2015年山東卷理科數(shù)學(xué)

1、2015 年山卷卷理科數(shù)學(xué)一、選擇題：每小題5 分，共 50 分。1.已知集合Ax | x24x30 ，Bx | 2 x 4 ，則 AB（）A （ 1，3） B（1， 4） C（ 2，3） D （ 2， 4）Zi ，其中 i 為虛數(shù)單位，則 Z=2.若復(fù)數(shù) Z 滿足1 i（）A 1-iB1+iC -1-iD -1+i3.要得到函數(shù)y sin(4 x) 的圖像，只需要將函數(shù)3y=sin4 x 的圖像（）A 向左平移個單位B 向右平移個單位1212C向左平移個單位D 向右平移個單位334.已知菱形ABCD的邊長為 a ，ABC 60 ，則BD CD（）A 3 a2B 3 a2C 3 a2D 3 a

2、224425.不等式 |x-1|-|x-5|0 ，b0 ）的漸近線與拋物線 C2：x2=2py(p0) 交于O，A，B ，若 OAB 的垂心為 C2 的焦點， 則 C1 的離心率為 _三、解答題： 6 小題，共 75 分。16.（ 12 分）設(shè)f (x)sin x cos xcos2 (x4) 。（）求f（ x）的單調(diào)區(qū)間；（）在銳角ABC 中，角 A ，B，C，的對邊分別為a， b， c，若 f （ A ）=0 ， a=1 ，求面ABC 積的最大2值。17.（ 12 分）如圖，在三棱臺 DEF -ABC 中， AB=2DE ，G，H 分別為 AC， BC 的中點。（）求證：BC/ 平面 FG

3、H ；（） 若 CF 平面 ABC，AB BC，CF=DE， BAC=45 ，求平面 FGH 與平面 ACFD 所成的角（銳角）的大小。18. （ 12 分）設(shè)數(shù)列an的前n 項和為Sn 。已知2Sn3n3 。（）求an的通項公式；（）若數(shù)列bn滿足 anbnlog 3 an ，求bn 的前 n 項和 T n 。2x2y2(a b0) 的離心率為3 ，左、右焦點C :221ab2分別是 F1、F2 。以 F1 為圓心以 3 為半徑的圓與以 F2 為圓心 1 為半徑的圓相交，且交點在橢圓C 上。（）求橢圓C 的方程；（）設(shè)橢圓x2y21，P 為橢圓 C 上任意一E : 224a4b點，過點 P

4、的直線 ykxm 交橢圓 E 于 A， B 兩點，射線 PO 交橢圓 E 于點 Q.（ i）求 |OQ | 的值；|OP |（ ii ）求ABQ 面積的最大值。19.（12 分）若 n 是一個三位正整數(shù)，且n 的個位數(shù)字大于十位數(shù)字， 十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱 n 為“三位遞增數(shù)”（如 137，359，567 等） .在某次數(shù)學(xué)趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù) ”中隨機(jī)抽取 1 個數(shù)，且只能抽取一次.得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù) ”的三個數(shù)字之積不能被5 整除，參加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得 -1 分；若能被 10 整除，得 1 分 .（）寫出

5、所有個位數(shù)字是5 的“三位遞增數(shù)” ；（）若甲參加活動，求甲得分X 的分布列和數(shù)學(xué)期望EX .21.（ 14 分）設(shè)函數(shù)f ( x)ln( x1)a( x2x) ，其中R 。（）討論函數(shù)f (x) 極值點的個數(shù)，并說明理由；20. （ 13 分 ）平 面直 角坐 標(biāo) 系 xOy 中 ，已 知 橢圓3（）若x0, f ( x)0 成立，求的取值范圍。2015 年高考山東省理科數(shù)學(xué)真題答案4一、選擇題1.答案： C解析過程：A x 1 x 3 ， Bx 2 x 4，所以 ABx 2x3，選C2.答案： A解析過程：因為zi ，所以， zi 1 i1i1 i所以， z1i ，選 A3.答案： B解析

