2008—2017天津中考數(shù)學(xué)壓軸題解析

1、2008 年 2017 年天津中考?jí)狠S題解析1.(2008 天津 ) 已知拋物線 y 3ax 22bxc ，()若 ab1， c1，求該拋物線與x 軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)；()若 ab1，且當(dāng)1x 1 時(shí)，拋物線與x 軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求c 的取值范圍；()若 abc0，且 x10 時(shí)，對(duì)應(yīng)的 y10 ； x21 時(shí)，對(duì)應(yīng)的 y20 ，試判斷當(dāng) 0 x1時(shí)，拋物線與 x 軸是否有公共點(diǎn)？若有，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若沒(méi)有，闡述理由解： ( )當(dāng) ab1 ， c1時(shí)，拋物線為 y3x 2 2x 1 ，方程322x10的兩個(gè)根為 x11 ， x21x31該拋物線與 x 軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)是 (1,0)和 (3,

2、0)( )當(dāng) a=b=1 時(shí)，拋物線為y=3x2+2x+c，且與 x 軸有公共點(diǎn)對(duì)于方程3x2+2x+c=0，判別式 =412c0，有 c 13 當(dāng)=111c時(shí)，由方程3x2+2x+ =0，解得 x1=x2= 33311此時(shí)拋物線為 y=3x2+2x+與 x 軸只有一個(gè)公共點(diǎn) ( ,0)331 當(dāng) c 3時(shí)，x11 時(shí)， y13 2 c1 c ，x2 1 時(shí)， y23 2 c 5 c 由已知 1 x 1 時(shí)，該拋物線與 x 軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，考慮其對(duì)稱軸為1x= ，3y1 ， ，01c應(yīng)有即0y20.5c0.解得 5 c 11綜上， c =3 或 5c 1第 ( )問(wèn)解法二 (圖象法 )或

3、第1頁(yè)共20頁(yè)100c；或x1時(shí) y 05 c 13x 1時(shí) y0綜上， c1 或 5c 13( )對(duì)于二次函數(shù) y 3ax22bxc ，由已知 x0時(shí)，y1c0； x21 時(shí)， y23a2bc0 ，1又 a b c0 ， 3a 2b c ( a b c) 2a b 2 a b 于是 2ab0 而 bac ， 2aa c0 ，即 ac0 a c0 y關(guān)于 x 的一元二次方程3ax 22bx c0 的判別式4b 212ac 4( ac)212ac4( ac) 2ac0 ，O1x拋物線 y3ax 22bxc 與 x 軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，頂點(diǎn)在x 軸下方又該拋物線的對(duì)稱軸xb ，3a由 a b c0 ，

4、 c0，c a b o,b a又 2a b 0，得 2aba ， 1b2 33a3又由已知 x10 時(shí)， y10 ； x21 時(shí)， y20 ，觀察圖象，可知在 0x1范圍內(nèi)，該拋物線與x 軸有兩個(gè)公共點(diǎn)說(shuō)明：適時(shí)畫(huà)出圖象草圖更能說(shuō)明問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合.第2頁(yè)共20頁(yè)2M(t,T)在函數(shù) y2 的圖2.(2009 天津 ) 已知函數(shù) y1=x，y2=x +bx+c，為方程 y1y2=0 的兩個(gè)根，點(diǎn)象上( )若 =1 ， = 1 ，求函數(shù) y2 的解析式；321 時(shí)，求 t 的( )在 ( )的條件下，若函數(shù)y1 與 y2 的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)為A,B，當(dāng) ABM 的面積為123值；( )若 0 1

5、，當(dāng) 0t1時(shí)，試確定 T， ， 三者之間的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.解:()y1x， y2x2bxc， y1y20 ，x2b1 xc0 .將1，1分別代入 x2b1 xc 0 ，得32211211，3b1c02b12c 03解得 b1 ， c1.6651函數(shù) y2 的解析式為 y2x2x66另解第 ( )問(wèn)：比較系數(shù)法 1 ，31 (x)( x3 1 是方程的兩個(gè)根，21 ) 0 ，即 x25 x10 266 y1y20 ， x2(b 1)x c 0 方程 ， 相同，比較系數(shù)得b15 ，即 b1 ， c1 666 y2x21 x166另解第 ( )問(wèn)：韋達(dá)定理法+ = 5=166、是一元二次方程

