投資的收益與風(fēng)險問題

1、ci(xi)， ：投資的收益與風(fēng)險問題市 上有種 （如股票、 券、）() 供投 者 ，某公司有數(shù) 一筆相當(dāng)大的 金可用作一個 期的投 。公司 分析人 種 行了 估，估算出在 一 期內(nèi) 的平均收益率 ，并 出 的 失率 ?？?到投 越分散， 的 越小，公司確定，當(dāng)用 筆 金 若干種 ， 體 可用所投 的中最大的一個 來度量。的購買 要付交易 ， 率 ，并且當(dāng) 不超 定 ，交易 按 當(dāng)然無 付 ）。另外，假定同期 行存款利率是 , 且既無交易 又無 。（ 算（不 ）已知 的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：資產(chǎn)收益率(%) 率(%)交易 (%)閥值( 元 )282.51103211.52198235.54.55225

2、2.66.540 公司 一種投 合方案，即用 定的 金息，使 收益盡可能大，而 體 盡可能小。，有 地 若干種 或存 行生模型分析本 需要我 一種投 合方案，使收益盡可能大，而 盡可能小。并 出 的盈 數(shù)據(jù)，以及一般情況的 。 是一個 化 ，要決策的是每種 的投 ，要達(dá)到目 包括兩方面的要求 : 收益最大和 最低，即本 是一個雙 化的 ，一般情況下， 兩個目 是矛盾的，因 收益越大 也會隨著增加，反之也是一 的，所以，我 很 或者不可能提出同 足 兩個目 的決策方案，我 只能做到的是：在收益一定的情況下，使得 最小的決策，或者在 一定的情況下，使得 收益最大，或者在收益和 按確定好的偏好比例的

3、情況下 出最好的決策方案， 的 ，我 得到的不再是一個方案，而是一個方案的 合， 稱 合方案。設(shè)購買 si （ i=0,1 .n;s0 表示存入 行， ）的金 xi;所支付的交易 對 si 投 的 收益 : ri ( xi )ri xici ( xi )（ i 0，1， n）對 si 投 的 : qi ( xi )qi xi（ i 0， 1， n）， q0=0對 si 投 所需 金（即 金 xi 與所需的手 ci(xi) 之和）是fi (xi )xi ci ( xi )（ i 0， 1， n）投 方案用x=（ x0， x1， xn）表示，那么， 收益 ： ：q( x) = min qi ( x

4、i )0 in所需 金 ：所以， 收益最大， 最小的雙目 化模型表示 ：但是像 的雙目 模型用一般的方法很 求解出來的，所以 分析把次模型 化 三種 的 目 模型。模型假設(shè)假 公司在 一 期內(nèi)是一次性投 ；除交易 和投 用外再無其他的 用開支；在 一 期市 展基本上是 定的；外界因素 投 的 無 大影響；無其他的人 干 ；社會政策無 大 化；公司的 展 投 無 大影響 投 是在市 中 行的，市 是復(fù) 多 的，是無法用數(shù)量或函數(shù) 行準(zhǔn)確描述的，因此以上的假 是必要的，一般 來物價 化具有一定的周期性，社會政策也并非天天改 ，公司自身的 展在 定的情況下才會用 外的 金 行 大的 的投 ， 市 與

5、社會的系 展在一個 期內(nèi)是良性的、 定的，以上假 也是合理的。模型建立1）模型 a假 投 的 水平是k,即要求 q（ x）限制在k 內(nèi)， q（ x）k ， 模型可 化 ：max r xs.tq xk, f (x)m , x 02）模型 b假 投 的收益水平是h，即 收益 r(x) 不少于 h： r( x) h， 模型可 化 ：s.t r( x)h, f ( x)m , x 03）模型 c假 投 者 和收益的相 偏好參數(shù) （ 0）， 模型可 化 ：s.t. f ( x) m , x0模型求解由于交易 ci (xi )是分段函數(shù)， 使得上述模型中的目 函數(shù)或 束條件相 比 復(fù) ，是一個非 性 劃

