數(shù)學(xué)八年級下《二次根式》復(fù)習(xí)教學(xué)案

1、. ；. 二二 次次 根根 式式 復(fù)習(xí)課復(fù)習(xí)課 【知識點(diǎn)匯總知識點(diǎn)匯總】 知識點(diǎn)一：知識點(diǎn)一： 二次根式的概念二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但 必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如， ，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知識點(diǎn)二：取值范圍知識點(diǎn)二：取值范圍 1. 二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng) a0 時，有意義，是 二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。 2. 二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng) a0 時，沒有意 義。

2、 知識點(diǎn)三：二次根式知識點(diǎn)三：二次根式（）的非負(fù)性）的非負(fù)性 （）表示 a 的算術(shù)平方根，也就是說，（）是一個非負(fù)數(shù)，即 0（）。 注：因?yàn)槎胃剑ǎ┍硎?a 的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0 的算術(shù)平方根是 0，所以非負(fù)數(shù)（）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即0（）， 這個性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。這個性質(zhì)在解答 題目時應(yīng)用較多，如若，則 a=0,b=0；若，則 a=0,b=0；若 ，則 a=0,b=0。 知識點(diǎn)四：二次根式（知識點(diǎn)四：二次根式（） 的性質(zhì)的性質(zhì) （） 文字語言敘述為：一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負(fù)數(shù)。 注：二次根式的性質(zhì)公式（）是

3、逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的 公式也可以反過來應(yīng)用：若，則，如：，. 知識點(diǎn)五：二次根式的性質(zhì)知識點(diǎn)五：二次根式的性質(zhì) . ；. 文字語言敘述為：一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值。 注： 1、化簡時，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù) a 是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是正數(shù)或 0，則等 于 a 本身，即；若 a 是負(fù)數(shù)，則等于 a 的相反數(shù)-a,即 ； 2、中的 a 的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論 a 取何值，一定有意義； 3、化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進(jìn)行化簡。 知識點(diǎn)六：知識點(diǎn)六：與與的異同點(diǎn)的異同點(diǎn) 1、不同點(diǎn)：與表示的意義是不同的，表示一個正數(shù) a 的算術(shù)平方根的 平方，

4、而表示一個實(shí)數(shù) a 的平方的算術(shù)平方根；在中，而中 a 可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)。但與都是非負(fù)數(shù)，即， 。因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的， ，而 2、相同點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時，=；時，無意 義，而. . ；. 【歷年考點(diǎn)例析歷年考點(diǎn)例析】 考點(diǎn)考點(diǎn) 1 1、無理數(shù)、無理數(shù) 知識回顧：知識回顧： 無限不循環(huán)的小數(shù)，叫做無理數(shù)。 知識特點(diǎn)：知識特點(diǎn)： 常見的無理數(shù)： 1、 以及 的有理數(shù)倍數(shù)。 2、；235 3、2001 考查題型考查題型 例 1、寫出一個有理數(shù)和一個無理數(shù)，使它們都是小于1 的數(shù) 。 （08 年自貢市） 分析：-1 的絕對值是 1，所以，小于1 的數(shù)的絕對值一定要大于 1

5、，只要符合這一點(diǎn)， 就可以了，所以，本題的答案不是唯一的。 解：小于1 的有理數(shù)-4、-5 等等，小于1 的無理數(shù)-、-、-等等。235 例 2、從實(shí)數(shù)，0，4 中，挑選出的兩個數(shù)都是無理數(shù)的為（ ）2 3 1 A. ，0 B. ，4 C. ，4 D. ，（08 年湖北省宜昌市） 3 1 22 分析：根據(jù)常見的無理數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)只有-和 是無理數(shù)，因此，選項(xiàng) D 是正確的。2 解：選 D。 例 3、如圖 1 所示，A，B，C，D 四張卡片上分別寫有四個實(shí)數(shù)，從中任取 5 23 7 ， 兩張卡片 A B C D （圖 1） . ；. （1）請列舉出所有可能的結(jié)果（用字母 A，B，C，D 表示） ；

