降落傘選擇問(wèn)題-數(shù)學(xué)建模

1、降落傘的選擇問(wèn)題組長(zhǎng)： 張瑜組員： 楊璐組員： 胡瀟摘要本文討論并確定了降落傘的最佳選購(gòu)方案，在滿足空投物資重量的前提下，使購(gòu)買降落傘的費(fèi)用最小。該問(wèn)題是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，以購(gòu)買降落傘的費(fèi)用最小構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，以救災(zāi)物資2000,5種不同半徑的降落傘的最大載重量為限制條件，進(jìn)行線性規(guī)劃，建立優(yōu)化模型。通過(guò)LinDo軟件對(duì)模型進(jìn)行求解，最終得出最佳方案為的降落傘數(shù)量為個(gè)，其他半徑的降落傘不予選購(gòu)，以及最小費(fèi)用為4793元。 首先，我們需要計(jì)算各規(guī)格降落傘的價(jià)格，可知其價(jià)格由傘面費(fèi)，繩索費(fèi)，固定使用費(fèi)三部分構(gòu)成，以此進(jìn)行計(jì)算。其次，我們需要計(jì)算出阻力系數(shù)，我們利用了兩種方法確定出阻力系數(shù)為2.95747

2、；之后，我們要確定不同半徑的降落傘的最大載重量，通過(guò)之前計(jì)算出的速度與時(shí)間的關(guān)系式，推出速度與質(zhì)量的關(guān)系，再確定質(zhì)量與速度的關(guān)系，從而通過(guò)計(jì)算得出不同半徑降落傘的最大載重量；最后列出目標(biāo)函數(shù)和約束條件，進(jìn)行線性規(guī)劃，利用LinDo軟件得出最終結(jié)果。 總之，我們的模型在理論分析上提出了選擇降落傘最優(yōu)化，為選擇合適的降落傘提供了可行的理論依據(jù)。關(guān)鍵字：優(yōu)化方案、線性規(guī)劃、微分方程、MATLAB,LINDO問(wèn)題重述為了向?yàn)?zāi)區(qū)空投救災(zāi)物資，需要選擇不同類型的降落傘。降落傘根據(jù)半徑不同分為半徑為、五種型號(hào)，降落傘的造價(jià)由傘面費(fèi)用，繩索費(fèi)用和固定費(fèi)用三部分組成。每個(gè)降落傘用長(zhǎng)為的16跟繩索連接重物，重物位

3、于球心正下方的球面處，降落傘在下降過(guò)程中除了受到重力的影響外，還受到空氣的阻力。并且可以認(rèn)為阻力的大小與降落傘的速度和傘的面積成正比。其阻力系數(shù)可由題中給出的數(shù)據(jù)確定,問(wèn)題要求在滿足空投物資重量的前提下，使購(gòu)買降落傘的費(fèi)用最小。（具體數(shù)據(jù)見(jiàn)附錄中表格1，表格2）問(wèn)題的提出為向?yàn)?zāi)區(qū)空投救災(zāi)物資共2000，需選購(gòu)一些降落傘，已知空投高度為，要求降落傘落地時(shí)的速度不能超過(guò)20。降落傘面為半徑的半球面，用每根長(zhǎng)為的16根繩索連著載重的物體位于球心正下方球面處，如圖1所示。降落傘1m圖1 每個(gè)降落傘的價(jià)格由三部分組成。傘面費(fèi)用由傘的半徑?jīng)Q定；繩索費(fèi)用由繩索總長(zhǎng)度及單價(jià)4元/米決定；其他費(fèi)用為200元。降

4、落傘在降落的過(guò)程中受到了空氣的阻力，為了確定阻力的大小，用半徑3、載重為300的降落傘從500高度做降落實(shí)驗(yàn)，測(cè)得各時(shí)刻的高度。 確定降落傘的選購(gòu)方案，即共需多少個(gè)，每個(gè)傘半徑多大，在滿足空投要求的條件下，使費(fèi)用最低。模型分析這是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，所求目標(biāo)函數(shù)是降落傘的總費(fèi)用。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題我們主要分三部分來(lái)分析的。 首先，計(jì)算各規(guī)格降落傘的價(jià)格，由已知其價(jià)格的三部分組成：傘面費(fèi)，繩索費(fèi)，固定使用費(fèi)。傘面費(fèi)為題目所給不同半徑?jīng)Q定，繩索由長(zhǎng)度決定，固定使用費(fèi)為常數(shù)。其次，我們分析物資在投放過(guò)程中的受力情況。忽略了了其他因素影響，有牛頓第二定律分析可得，是物資受到向下的重力和向上的阻力。接下來(lái)的問(wèn)題就是