6、x25x10 的兩個(gè)根6 6又 、 是一元二次方程 x2 (b 1)x c 0 的兩個(gè)根比較系數(shù)得b 15 ，即 b1 ， c1 666 y2 x2 1x166第3頁(yè)共20頁(yè)2( )由已知，得AB=6，設(shè) ABM 的高為 h，B0.50.45121，即2h1S ABMAB h12h3.212144tNTM0.40.35ADC根據(jù)題意， t T2h ， t T = 11440.30.250.20.15由 T t21 t1 ，得 t2 5 t116666144當(dāng) t2 5t11時(shí)，解得 t1t 256614412.0.10.05-0.10.10.20.30.4t0.60.70.5；當(dāng) t2 5 t

7、11時(shí)，解得 t352 ， t452.661441212 t 的值為5525212，1212另解第 ( )問(wèn)：方法 1：過(guò)點(diǎn) M 作 x 軸的垂線，與yx 交于點(diǎn) N，S ABM1(11)(| Tt |) ， Tt 21t1 ，22366解得 t15 ， t252 ， t35122 1212方法 2：當(dāng)t時(shí)， SABM SABC SADM S 梯形 MDCB，即 11(11)(11)1(t1)(T1)1( T1)(11)(1t ) ，解得t15 123223232332323212同理，當(dāng)0t時(shí)，11(1t )(1T )1(1t)(1T )1(1T )(1T )(11) ，解得 t252 12

8、32222332322312當(dāng)t 1 時(shí)，即 11 (t1)(T1 )1 ( 11)( 11 )1 (T1 )(11 )( t1 ) ，解得 t352 123233223232323212方法 3： A(1,1)， B(1,1)， |AB|2 33226設(shè)在 ABM 中以 AB 為底的高為h，則 h2 ，即將直線 yx 向上或向下平移1 個(gè)單位，得288144y3 x1， y4x1144144第4頁(yè)共20頁(yè)解 y3 與 y2 的交點(diǎn)，得 t15 ，解 y4 與 y2 的交點(diǎn)，得 t252 ， t 352 121212注：第二問(wèn)的每一種解法都充分利用了數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想，特別是利用直線y=x 的本

9、質(zhì)特征，使T、t 轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一級(jí)別的量再運(yùn)算 .( )由已知，得2bc，2bc， T t 2bt c .Tttb，Tttb ，2b c2bc，化簡(jiǎn)得b10 .01，得0 ，b 10 .有b10，b10.又 0 t1 ，tb 0 ， tb 0 ，當(dāng) 0 t 時(shí)， T ；當(dāng) t 時(shí)， T ；當(dāng) t 1 時(shí)， T.第 ( )問(wèn)：圖象分析法 當(dāng)對(duì)稱軸在y 軸左側(cè)時(shí)，在0 x 1， y 隨 x 的增大而增大， 當(dāng)對(duì)稱軸在y 軸右側(cè)時(shí)， 是方程 x2(b1)x c0 的兩個(gè)根，另：對(duì)于函數(shù) y2，對(duì)稱軸1b, b1為 xx0b ，c.2 0 1， 0 1， c b2x0 對(duì)于函數(shù) y2x2bxc ，對(duì)稱軸為

10、 xb1b 1，222x010 1，211 ，即對(duì)稱軸在左側(cè) (如下圖 )對(duì)稱軸 x022第5頁(yè)共20頁(yè)111MT0.9B0.9B0.9B0.80.80.80.70.70.70.60.60.60.5TM0.50.50.40.40.4AAA0.30.30.3T0.2M0.20.20.10.10.1O t0.20.40.60.8 11.2O0.21.60.4t0.8 11.2O1.40.20.40.60.8t11.21.41.61.40.61.6綜上，當(dāng) 0 t 時(shí)， T；當(dāng) t時(shí)， T；當(dāng) t 1 時(shí)， T3.(2010 天津 ) 在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y2bxc 與 x 軸交于點(diǎn) A、