6、， 于求解. 但注意到 投 m 相當(dāng)大，一旦投 si ，其投 xi 一般都會超 ui，于是交易 ci(xi)可 化 性函數(shù)從而， 金 束 化 收益 化 在 行 算 ，可 m=1 ，此 yi =（ 1pi ） xi （ i 0， 1， n）可 作投 si 的比例 .以下的模型求解都是在上述兩個 化條件下 行 的.1）模型 a 的求解模型a 的 束條件q( x)k 即q (x)max qi 0 i n( xi )max( qi xi ) k，0 in所以此 束條件可 化 qi xik（ i 0， 1， n） . 模型 a可化 如下的 性 劃 ：具體到 n=4的情形，按投 的收益和 中 中 定的數(shù)據(jù)

7、，模型 ：s.t 0.025x1k,0.015x2k,0.055x3k,0.026x4kx01.01x1 1.02x21.045x3 1.065x4 1, xi0 （i 0， 1， 4）利用 matlab7.1求解模型 a 出 果是0.177638, x0 - 0.158192, x1 - 0.2, x2 - 0.333333, x3 - 0.0909091,x4 - 0.192308 明投 方案 （0.158192， 0.2， 0.333333， 0.0909091 ， 0.192308） ，可以 得 體 不超過 0.005 的最大收益是 0.177638m .當(dāng) k 取不同的 （00.02

8、5）， 與收益的關(guān)系 1. 出 果列表如下：表 1 . 模型 1 的 算 果 水平 k最大收益00.05100000.0010.07550.83160.040.06670.01820.03850.0020.10110.66330.080.13330.03640.07690.0030.12660.49490.120.20.05450.11540.0040.15210.32660.160.26670.07270.15380.0050.17760.15820.20.33330.09090.19230.0060.201900.240.40.10910.22120.0070.206600.280.466

9、70.12730.10160.0080.211200.320.53330.127100.0090.215500.360.60.023300.010.21900.40.5843000.0110.222300.440.5447000.0120.225600.480.5051000.0130.228800.520.4655000.0140.232100.560.4259000.0150.235400.60.3863000.0160.238700.640.3467000.0170.241900.680.3071000.0180.245200.720.2675000.0190.248500.760.22

10、78000.020.251800.80.1882000.0210.25500.840.1486000.0220.258300.880.109000.0230.261600.920.0694000.0240.264900.960.0298000.0250.267300.9901000圖 1 . 模型 1中 k 與收益的關(guān)系2）模型 b 的求解模型b 本來是極小極大 劃：nns.t.(ripi ) xi h( 1 pi x)i1x 0i 0i 0但是，可以引 量xn+1= max( qi xi ) ，將它改寫 如下的 性 劃：0 i nnns.tqi xixn1 ,i=0,1,2, ,n,(ri

11、pi ) xi h,(1pi ) xi1 , x 0i 0i0具體到 n=4的情形，按投 的收益和 中 中 定的數(shù)據(jù)，模型 ：min x5s.t 0.025x1x5 ,0.015x2x5 ,0.055x3x5 ,0.026x4x5x01.01x1 1.02x21.045x31.065x4 1, xi0, （ i 0，1， 5）利用 matlab7.1求解模型b，當(dāng) h 取不同的 （ 0.10.25），我 算最小 和最 決策,收益水平 h 取， 果如表 2 所示， 和收益的關(guān)系 2.表 2 . 模型 2 的 算 果 水平 k最大收益0.0020.10.67020.07830.13060.0356

12、0.07530.00240.110.60430.0940.15670.04270.09040.00270.120.53830.10970.18280.04990.10550.00310.130.47240.12540.20890.0570.12050.00350.140.40640.1410.2350.06410.13560.00390.150.34050.15670.26120.07120.15070.00430.160.27450.17240.28730.07830.16570.00470.170.20860.1880.31340.08550.18080.00510.180.14260.2