6、 （2）求取到的兩個數(shù)都是無理數(shù)的概率 （08 嘉興市） 、 分析：用列表的方式，把所有的結(jié)果找出來，后根據(jù)無理數(shù)的定義，作出判斷。 解： （1）仔細(xì)觀察上面的四個數(shù)，不難發(fā)現(xiàn) B、D 是無理數(shù)，A 和 C 是有理數(shù)，結(jié)果列表如下： 2 仔細(xì)觀察上表，一共有 12 種可能性，期中 都是無理數(shù)的可能性有 2 種， 因此，兩個數(shù)都是無理數(shù)的概率為： 。 6 1 12 2 考點(diǎn)考點(diǎn) 2 2、平方根、平方根 知識回顧：知識回顧： 一般地，如果一個數(shù) x 的平方等于 a，即 x2=a，那么這個數(shù) x 叫做 a 的平方根。記作 。讀作“正負(fù)根號 a”a 知識特點(diǎn)：知識特點(diǎn)： 1、 被開方數(shù) a，滿足的關(guān)系

7、式是：a0； 2、平方根 x 與被開方數(shù) a，滿足的關(guān)系式是：x=；a 3、被開方數(shù) a 與平方根 x，滿足的關(guān)系式是：a= x2= （）2= 2= （- ）2；aaa 4、兩個平方根之間滿足的關(guān)系式是：+（-）=0，即兩個平方根互為相反數(shù)，所aa 以，他們的和為 0. 如下說法都是正確的： a的平方根是；a . ；. 是a的平方根；a -是a的平方根；a 是a的平方根；其中a是非負(fù)數(shù)。a 此外，0的平方根是0這個特例要記清楚。 考查題型考查題型 例 4、2 的平方根是（ ） A4BCD（08 年南京市）222 分析：根據(jù)平方根的特點(diǎn)，正數(shù)有兩個平方根，且常用“”來體現(xiàn)“兩個” 。 解：選 D

8、。 例 5、9 的算術(shù)平方根是 A. 3 B. 3 C. 3 D. （08 恩施自治州）3 分析：算術(shù)平方根是平方根中的正數(shù)根，只有一個，所以，選項(xiàng) A、C 都是不正確的； 因?yàn)椋?2=9，所以，9 的算數(shù)平方根是 3。 解：選 B. 例 6、化簡：=（ ） 4 A2 B2C4D4（08 年甘肅省白銀市） 分析：理解的意義是解題的關(guān)鍵。的意義實(shí)際上就是求正數(shù) 4 的算術(shù)平方根，所44 以，應(yīng)該只有一個，為正數(shù)，并且這個數(shù)的平方應(yīng)該等于 4，這樣只有選項(xiàng) A 符合要求。 解：選 A。 化簡=_。(08 年安徽省) 2 4 分析：分析：因?yàn)椋?（-4）2=16，的意義是求正數(shù) 16 的算數(shù)平方根，

9、因?yàn)椋?2 4 42=16，所以，=4. 2 4 考點(diǎn)考點(diǎn) 3 3、二次根式、二次根式 知識回顧：知識回顧： 形如（a0）的式子，叫做二次根式。a 知識特點(diǎn)：知識特點(diǎn)： 1、被開放數(shù) a 是一個非負(fù)數(shù)； . ；. 2、二次根式是一個非負(fù)數(shù)，即0；aa 3、有限個二次根式的和等于 0，則每個二次根式的被開方數(shù)必須是 0. 考查題型考查題型 例 7、若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍是5x A.x-5B.x-5C.x-5D.x-5 (08 常州市) 分析：在這里二次根式的被開方數(shù)是 x+5，要想使式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,5x 必須滿足條件：x+50，所以，x-5，因此，選項(xiàng) D 是正確的。

10、解：選 D。 例 8、若，則 （08 年遵義市）230ab 2 ab 分析： 因?yàn)?，|a-2|和都是非負(fù)數(shù)，并且它們的和是 0，3b 所以，|a-2|=0 且=0，所以，a=2，b=3，3b 所以，a2-b=4-3=1. 例 9、若實(shí)數(shù)滿足，則 xy 的值是 (08 年寧波市)xy， 2 2(3)0 xy 分析： 因?yàn)?，和都是非?fù)數(shù)，并且它們的和是 0，2x 2 )3( y 所以，=0 且=0，所以，x=-2，y=，2x 2 )3( y3 所以，xy=-2.3 考點(diǎn)考點(diǎn) 4 4、二次根式的化簡與計(jì)算、二次根式的化簡與計(jì)算 知識回顧：知識回顧： 二次根式的化簡，實(shí)際上就是把二次根式化成最簡二次根

