三次B樣條曲線ppt課件

1、數(shù)字圖像處理,曲線和曲面,2. B 樣條曲線,2.1: B樣條曲線的定義 2.2: B樣條曲線基函數(shù)性質(zhì) 2.3: B樣條曲線的性質(zhì) 2.4: 二次B樣條曲線,2.5: 三次B樣條曲線 2.6: 二、三次B樣條曲線的應(yīng)用 2.7: 非均勻B樣條曲線,1. 樣條函數(shù)的概念,1.1: 一般樣條函數(shù)的定義 1.2: 三次樣條函數(shù),1.3: 二次樣條函數(shù),1,數(shù)字圖像處理,1. 樣條函數(shù)概念,樣條函數(shù)的概念是美國數(shù)學(xué)家I.J.Schoenberg在 1946年首先提出的，他定義了一種B樣條函數(shù)。盡管有 10年的時間未受到重視，但從60年代開始，隨著電子 計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展和數(shù)據(jù)擬合以及函數(shù)逼近在生產(chǎn)

2、 實驗中的廣泛應(yīng)用，樣條函數(shù)的理論和應(yīng)用已迅速發(fā)展 成了一門成熟的學(xué)科。由于樣條(Spline)函數(shù)發(fā)展的開始， 就具有廣泛而又深刻的實用背景，因此，樣條函數(shù)及其 參數(shù)表示形式的曲線和曲面方法是自由曲線與曲面設(shè)計 的基礎(chǔ)。,2,數(shù)字圖像處理,1.1 一般樣條函數(shù)的定義,給定一組平面上頂點 (xi,yi) (i=0，1，n)，并設(shè)在區(qū)間a,b上的：a=x0 x1xn-1xn=b,那么在a,b上的一個函數(shù) S(x) 稱為K階連續(xù)樣條函數(shù)，如果它滿足下面兩個條件： (1)在每個小區(qū)間xi-1,xi(i=1，2，n)內(nèi)，S(x) 是具有K階或K階以上連續(xù)函數(shù)。 (2)在xi(i=1，2，n-1)處成立

3、 即S(x)在拼接點處xi(i1，2，n-1)也具有K階連續(xù)， 這也就是S(x)在整個區(qū)間a,b上具有K階連續(xù)。 若S(x)滿足 ，則稱S(x)為插值樣條函數(shù)。,3,數(shù)字圖像處理,1.2 三次樣條函數(shù),假設(shè)在區(qū)間a，b上給定一個分割 ： a=x0 x1xn-1xn=b, 在a,b上的一個函數(shù)S(x)稱為插值三次樣條函數(shù)， 如果滿足下列條件: (1)在每一小區(qū)間xi-1,xi(i=1，2，n)內(nèi)S(x)分別 是三次多項式函數(shù)； (2)在節(jié)點xi(i1，2，n-1)處成立 :,即小區(qū)間上的三次多項式函數(shù)，在拼接點處xi 具有二階連續(xù)拼接。 (3)滿足插值條件yi =S(xi),i=0，1，n.,4

4、,數(shù)字圖像處理,1.3 二次樣條函數(shù),設(shè)定區(qū)間a,b上一個分割： a=x0 x1xn-1xn=b, 在a,b上的一個函數(shù)S(x)稱為插值二次樣條函數(shù)，如 果滿足下列條件：,(1)在每個小區(qū)間 內(nèi)，S(x)是二次 多項式函數(shù)，這里，,稱為半節(jié)點；,(2)在半節(jié)點 (i=1，2，n)處成立,(3)滿足插值條件,5,數(shù)字圖像處理,2. B 樣條曲線,以Bernstein基函數(shù)構(gòu)造的Bezier曲線或曲面有許多優(yōu)越性，但有兩點不足：其一是Bezier曲線或曲面不能作局部修改，控制多邊形的一個頂點發(fā)生了變化，整條Bezier曲線的形狀便發(fā)生變化；其二是Bezier曲線或曲面的拼接比較復(fù)雜。因此，1972

5、年，Gordon、Riesenfeld等人提出了B樣條方法，在保留Bezier方法全部優(yōu)點的同時，克服了Bezier方法的弱點。,6,2.1 B 樣條曲線的定義,給定m+n+1個平面或空間頂點 Pi (i=0，1，m+n)， 稱n次參數(shù)曲線段 ：,為第k段n次B樣條曲線段 (k=0，1，m)，這些曲線段 的全體稱為n次B樣條曲線，其頂點Pi(i=0，1，n+m) 所組成的多邊形稱為B樣條曲線的特征多邊形。,其中，基函數(shù) 定義為：,7,數(shù)字圖像處理,B 樣條曲線示例,二次B 樣條曲線示例,8,數(shù)字圖像處理,B 樣條曲線示例,二次B 樣條曲線示例,9,數(shù)字圖像處理,B 樣條曲線示例,三次B 樣條曲

6、線示例,10,數(shù)字圖像處理,B 樣條曲線示例,三次B 樣條曲線示例,11,數(shù)字圖像處理,B 樣條曲線示例,四次B 樣條曲線示例,12,數(shù)字圖像處理,B 樣條曲線示例,五次B 樣條曲線示例,13,數(shù)字圖像處理,2.2 B 樣條曲線基函數(shù)的性質(zhì),B樣條函數(shù)基函數(shù)為：,具有如下性質(zhì)： 1）有界正性：當(dāng) 時， 2）權(quán)性： 即 3）對稱性：當(dāng) 時， 4）遞推性：,14,數(shù)字圖像處理,B 樣條曲線的基函數(shù),一次B 樣條曲線的基函數(shù),二次B 樣條曲線的基函數(shù),15,數(shù)字圖像處理,B 樣條曲線的基函數(shù),三次B 樣條曲線的基函數(shù),四次B 樣條曲線的基函數(shù),16,數(shù)字圖像處理,2.3 B 樣條曲線的性質(zhì),1. 局