13、0370.33950.09260.19590.00550.190.07670.21940.36560.09970.21090.00590.20.01070.2350.39170.10680.2260.00780.2100.31140.5190.05690.09080.01030.2200.4120.5725000.01340.2300.53410.4515000.01640.2400.65630.3305000.01950.2500.77840.209600圖 2 . 模型 2 中 與收益h 的關(guān)系3）模型 c 的求解 似模型b 的求解，我 同 引 量xn+1= max( qi xi ) ，將

14、它改寫 如下的 性 劃：0 i nnmin xn+1（ 1 ）(rp )xiiii 0ns.t qi xi xn 1 ,i =0，1， 2， n( 1pix)i1 x 0i 0具體到n=4 的情形，按投 的收益和 中 定的數(shù)據(jù)，模型 ：s.t 0.025x1x5 ,0.015x2x5 ,0.055x3x5, 0.026x4 x5x0 1.01x1 1.02x21.045x31.065x4 1, xi0 （ i 0，1， 5）利用 matlab7.1 求解模型 c，當(dāng) 取不同的 （ 0.750.95），我 算最小 和最 決策 出 果列表如下：表 3 . 模型 3 的 算 果 水平最大收益率0.7

15、60.02480.267300.99010000.770.02480.267300.99010000.780.00920.216500.36930.6147000.790.00920.216500.36920.6148000.80.00790.210700.31510.52180.143100.810.00920.216500.36870.6154000.820.00740.208400.29570.49280.13440.05470.830.00790.210600.31390.52350.142500.840.0060.201700.23860.39730.10820.2260.850.0

16、060.201600.23750.39670.10840.22750.860.00620.202600.24680.41130.07530.23720.870.00660.204500.26530.44220.00880.25520.880.00590.201700.23790.39640.10780.22790.890.0060.201700.2390.39370.10790.22940.90.0060.201800.23920.3980.10290.22990.910.00590.201700.2380.39580.10750.22870.920.00590.201600.23760.39

17、610.1080.22840.930.00590.201600.23750.39630.1080.22820.940.00610.18470.1350.24360.33090.11060.15570.950.00590.201600.23760.3960.1080.22850.960.00170.09160.72560.06520.10650.03020.06410.970.00540.18480.1140.21410.35640.09740.192圖3 .模型3 中 與收益的關(guān)系圖 4. 模型3 中 與偏好系數(shù)的關(guān)系圖5 .模型3 中收益與偏好系數(shù)的關(guān)系結(jié)果分析1） 合 1， 于 和收益沒有

18、特殊偏好的投 者來 ， 中曲 的拐點 （ 0.006，0.2019 ），這時對的投 比例 表 1 的黑體所示。2）從表1 中的 算 果可以看出， 低 水平，除了存入 行外，投 首 率最低的s2，然后是s1 和 s4， 收益 低； 高 水平， 收益 高，投 方向是 收益率（ri pi） 大的 s1和 s2 些與人 的 是一致的， 里 出了定量的 果3）從表2 看出， 低收益水平，除了存入 行外，投 首 率最低的 ，然后是和 ， 收益當(dāng)然 低。 高收益水平， 自然也高， 首 收益率（）最大的和。 些與人們的經(jīng)驗是一致的。4）結(jié)合圖這時對2，對于風(fēng)險和收益沒有特殊偏好的投資者來說，的投資比例見表2 的黑體所示。應(yīng)該選擇圖中曲線的拐點（ 0.059，0.2），5）從圖5 可以看出，模型3 的風(fēng)險與收益關(guān)系與模型1 和模型2 的結(jié)果幾乎完全一致。6）本文我們建立了投資收益與風(fēng)險的雙目標(biāo)優(yōu)化模型