11、式，然后，通過合并同類 二次根式的方法進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算。 知識特點(diǎn)：知識特點(diǎn)： 二次根式的加減運(yùn)算：a+b=（a+b）， （m0） ；mmm 二次根式的乘法運(yùn)算：.=，( a0, b0)；abab 二次根式的除法運(yùn)算：= ，( a0, b0)；ab b ab b a 二次根式的乘方運(yùn)算：=a，( a0)； 2 )( a . ；. 二次根式的開方運(yùn)算：= 2 a 0 0, aa aa ， 考查題型考查題型 例 10、下列計(jì)算正確的是（ ） AB2 34 26 584 2 CD（08 年聊城市）2733 2 ( 3)3 分析：這就是二次根式化簡的綜合題目，2與 4的被開方數(shù)不相同，所以，它們

12、不32 是同類二次根式，所以，不能進(jìn)行合并計(jì)算，所以，A 是錯誤的； 因?yàn)椋?，B 也是錯誤的；2222248 2 因?yàn)椋?，所以，C 是正確的；27339327 根據(jù)二次根式的開方公式，得到 D 是錯誤的。 解：選 C。 例 11、若baybax,，則xy的值為 ( ) Aa2 Bb2 Cba Dba （08 年大連市） 分析：xy=（） （）=-=a-b，所以，D 是正確的。ba ba 2 )( a 2 )( b 解：選 D。 考點(diǎn)考點(diǎn) 5 5、最簡二次根式、最簡二次根式 知識回顧：知識回顧： 滿足下列條件的二次根式，叫做最簡二次根式： (1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式； (2)被

13、開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。 知識特點(diǎn)：知識特點(diǎn)： 1、最簡二次根式中一定不含有分母； 2、對于數(shù)或者代數(shù)式，它們不能在寫成 anm 的形式。 考查題型考查題型 例 12、下列根式中屬最簡二次根式的是（） A. B. C. D. （08 年湖北省荊州市） 2 1a 1 2 827 . ；. 分析： 因?yàn)?B 中含有分母，所以 B 不是最簡二次根式； 而 8=222，27=323，所以，選項(xiàng) C、D 都不是最簡二次根式。 所以，只有選項(xiàng) A 是正確的。 解：選 A。 考點(diǎn)考點(diǎn) 6 6、估算、估算 例 13、估計(jì) 1 3220 2 的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在（ ） （08 年蕪湖市） 分析：52420

14、1620 2 1 32 因?yàn)椋?59，所以，所以，23,9545 所以，426,5 所以，4+42+46+4,所以，82+410,也就是在 8 到 9 之間.55 解:選擇 C. 【考試題型歸納考試題型歸納】 一一. 基本概念型基本概念型 例例 1.二次根式中，字母的取值范圍是（ ）a 1 A. B. C. D. a 1a 1a 1a 1 析解：形如的式子叫二次根式，其中被開方數(shù) a 的取值范圍是。則a a() 0a 0 二次根式中，即，故選 C。a 1a 10a 1 說明：注意二次根式中被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)這個隱含條件是解題關(guān)鍵。 例例 2.在下列根式中，最簡二次根式有（ ）4 528 3 、a

15、bx A. 4 個B. 3 個C. 2 個D. 1 個 析解：最簡二次根式的概念是（1）被開方式的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被 開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。而。所以最簡二次2282 2 3 aaaxx、 . ；. 根式有兩個，故選 C。4 5、 b 例例 3.下列根式中，與是同類二次根式的是（ ）3 A. B. C. D. 2412 3 2 18 析解：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式 叫做同類二次根式。而，所以與是242 6122 3 3 2 6 2 183 2、3 同類二次根式的是，故選 B。12 二二. 性質(zhì)運(yùn)用型性質(zhì)運(yùn)用型 例例 4.已知，

