弦為AB，且A(),B()，那么： 那么：|AB|=解得: =4,所以，所求雙曲線方程是：21中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的一個(gè)橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)，且，橢圓的半長(zhǎng)軸與雙曲線的半實(shí)軸之差為4，離心率之比為