11、 B(點(diǎn) A在點(diǎn) Bx的左側(cè) )，與 y 軸的正半軸交于點(diǎn) C ，頂點(diǎn)為 E .( )若 b 2 ， c3 ，求此時(shí)拋物線頂點(diǎn)E 的坐標(biāo)；()將()中的拋物線向下平移，若平移后，在四邊形ABEC中滿足，求此時(shí)S BCE= SABC直線 BC 的解析式；( )將 ( )中的拋物線作適當(dāng)?shù)钠揭?，若平移后，在四邊形，且頂點(diǎn)E恰ABEC中滿足 S BCE= 2SAOC好落在直線 y4 x 3 上，求此時(shí)拋物線的解析式 .解： ()當(dāng) b2 ， c3 時(shí)，拋物線的解析式為yx22 x3 ，即 y( x 1)24 . 拋物線頂點(diǎn)E 的坐標(biāo)為 (1， 4) 2 分()將 ()中的拋物線向下平移，則頂點(diǎn)E 在

12、對(duì)稱軸 x1上，有 b 2 ， 拋物線的解析式為yx22 x c ( c0 ) 此時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為 C( 0，c) ，頂點(diǎn)為 E( 1，1c) 方程 x22xc0 的兩個(gè)根為 x111c ， x211c ， 此時(shí)，拋物線與x 軸的交點(diǎn)為A (1如圖，過(guò)點(diǎn)E 作 EFCB與 x 軸交于點(diǎn) SBCE= SABC， SBCF= SABC BFAB2 1c 設(shè)對(duì)稱軸 x 1與 x 軸交于點(diǎn) D ，則 DF1BF3 1 c AB21c，0) ， B ( 11c，0) F ，連接 CF ，則 S BCE= S BCF yECA ODBFxx1第6頁(yè)共20頁(yè)由 EF CB，得 EFDCBO Rt E

13、DFRt COB有 ED CO DF OB1cc結(jié)合題意，解得c5 3 1c1 1c4 點(diǎn) C(0，5) ， B( 5，0) 42設(shè)直線 BC 的解析式為 ymxn ，則5n,14m,解得2550n.mn.24 直線 BC 的解析式為y1 x5 . 6 分24()根據(jù)題意，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為E( h，k) ， ( h 0 ， k 0 )則拋物線的解析式為y( xh)2k ，此時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn)為 C(0 ，h 2k ) ，與 x 軸的交點(diǎn)為A( hk，0) ， B( hk，0) .(kh0 )過(guò)點(diǎn) E 作 EF CB 與 x 軸交于點(diǎn) F ，連接 CF ，則 S BCE= SBCF.由 S

14、 BCE= 2S AOC， S2 AO2( kh ) .BCF= 2S AOC. 得 BF設(shè)該拋物線的對(duì)稱軸與x 軸交于點(diǎn) D .則 DF1BF3k 2h .AB2于是，由 Rt EDF RtCOB，有 EDCO DFOBkh2k ，即 2h25 kh 2k 0 3k 2hhk結(jié)合題意，解得h1k 2 點(diǎn) E( h，k ) 在直線 y4 x 3 上，有 k4h 3 由，結(jié)合題意，解得k 1 有 k 1， h1 拋物線的解析式為 yx2x3 10 分24第7頁(yè)共20頁(yè)4.(2011天津 ) 已知拋物線 C1 ： y11 x2x1 點(diǎn) F(1，1)2( )求拋物線 C1 的頂點(diǎn)坐標(biāo)；( )若拋物線