5、求出阻力系數(shù)。求阻力系數(shù)，我們用了兩種方法。 第一種：利用牛頓第二定律，得出速度關(guān)于時(shí)間的表達(dá)式，又由對(duì)速度的積分，得出高度與速度的關(guān)系，再用MATLAB作出時(shí)間與高度的關(guān)系圖，分析圖像作線性回歸，利用MATLAB軟件計(jì)算出阻力系數(shù)；第二種：求出的速度的表達(dá)式，用MATLAB軟件做出速度與時(shí)間的關(guān)系圖，分析可得出阻力系數(shù)的大小。另外，對(duì)于確定不同規(guī)格的降落傘最大載重量，利用給速度的關(guān)系式，逐步推出速度與質(zhì)量的關(guān)系，進(jìn)而求得最大載重量。最后，我們寫出了目標(biāo)函數(shù)，并且結(jié)合約束條件得出了線性規(guī)劃，利用LINDO軟件得出結(jié)果模型分析符號(hào)說(shuō)明 ()：分別表示購(gòu)買的半徑為的降落傘的價(jià)格，單位(元)。():

6、分別表示購(gòu)買半徑為的降落傘的繩索的價(jià)格，單位(元)。 ()：分別表示購(gòu)買的半徑為的傘面面積，單位()。 (): 分別表示購(gòu)買一個(gè)半徑為的降落傘的各自總費(fèi)用，單位(元)。：指的是半徑的最大載重量，單位()。: 表示t時(shí)刻降落傘的速度單位()。: 表示降落傘的受力面積，單位()。: 表示時(shí)間，單位()。： 表示空氣阻力系數(shù): 貨物的質(zhì)量，單位()。: 重力加速度，單位()。模型假設(shè)1.假設(shè)2000kg物資可以任意分割。2.假設(shè)在降落傘下落過(guò)程中只受到重力，和一個(gè)可以視為非重力因素共同作用下的合力 空氣阻力的影響，不考慮橫向受力。3.假設(shè)繩索和傘面的質(zhì)量忽略不計(jì)。4.假設(shè)在受力分析過(guò)程中，和下落過(guò)程

7、中計(jì)算高度時(shí)，可將物資看做質(zhì)點(diǎn)。5.假設(shè)降落傘的阻力與速度和面積的成績(jī)成正比，其系數(shù)成為空氣阻力系數(shù)，為常數(shù)。6.假設(shè)繩索的價(jià)格每米1元，每個(gè)降落傘固定費(fèi)用是常數(shù)為200元。模型建立由模型分析可知，這是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，要建立費(fèi)用最小的目標(biāo)函數(shù)，和以不同規(guī)格的降落傘總載重量大于等于作為約束條件，在LINDO軟件中計(jì)算出不同規(guī)格降落傘的選擇個(gè)數(shù)，得出一個(gè)最優(yōu)方案。對(duì)此問(wèn)題分三步進(jìn)行：第一步：計(jì)算各規(guī)格單個(gè)降落傘的費(fèi)用在建立目標(biāo)函數(shù)時(shí)，總費(fèi)用是各規(guī)格降落傘的個(gè)數(shù)和相應(yīng)的單個(gè)降落傘的費(fèi)用，所以首先要計(jì)算出各規(guī)格單個(gè)降落傘的費(fèi)用。由題目可知，其價(jià)格由三部分組成，傘面費(fèi)，繩索費(fèi)，固定使用費(fèi)，而其中傘面費(fèi)為題

8、目中所給的不同半徑?jīng)Q定，繩索費(fèi)由繩索長(zhǎng)度和單位長(zhǎng)度的價(jià)格決定，固定費(fèi)為常數(shù)由題目中所給表格1（見(jiàn)附錄）及計(jì)算可得其費(fèi)用：(元)651703506601000（元）181226271317362（元）200200200200200（元）44659682211771562表格 3其中，由于貨物在球心正下方球面處，則繩索長(zhǎng)度是第二步：計(jì)算阻力系數(shù)為表述不同規(guī)格總載重量大于等于這一條件，并求解降落傘速度滿足的微分方程，方正中的重要參數(shù)空氣阻力系數(shù)是未知的，在此我們需要對(duì)已知表格2中的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，從而求出空氣阻力系數(shù)。對(duì)降落傘進(jìn)行受力分析見(jiàn) 圖1G=mgF=kvs貨物圖2由牛頓運(yùn)動(dòng)定律及假設(shè)有： (1