16、則化簡的結(jié)果是（ ）x 2xx 2 44 A. B. C. D. x 2x 2x22 x 析解：，因?yàn)椋詘xxx 22 4422()|x 2x 20 。故選 Dxxx 2 442 例例 5.化簡得（ ） 。44123 22 xxx() A. 2B. C. D. 44x244x 析解：因?yàn)椋?30 x xxx 3 2 2323 2 ,() 所以2104412121 2 xxxxx ，| 故。故選 A。4412321232 22 xxxxx()() 說明：以上二例主要應(yīng)用二次根式的性質(zhì)：（1）。 （2）aa a a a a 2 0 0 | | () () 。正確應(yīng)用二次根式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)

17、鍵。()()aa a 2 0 三三. 結(jié)論開放型結(jié)論開放型 例例 6.先將化簡，然后自選一個合適的 x 值，代入化簡后的式子 x x x xx 2 22 32 求值。 析解：這是一道結(jié)論開放題，它留給我們較大的發(fā)揮和創(chuàng)造空間。但要注意 x 的取 值范圍是。x 2 . ；. 原式 x x xx x x xx 2 2 1 2 2 2 2 2 2 x x xxx 2 2 2 取，原式。x 2,x 4 2 四四. 大小比較型大小比較型 例例 7. 用計(jì)算器計(jì)算，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律， 21 21 31 31 22 , 41 41 51 51 22 , 判斷，與， （n 為大于 1 的整數(shù)）的值的大小關(guān)系為

18、（ P n n 2 1 1 Q n n () () 11 11 ） A. B. C. D. 與 n 的取值有關(guān)PQPQPQ 析解：利用計(jì)算器計(jì)算得：，從而可以推斷 21 21 31 31 41 41 51 51 2222 ，故選 C。P n n Q n n 22 1 1 11 11 () () 例例 8. 設(shè)，則 a，b，c 的大小關(guān)系是（ ）abc322352, A. B. C. D. abcacbcbabca 析解：，同理。 11 32 32 3232 32 a ()() 1 23 1 52 bc , 因?yàn)?，所以。故選 A。5223320 111 0 cba cba, 五五. 判斷正誤型判

19、斷正誤型 例例 9. 化簡時，甲的解法是： 3 52 ，乙的解法是： 3 52 352 5252 () ()() 52 ，以下判斷正確的是（ ） 3 52 5252 52 ()() 52 A. 甲的解法正確，乙的解法不正確 B. 甲的解法不正確，乙的解法正確 . ；. C. 甲、乙的解法都正確 D. 甲、乙的解法都不正確 析解：甲是將分子和分母同乘以進(jìn)行分母有理化，乙是利用52 進(jìn)行約分，所以二人都是正確的，故選 C。35252()() 例例 10. 對于題目“化簡并求值：，其中” ，甲、乙兩人的解 11 2 2 2 aa aa 1 5 答不同。 甲的解答是：； 11 2 111149 5 2

20、 22 aa a aa a aa a() 乙的解答是：。 11 2 11111 5 2 22 aa a a a aa a a () 誰的解答是錯誤的？為什么？ 析解：乙的解答是錯誤的。 因?yàn)楫?dāng)時，所以，而應(yīng)當(dāng)是a 1 5 1 5 1 0 a a a ,()a a a a 11 2 。()a aa a 11 2 六六. 規(guī)律探索型規(guī)律探索型 例例 11. 細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題。 ；(),112 1 2 2 1 S ；(),213 2 2 2 2 S ；(),314 3 2 2 3 S . ；. （1）請用含有 n（n 是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律。 （2）推算出的長。OA

21、10 （3）求出的值。SSSS 1 2 2 2 3 2 10 2 析解：（1）通過類比，可推知(),nnS n n 2 11 2 （2）。OAOAOAOA 12310 12310,， （3）SSSS 1 2 2 2 3 2 10 2 ()()()() () 1 2 2 2 3 2 10 2 1 4 12310 55 4 2222 七七. 計(jì)算說理型計(jì)算說理型 例例 12. 有這樣一道題，計(jì)算：的值，其中 xx xx xx xx xx 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2() ，某同學(xué)把“”錯抄成“” ，但他的計(jì)算結(jié)果是正確的。請回x 1005x 1005x 1050 答這是怎么回事？試說明理