15、 C1 與 y 軸的交點(diǎn)為 A連接 AF，并延長(zhǎng)交拋物線112C1 于點(diǎn) B，求證：BFAF拋物線C1上任意一點(diǎn)P( xP， yP )( 0xP1 )連接并延長(zhǎng)交拋物線C1于點(diǎn)Q(x ， yQ )，PFQ試判斷11PF2 是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；QF( )將拋物線 C1 作適當(dāng)?shù)钠揭?得拋物線 C2： y21( x h)2，若 2xm 時(shí) y2 x 恒成立，2求 m 的最大值解 (I) y11x2x 11(x 1)21，y222拋物線 C1 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 1， 1 )Q2(II)根據(jù)題意，可得點(diǎn) A(0， 1)，AMFBN F(1， 1) AB x 軸得 AF=BF=1，P112OxAFBF

16、112成立PFQF理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn) P( xP， yP )作 PMAB 于點(diǎn) M ，則 FM=1xP ， PM=1 yP ( 0 xP 1 ) Rt PMF 中，由勾股定理，得PF 2FM 2PM 2(1 xP )2(1 yP )2又點(diǎn) P(xP， yP )在拋物線 C1 上，得 yP1 ( xP1)21 ，即 ( xP 1)22 yP 122 PF22 yP 1 (1 yP ) 2yP 2即 PFyP 過(guò)點(diǎn) Q( xQ， yQ )作 QN AB，與 AB 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，同理可得 QFyQ 圖文 PMF= QNF=90， MFP= NFQ，第8頁(yè)共20頁(yè) PMF QNF有PFPMQFQ

17、N這里 PM1yP1PF ， QNyQ1QF1 PF 1PF QFQF1即 112PFQF( ) 令 y3x ，設(shè)其圖象與拋物線 C 2 交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x0 ，x0，且 x0 x0，拋物線 C 2可以看作是拋物線y1 x2 左右平移得到的，2觀察圖象隨著拋物線C2 向右不斷平移，x0 ， x0的值不斷增大，當(dāng)滿足 2x m ， y2 x 恒成立時(shí)， m 的最大值在 x0處取得 .可得當(dāng) x02 時(shí)所對(duì)應(yīng)的x0即為 m 的最大值1 ( xh) 2yC2于是，將 x02 帶入x ，y3=x有 1 (2 h)222 解得 h 4 或 h0 (舍)2 y2 1 (x4) 221 ( x此時(shí)， y2y

18、3 ，得4)2xOx0 2x0x2解得 x02 ， x0 =8m 的最大值為 8.5.(2012 天津 ) 已知拋物線y=ax2+bx+c(02a b)的頂點(diǎn)為P(x0， y0)，點(diǎn) A(1， yA)、 B(0， yB)、C(1， yC)在該拋物線上()當(dāng) a=1，b=4， c=10 時(shí)， 求頂點(diǎn) P 的坐標(biāo)； 求yA的值；yByC()當(dāng) y0 0 恒成立時(shí)，求yA的最小值yByC第9頁(yè)共20頁(yè)解： ()若 a=1， b=4，c=10，此時(shí)拋物線的解析式為y=x2+4x+10. y=x2+4x+10=(x+2)2+6，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(2， 6). 點(diǎn) A(1， yA)、 B(0， yB)

19、、 C(1，yC)在拋物線y=x2+4x+10 上， yA=15， yB=10， yC=7.yA15yB5.yC 10 7()由 02a b，得 xb 1.02ayA由題意，如圖過(guò)點(diǎn)A 作 AA1 x 軸于點(diǎn) A1，則 AA1=yA， OA1=1.連接 BC，過(guò)點(diǎn) C 作 CD y 軸于點(diǎn) D，EB則 BD=yB yC，CD=1.GFCDA1過(guò)點(diǎn) A 作 AF BC，交拋物線于點(diǎn)E(x1， yE)，x2 x11O1x交 x 軸于點(diǎn) F(x2，0).則 FAA1= CBD. RtAFA1 Rt BCD. AA1FA1，即yA1 x21x2 .BDCDyByC1過(guò)點(diǎn) E 作 EG AA1 于點(diǎn) G

