降落傘選擇問題-數(shù)學(xué)建模

1、降落傘的選擇問題組長： 張瑜組員： 楊璐組員： 胡瀟摘要本文討論并確定了降落傘的最佳選購方案，在滿足空投物資重量的前提下，使購買降落傘的費用最小。該問題是一個優(yōu)化問題，以購買降落傘的費用最小構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，以救災(zāi)物資2000,5種不同半徑的降落傘的最大載重量為限制條件，進行線性規(guī)劃，建立優(yōu)化模型。通過LinDo軟件對模型進行求解，最終得出最佳方案為的降落傘數(shù)量為個，其他半徑的降落傘不予選購，以及最小費用為4793元。 首先，我們需要計算各規(guī)格降落傘的價格，可知其價格由傘面費，繩索費，固定使用費三部分構(gòu)成，以此進行計算。其次，我們需要計算出阻力系數(shù)，我們利用了兩種方法確定出阻力系數(shù)為2.95747

2、；之后，我們要確定不同半徑的降落傘的最大載重量，通過之前計算出的速度與時間的關(guān)系式，推出速度與質(zhì)量的關(guān)系，再確定質(zhì)量與速度的關(guān)系，從而通過計算得出不同半徑降落傘的最大載重量；最后列出目標(biāo)函數(shù)和約束條件，進行線性規(guī)劃，利用LinDo軟件得出最終結(jié)果。 總之，我們的模型在理論分析上提出了選擇降落傘最優(yōu)化，為選擇合適的降落傘提供了可行的理論依據(jù)。關(guān)鍵字：優(yōu)化方案、線性規(guī)劃、微分方程、MATLAB,LINDO問題重述為了向災(zāi)區(qū)空投救災(zāi)物資，需要選擇不同類型的降落傘。降落傘根據(jù)半徑不同分為半徑為、五種型號，降落傘的造價由傘面費用，繩索費用和固定費用三部分組成。每個降落傘用長為的16跟繩索連接重物，重物位

3、于球心正下方的球面處，降落傘在下降過程中除了受到重力的影響外，還受到空氣的阻力。并且可以認為阻力的大小與降落傘的速度和傘的面積成正比。其阻力系數(shù)可由題中給出的數(shù)據(jù)確定,問題要求在滿足空投物資重量的前提下，使購買降落傘的費用最小。（具體數(shù)據(jù)見附錄中表格1，表格2）問題的提出為向災(zāi)區(qū)空投救災(zāi)物資共2000，需選購一些降落傘，已知空投高度為，要求降落傘落地時的速度不能超過20。降落傘面為半徑的半球面，用每根長為的16根繩索連著載重的物體位于球心正下方球面處，如圖1所示。降落傘1m圖1 每個降落傘的價格由三部分組成。傘面費用由傘的半徑?jīng)Q定；繩索費用由繩索總長度及單價4元/米決定；其他費用為200元。降

4、落傘在降落的過程中受到了空氣的阻力，為了確定阻力的大小，用半徑3、載重為300的降落傘從500高度做降落實驗，測得各時刻的高度。 確定降落傘的選購方案，即共需多少個，每個傘半徑多大，在滿足空投要求的條件下，使費用最低。模型分析這是一個優(yōu)化問題，所求目標(biāo)函數(shù)是降落傘的總費用。針對這個問題我們主要分三部分來分析的。 首先，計算各規(guī)格降落傘的價格，由已知其價格的三部分組成：傘面費，繩索費，固定使用費。傘面費為題目所給不同半徑?jīng)Q定，繩索由長度決定，固定使用費為常數(shù)。其次，我們分析物資在投放過程中的受力情況。忽略了了其他因素影響，有牛頓第二定律分析可得，是物資受到向下的重力和向上的阻力。接下來的問題就是

5、求出阻力系數(shù)。求阻力系數(shù)，我們用了兩種方法。 第一種：利用牛頓第二定律，得出速度關(guān)于時間的表達式，又由對速度的積分，得出高度與速度的關(guān)系，再用MATLAB作出時間與高度的關(guān)系圖，分析圖像作線性回歸，利用MATLAB軟件計算出阻力系數(shù)；第二種：求出的速度的表達式，用MATLAB軟件做出速度與時間的關(guān)系圖，分析可得出阻力系數(shù)的大小。另外，對于確定不同規(guī)格的降落傘最大載重量，利用給速度的關(guān)系式，逐步推出速度與質(zhì)量的關(guān)系，進而求得最大載重量。最后，我們寫出了目標(biāo)函數(shù)，并且結(jié)合約束條件得出了線性規(guī)劃，利用LINDO軟件得出結(jié)果模型分析符號說明 ()：分別表示購買的半徑為的降落傘的價格，單位(元)。():

6、分別表示購買半徑為的降落傘的繩索的價格，單位(元)。 ()：分別表示購買的半徑為的傘面面積，單位()。 (): 分別表示購買一個半徑為的降落傘的各自總費用，單位(元)。：指的是半徑的最大載重量，單位()。: 表示t時刻降落傘的速度單位()。: 表示降落傘的受力面積，單位()。: 表示時間，單位()。： 表示空氣阻力系數(shù): 貨物的質(zhì)量，單位()。: 重力加速度，單位()。模型假設(shè)1.假設(shè)2000kg物資可以任意分割。2.假設(shè)在降落傘下落過程中只受到重力，和一個可以視為非重力因素共同作用下的合力 空氣阻力的影響，不考慮橫向受力。3.假設(shè)繩索和傘面的質(zhì)量忽略不計。4.假設(shè)在受力分析過程中，和下落過程