22、由。 析解：這是一道說理型試題，既然 x 的值取錯，計(jì)算結(jié)果仍是正確。那么可以猜測 此二次根式化簡后與 x 的值無關(guān)。這時應(yīng)從二次根式的化簡入手，揭開它神秘的面紗。 原式 () ()() () ()() xx xxxx xx xxxx x 22 22 22 22 2 4 44 4 44 xxx xxxx x x x x 222222 2 2 2 424 4 424 4 48 4 2 八八. 數(shù)形結(jié)合型數(shù)形結(jié)合型 例例 13. 如圖 1，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為 1，則網(wǎng)格上的三角形 ABC 中，邊長為無理數(shù)的邊數(shù)有（ ） A. 0 個B. 1 個C. 2 個D. 3 個 . ；. 圖

23、 1 析解：由題意知，。BC 2313 22 ACAB3455126 2222 , 所以邊長為無理數(shù)的邊數(shù)是 2 個，故選 C。 例例 14. “數(shù)軸上的點(diǎn)并不都表示有理數(shù)，如圖 2 中數(shù)軸上的點(diǎn) P 所表示的數(shù)是” ，2 這種說明問題的方式體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法叫做（ ） 圖 2 A. 代入法B. 換元法C. 數(shù)形結(jié)合D. 分類討論 析解：本題“形” “數(shù)”結(jié)合，所反映的正是數(shù)學(xué)中的一種思想方法“數(shù)形結(jié)合”故 選 C。 九九. 閱讀理解型閱讀理解型 例例 15. 我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在數(shù)書九章中記述了“三斜求積術(shù)” ， 即已知三角形的三邊長，求它的面積。用現(xiàn)代式子表示即為： （其中 a、b、c

24、為三角形的三邊長，s 為面積）sa b abc 1 42 22 222 2 () 。 而另一個文明古國古希臘也有求三角形面積的海倫公式： （其中）sp papbpc()()()p abc 2 （1）若已知三角形的三邊長分別為 5、7、8，試分別運(yùn)用公式和公式，計(jì)算該 三角形的面積 s； （2）你能否由公式推導(dǎo)出公式？請?jiān)囋嚒?. ；. 析解：（1）s 1 4 57 578 2 22 222 2 () 1 2 571 5 2 4810 3 222 () 又，p 1 2 57810() s10 105 107)(1081053210 3()() （2） 1 42 22 222 2 () a b a

25、bc 1 422 222222 ()()ab abc ab abc 1 16 2222 () ()cababc 1 16 1 16 2222222 ()()()() ()()() ()()() cab cab abc abc papbppc p papbpc 1 42 22 222 2 () ()()()a b abc p papbpc 【解題策略解題策略】 一、二次根式的定義一、二次根式的定義 例 1 函數(shù)的自變量 x 的取值范圍是（ ）yx 21 A xB xC xD x. 1 2 1 2 1 2 1 2 解題策略：根據(jù)二次根式的定義，被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)。答案為 A。 例 2 函數(shù)的自變

26、量 x 的取值范圍是（ ）y x x x 1 2 5 3 AxBx CxxDxx . . 2525 253253 且且 解題策略：根據(jù)二次根式的定義，被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，還應(yīng)特別注意分式的分 母不能為零。答案為：C。 二、二次根式的性質(zhì)二、二次根式的性質(zhì) . ；. 例 3 若，則 xy 的值等于（ ）yyxy 2 4410 A. -6B. -2C. 2D. 6 解題策略：緊扣二次根式是一個非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可以得到：a a() 0 ，故。答案為：A ()y xy 20 10 2 xy 32， 例 4 如果，那么 x 的取值范圍是（ ）()xx22 2 A xB xc xD x.2222 解題策略

27、：運(yùn)用二次根式是一個非負(fù)數(shù)的性質(zhì)知，。答案為a a() 0 x 20 C。 例 5 若 b0，化簡的結(jié)果是（ ）ab3 Ab abB babCbabD b ab. 解題策略：緊緊抓住二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，由二次根式的性質(zhì) aa a a a a abab bb ab 2 32 0 0 | | () () 知 答案為：C 三、最簡二次根式三、最簡二次根式 例 6 把二次根式化成最簡二次根式為_。x y x y() 0 例 7 下列各式中屬于最簡二次根式的是（ ） AxBx yCD. 225 11205 解題策略：最簡二次根式必須滿足下列兩個條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因 式是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。 例 6 的答案為：，例 7 的答案為：A。xy 四、同類二次根式四