20、，易得 AEG BCD. AGEG ，即 yAyE =1x1.BDCDyByC點(diǎn) A(1， yA)、B(0， yB)、 C(1， yC)、 E(x1， yE)在拋物線2y=ax +bx+c 上， yA=a+b+c， yB=c， yC=ab+c， yE=ax12+bx1+c， (a b c) (ax12bx1 c)1 x1 ，化簡(jiǎn)，得 x12+x12=0，c (a b c)解得 x1= 2(x1=1 舍去 ).y0 0 恒成立，根據(jù)題意，有x2 x1 1.則 1x2 1x1，即 1x2 3.yA的最小值為 3.yCyB解法 2：()解：設(shè) m0 ，由于 b2a 0，令 b=2a+m2 (2a+m

21、)24ac 0 a0(2a m)2(2 a m) 2(2 am)2 c=2m+2m=+2m4a4a4a第10頁(yè)共20頁(yè) (2 a m)2 04a c 2m點(diǎn) A(1,yA)、 B(0,yB)、 C(1,yC)在拋物線y=ax2+bx+c 上 yA=a+b+c, yB=c, yC= ab+cyAabcab cyC=b=bayBc (ac)代入 b=2a+m,得yA=a 2a m c a m 2a c2a cyB=a m= 1yC2a m aa m c 2m,yA= 1 2a c 1 2a2m =3yByCa mamyA的最小值為 3yByC解法 3：A(1,a+b+c)、 B(0,c)、 C(1

22、,ab+c)由 B(0,c)、 C(1,ab+c)得直線 BC為 y=(ba)x+c AE BC 設(shè)直線 AE 為 y=(ba)x+m將 A(1,a+b+c)代入上式，得m=2a+c.直線 AE 為 y=(ba)x+2a+cyb a x2a c解得 E 點(diǎn)橫坐標(biāo)為 x1=2(x1 =1 舍去 )由ax 2bx得 x2+x2=0.yc y0 0 恒成立，根據(jù)題意，有x2 x1 1.則 1 x2 1 x1，即 1 x2 3.yA的最小值為 3.yByC6.(2013 天津 ) 已知拋物線 y1=ax2+bx+c(a0)的對(duì)稱軸是直線l，頂點(diǎn)為點(diǎn) M 若自變量 x 和函數(shù)值y1 的部分對(duì)應(yīng)值如下表所

23、示：( )求 y1 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；( )若經(jīng)過(guò)點(diǎn) T(0， t)作垂直于 y 軸的直線 l， A 為直線 l 上的動(dòng)點(diǎn)，線段AM 的垂直平分線交直線l 于點(diǎn) B，點(diǎn) B 關(guān)于直線 AM 的對(duì)稱點(diǎn)為 P，記 P(x，y2)(1)求 y2 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng) x 取任意實(shí)數(shù)時(shí)，若對(duì)于同一個(gè)x，有 y1 y2 恒成立，求 t 的取值范圍第11頁(yè)共20頁(yè)x103y1=ax2 +bx+c0904解： ()拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0， 9 )，4 c= 9 4 y1=ax2+bx+ 9 ，4點(diǎn) (1， 0)、 (3， 0)在拋物線 y1=ax2+bx+9 上，y4ab903QPaM4，解

24、得，4939a3b0l CA4b2T339B y1 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式為：2；y1= x +x+4L42O3239，l(II) y1= x +x+4423 2 y1= (x1) +3，4直線 l 為 x=1，頂點(diǎn) M(1， 3)由題意得， t 3，如圖，記直線l 與直線 l交于點(diǎn) C(1， t)，當(dāng)點(diǎn) A 與點(diǎn) C 不重合時(shí)，y由已知得， AM 與 BP 互相垂直平分，四邊形 ANMP 為菱形，QM PA l，又點(diǎn) P(x， y2)，l TC點(diǎn) A(x， t)(x1)，B PM=PA=| y2 t| ，過(guò)點(diǎn) P 作 PQl 于點(diǎn) Q，則點(diǎn) Q(1， y2)，OL QM=| y23| ， PQ=AC=| x1| ，在 Rt PQM 中，l PM222，即 (y2t)223)22，整理