7、部性 根據(jù)定義式可知，第 k 段n次B樣條曲線只與 n+1 個 頂點Pi(i=0，1，n)有關(guān)，因此，當(dāng)改動其中一個 控制頂點時，只會對相鄰的n+1段產(chǎn)生影響，不會對 整條曲線(當(dāng) m n)產(chǎn)生影響。這就為設(shè)計曲線時修改某一局部的形狀帶來了很大的方便。,如左圖所示，六個控制頂點控制的三次B樣條曲線由三段B樣條曲線段組成。其中，每一條曲線段由四個頂點控制。,17,數(shù)字圖像處理,B 樣條曲線的性質(zhì),2.幾何不變性 由于定義式所表示的B樣條曲線是參數(shù)形式，因此，和Bezier曲線一樣，B樣條曲線的形狀和位置與坐標(biāo)系選擇無關(guān)。 3. 連續(xù)性 當(dāng)給定的m+n+1個控制頂點Pi (i=0，1，m+n)互不

8、相重，則所控制的整條B樣條曲線具有n-1階幾何連續(xù) (G n-1)。當(dāng)給定的控制頂點相鄰最大重頂點數(shù)為h（即h 個控制頂點重合在一起），則整條B樣條曲線具有n-h-1階幾何連續(xù)(G n-h-1)。,18,數(shù)字圖像處理,B 樣條曲線的性質(zhì),4. 對稱性 根據(jù)B樣條曲線的基函數(shù)的對稱性可推導(dǎo),它表明了B樣條曲線段的起點和終點的幾何性質(zhì)完全 相同。,19,數(shù)字圖像處理,B 樣條曲線的性質(zhì),5.遞推性 n次B樣條曲線段的遞推曲線表示形式：,20,數(shù)字圖像處理,B 樣條曲線的性質(zhì),6. 保凸性 B樣條曲線和Bezier曲線一樣，也具有保凸性。即當(dāng)所有的控制頂點形成一個平面凸的閉多邊形時， Pk,n(t)

9、 是一條平面凸曲線。,21,數(shù)字圖像處理,B 樣條曲線的性質(zhì),7. 凸包性 當(dāng)t0，1時，有0Gi,n(t)1 (i=0，1，n) 和 ，因此，根據(jù)凸包定義可知，對任何 t0，1，Pk,n(t) 必定在控制頂點構(gòu)成的凸包之中。,如左圖所示，六個控制頂點控制的三次B樣條曲線由三段B樣條曲線段組成。其中，每一條曲線段由四個頂點控制且包含在四個頂點構(gòu)成的凸包之中。,22,數(shù)字圖像處理,B 樣條曲線的性質(zhì),8.變差縮減性,23,數(shù)字圖像處理,2.4 二次B樣條曲線,取n=2，則有二次B樣條曲線的基函數(shù)如下 ：,二次B樣條曲線段 是一段拋物線。,24,數(shù)字圖像處理,二次B 樣條曲線,二次B樣條曲線的矩陣

10、表示為：,它具有如下性質(zhì)： 1. 端點位置：,2. 端點切矢：,25,數(shù)字圖像處理,二次B 樣條曲線,如左圖所示，六個控制頂點控制的二次B樣條曲線由四段B樣條曲線段組成。其中，每一條曲線段由相鄰的三個頂點控制。曲線段的起點和終點同控制頂點的連接邊相切于連接邊的終點位置。,26,數(shù)字圖像處理,二次B 樣條曲線,3. 當(dāng)P0，P1，P2三頂點共線時，P0,2(t)(t0，1) 即蛻化為一段直線。 4. 當(dāng)給定一組頂點P0，P1，Pm(m2)，若存在 Pi=Pi+1(0im-2)，則二次B樣條曲線經(jīng)過頂點Pi， 且在此處是尖點。,三點共線的情況,尖點的情況,27,數(shù)字圖像處理,2.5 三次B樣條曲線

11、,取n=3，則有三次B樣條曲線的基函數(shù)如下：,三次B樣條曲線段 為：,28,數(shù)字圖像處理,三次B樣條曲線,性質(zhì)1：端點位置,性質(zhì)2：端點切矢及二階導(dǎo)數(shù),29,數(shù)字圖像處理,三次B樣條曲線,P0,P3,P2,P1,三次B樣條曲線的頂點位置和頂點切矢,30,數(shù)字圖像處理,2.6 二、三次B樣條曲線的應(yīng)用,在曲線擬合設(shè)計中，B樣條曲線主要可用于實驗數(shù)據(jù) 平滑和要求局部交互式修改的自由曲線設(shè)計。當(dāng)然，二、 三次B樣條曲線及其變型，幾乎可以應(yīng)用到所有的要求具 有一次或二次幾何連續(xù)的曲線造型場合。 (1)要求過插值端點； (2)封閉的二、三次B樣條曲線； (3)插值二、三次B樣條曲線；,31,數(shù)字圖像處理,2.7 非均勻 B 樣條曲線,前面介紹的B樣條曲線實際上稱為均勻(或等距節(jié)點)B樣條曲線。B樣條曲線是由B樣條函數(shù)演化而來的。關(guān)于B樣條函數(shù)的理論十分的豐富，現(xiàn)在簡單的給出B樣條基函數(shù)的遞推公式