7、中計算高度時，可將物資看做質(zhì)點。5.假設(shè)降落傘的阻力與速度和面積的成績成正比，其系數(shù)成為空氣阻力系數(shù)，為常數(shù)。6.假設(shè)繩索的價格每米1元，每個降落傘固定費用是常數(shù)為200元。模型建立由模型分析可知，這是一個優(yōu)化問題，要建立費用最小的目標(biāo)函數(shù)，和以不同規(guī)格的降落傘總載重量大于等于作為約束條件，在LINDO軟件中計算出不同規(guī)格降落傘的選擇個數(shù)，得出一個最優(yōu)方案。對此問題分三步進行：第一步：計算各規(guī)格單個降落傘的費用在建立目標(biāo)函數(shù)時，總費用是各規(guī)格降落傘的個數(shù)和相應(yīng)的單個降落傘的費用，所以首先要計算出各規(guī)格單個降落傘的費用。由題目可知，其價格由三部分組成，傘面費，繩索費，固定使用費，而其中傘面費為題

8、目中所給的不同半徑?jīng)Q定，繩索費由繩索長度和單位長度的價格決定，固定費為常數(shù)由題目中所給表格1（見附錄）及計算可得其費用：(元)651703506601000（元）181226271317362（元）200200200200200（元）44659682211771562表格 3其中，由于貨物在球心正下方球面處，則繩索長度是第二步：計算阻力系數(shù)為表述不同規(guī)格總載重量大于等于這一條件，并求解降落傘速度滿足的微分方程，方正中的重要參數(shù)空氣阻力系數(shù)是未知的，在此我們需要對已知表格2中的數(shù)據(jù)進行擬合，從而求出空氣阻力系數(shù)。對降落傘進行受力分析見 圖1G=mgF=kvs貨物圖2由牛頓運動定律及假設(shè)有： (1

9、)其中(指下落過程中的加速度)即 (2)解之得 (3)積分有： 即 (4)由假設(shè)將原實驗表的數(shù)據(jù)變?yōu)椋簍03691215182124273003075128183236285340392445499表格 4在matlab中作圖可得：圖3在MATLAB軟件中輸入以下程序：見 （附錄 程序1） 由圖像可見H(t)圖像的后段幾乎為線性關(guān)系，即后期幾乎為勻速運動，則選擇 t=9s,以后的點作線性回歸 (5)(其中 : 計算過程中線性回歸的系數(shù))通過MATLAB軟件擬合寫出程序2 （見附錄 程序2）可得：那么由分析，則 得另一個方面為了檢驗上述擬合是否高度近似，我們用下面的方法進行檢驗由(3)式可知 (

10、6)利用表格 2 的數(shù)據(jù)和(3)式，輸入MATLAB軟件中作 v(t)t 圖像可得：圖4 在之后，作擬合，可得 在第一個方法中計算所得空氣阻力系數(shù)和此方法中計算的近似相等，可以看出第一個方法的擬合度是很高的。第三步：求各種規(guī)格降落傘的最大載重量在列約束條件時，不同規(guī)格總載重量大于等于，總載重量為不同規(guī)格降落傘的個數(shù)乘其相應(yīng)的最大載重量得到，在此我們需要計算不同規(guī)格降落傘的最大載重量。由(3)式可知 這是下落速度的方程，而我們要求出降落傘最大載重量，在這里將參數(shù)轉(zhuǎn)換，將變?yōu)槌Ａ慷鴮①|(zhì)量視為變量，更容易求解。上式可寫為：要求出最大載重量，需要得出關(guān)于是一個遞增函數(shù)，那么在時，便可以得到安全范圍內(nèi)的

11、最大載重量。即，則 則 為單調(diào)遞增函數(shù)故 也為單調(diào)遞增函數(shù)由此可得當(dāng) ，每種規(guī)格降落傘取得最大載重量聯(lián)立(3)式，(4)式，得 (8)消去參數(shù) t,有 (9)將，代入(9)式有：152.396238.119342.892466.713609.58525.132739.269956.548776.9690100.5310表格 5其中(指的是半徑的最大載重量)模型求解則所得線性規(guī)劃為：根據(jù)購買降落傘的總費用最少可得出目標(biāo)函數(shù)為： 以采購的降落傘載重量之和不少于空投物資的總重量為約束條件： 決策條件為采購的各種規(guī)格的降落傘個數(shù)不為負，所以有：且為整數(shù) i=1,2,3,4,5；由已知: 帶入數(shù)據(jù)則有：

12、 ST 且且為整數(shù) i=1,2,3,4,5；通過LINDO軟件可得；即在此次降落傘的選擇中選擇半徑為3m的降落傘6個，最小費用為4793元模型的評價與推廣優(yōu)點：1.分析阻力時用兩種方法計算出了的大小，大大簡化了問題。2. 在解決這個問題時，從推導(dǎo)出,而且從反推出，盡可能大的減少了計算量。3.在解決問題時，采用分步求解法不但細化了問題，而且使問題得到了更全面更精確地結(jié)果。缺點：1選擇降落傘時，計算貨物的加速度時忽略了風(fēng)力因素，會導(dǎo)致計算的不精確。2. 在簡化問題時對降落傘的質(zhì)量進行忽略，但在實際中是不可任意忽略的。3. 本文將貨物處理成物理質(zhì)點，并未考慮實際物資是否可拆分。模型的推廣1. 中，可以通過該改變降落傘載重量與面積的大小可以改變落地時速度的大小。2.通過對這個模型的建立，可以推廣到不同質(zhì)量的貨物上，如3000 ,5000 3.這個模型也適用于集裝箱問題，從更進一步上舉一反三，進行資源的整合。參考文獻1./2數(shù)學(xué)實驗蕭樹鐵主編，高等教育出版社，1999.7.1附錄程序1t=0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30； H=0,