9、)其中(指下落過(guò)程中的加速度)即 (2)解之得 (3)積分有： 即 (4)由假設(shè)將原實(shí)驗(yàn)表的數(shù)據(jù)變?yōu)椋簍03691215182124273003075128183236285340392445499表格 4在matlab中作圖可得：圖3在MATLAB軟件中輸入以下程序：見(jiàn) （附錄 程序1） 由圖像可見(jiàn)H(t)圖像的后段幾乎為線性關(guān)系，即后期幾乎為勻速運(yùn)動(dòng)，則選擇 t=9s,以后的點(diǎn)作線性回歸 (5)(其中 : 計(jì)算過(guò)程中線性回歸的系數(shù))通過(guò)MATLAB軟件擬合寫出程序2 （見(jiàn)附錄 程序2）可得：那么由分析，則 得另一個(gè)方面為了檢驗(yàn)上述擬合是否高度近似，我們用下面的方法進(jìn)行檢驗(yàn)由(3)式可知 (

10、6)利用表格 2 的數(shù)據(jù)和(3)式，輸入MATLAB軟件中作 v(t)t 圖像可得：圖4 在之后，作擬合，可得 在第一個(gè)方法中計(jì)算所得空氣阻力系數(shù)和此方法中計(jì)算的近似相等，可以看出第一個(gè)方法的擬合度是很高的。第三步：求各種規(guī)格降落傘的最大載重量在列約束條件時(shí)，不同規(guī)格總載重量大于等于，總載重量為不同規(guī)格降落傘的個(gè)數(shù)乘其相應(yīng)的最大載重量得到，在此我們需要計(jì)算不同規(guī)格降落傘的最大載重量。由(3)式可知 這是下落速度的方程，而我們要求出降落傘最大載重量，在這里將參數(shù)轉(zhuǎn)換，將變?yōu)槌Ａ慷鴮①|(zhì)量視為變量，更容易求解。上式可寫為：要求出最大載重量，需要得出關(guān)于是一個(gè)遞增函數(shù)，那么在時(shí)，便可以得到安全范圍內(nèi)的

11、最大載重量。即，則 則 為單調(diào)遞增函數(shù)故 也為單調(diào)遞增函數(shù)由此可得當(dāng) ，每種規(guī)格降落傘取得最大載重量聯(lián)立(3)式，(4)式，得 (8)消去參數(shù) t,有 (9)將，代入(9)式有：152.396238.119342.892466.713609.58525.132739.269956.548776.9690100.5310表格 5其中(指的是半徑的最大載重量)模型求解則所得線性規(guī)劃為：根據(jù)購(gòu)買降落傘的總費(fèi)用最少可得出目標(biāo)函數(shù)為： 以采購(gòu)的降落傘載重量之和不少于空投物資的總重量為約束條件： 決策條件為采購(gòu)的各種規(guī)格的降落傘個(gè)數(shù)不為負(fù)，所以有：且為整數(shù) i=1,2,3,4,5；由已知: 帶入數(shù)據(jù)則有：

12、 ST 且且為整數(shù) i=1,2,3,4,5；通過(guò)LINDO軟件可得；即在此次降落傘的選擇中選擇半徑為3m的降落傘6個(gè)，最小費(fèi)用為4793元模型的評(píng)價(jià)與推廣優(yōu)點(diǎn)：1.分析阻力時(shí)用兩種方法計(jì)算出了的大小，大大簡(jiǎn)化了問(wèn)題。2. 在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，從推導(dǎo)出,而且從反推出，盡可能大的減少了計(jì)算量。3.在解決問(wèn)題時(shí)，采用分步求解法不但細(xì)化了問(wèn)題，而且使問(wèn)題得到了更全面更精確地結(jié)果。缺點(diǎn)：1選擇降落傘時(shí)，計(jì)算貨物的加速度時(shí)忽略了風(fēng)力因素，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算的不精確。2. 在簡(jiǎn)化問(wèn)題時(shí)對(duì)降落傘的質(zhì)量進(jìn)行忽略，但在實(shí)際中是不可任意忽略的。3. 本文將貨物處理成物理質(zhì)點(diǎn)，并未考慮實(shí)際物資是否可拆分。模型的推廣1. 中，可以通過(guò)該改變降落傘載重量與面積的大小可以改變落地時(shí)速度的大小。2.通過(guò)對(duì)這個(gè)模型的建立，可以推廣到不同質(zhì)量的貨物上，如3000 ,5000 3.這個(gè)模型也適用于集裝箱問(wèn)題，從更進(jìn)一步上舉一反三，進(jìn)行資源的整合。參考文獻(xiàn)1./2數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)蕭樹(shù)鐵主編，高等教育出版社，1999.7.1附錄程序1t=0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30； H=0,