6、過程：因為 ysin(4 x) sin 4( x) ，312所以，只需要將函數(shù)ysin 4x 的圖象向右平移個單位，選 B124.答案： D解析過程：因為 BD CDBD BABABCBA= BA2BCBAa2a2 cos603a2 ，選 D.25.答案： A解析過程：原不等式可轉(zhuǎn)化為以下三個不等式的并集：x1（），解得 x x 11x x 5 2（）（）1x5，解得 x 1 x 4x1x52x5，解得x1x52綜上，原不等式的解集為x x4 ，選 A6.答案： B解析過程：作出可行域如圖5若 z axy 的最大值為4，則最優(yōu)解可能為 A(1,1)或 B(2,0)經(jīng)檢驗 A(1,1)不是最優(yōu)解

7、，B(2,0) 是最優(yōu)解，此時a 27.答案： C解析過程：直角梯形 ABCD 繞 AD 所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個底面半徑為1，母線長為2 的圓柱挖去一個底面半徑同樣是1、高為 1 的圓錐后得到的組合體，所以該組合體的體積為：V V圓柱V圓錐122112 15，選 C338.答案： B解析過程：用表示零件的長度，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)得：P 361P 66 P 3320.95440.68260.1359 ，選 B.29.答案： D解析過程：由光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點(2,3) ，設(shè)反射光線所在直線的斜率為k ，則反射光線所在直線方程為：y 3 k( x2

8、)，即 kxy 2k30又因為光線與圓相切，( x3)2( y2)213k22k31 ，整理得 12k225k120所以，k21解得： k43或 k，選 D34610.答案： C解析過程：當(dāng) a1 時， fa2a1，所以， f ( f (a)2 f ( a )，即 a1符合題意；當(dāng) a1 時， f ( a)3a1 ，若 f (a) 1 ，即 3a1 1， a22a 1符合題意；3，所以32綜上， a 的取值范圍是 ,) ，選 C3二、填空題11.答案： 4n 1解析過程：由歸納推理得：C20n 1C21n 1C22n 1C2nn114n 112.答案： 1解析過程：ytan x 在0,上單調(diào)遞

9、增，所以4y tan x 在 0,上的最大值為 tan144由題意得， m11113. 答案：6解析過程：初始條件 n 1,T1,n3成立 ；運行第一次： T11113 , n 2, n 3xdx成立；022運行第二次： T3x2dx13 不成立；311 , n 3, n120236輸出 T 的值：11. 結(jié)束614.答案：32解析過程：若 a 1 ，則 fx在1,0上為增函數(shù)7a 1b1所以，此方程組無解；1b0若 0a1，則 fx 在1,0 上為減函數(shù)a 1b0a1，所以 a3所以b，解得2b11b22315.答案：2解析過程：設(shè) OA所在的直線方程為yb x,ab x則 OB所在的直線方

10、程為yayb xx2 pb解方程組得：a，a2 pb2x22 pyya2所以點 A的坐標(biāo)為2pb2 pb2a,a2拋物線的焦點 F 的坐標(biāo)為 :0, p2因為F是ABC的垂心，所以 kOBkAF1b2 pb2pb25所以，a221a2pba24a所以， e2c21b29e3a2a24216.答案：（ I）單調(diào)遞增區(qū)間是k ,kk z ；單調(diào)遞減區(qū)間是k, 3kk z444423（ II ）ABC面積的最大值為4解析過程：8（ I）由題意知 f ( x)sin 2 x1cos(2x2)22sin 2x1sin 2xsin 2x1222由2k2x2k， kz ，22可得4kxk， kz ，4由2k

11、2x32k， kz ，22可得kx3k， kz ，44所以，函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間是4k,k（ kz）4函數(shù) fx的單調(diào)遞減區(qū)間是4k, 3k（ kz ）4（ II ）由 f ( A)sin A10 ，得 sin A1222由題意得 A 為銳角，所以 cos A32由余弦定理： a2b2c22bcos A可得：13bcb2c22bc即： bc 23，當(dāng)且僅當(dāng) bc 時等號成立因此 1bc sin A2324所以ABC 面積的最大值為23417.答案：（ I）詳見解析；（ II ） 60解析過程：（ I）證法一：連接DG ,CD.設(shè) CDGFM,連接MH，在三棱臺 DEFABC 中， AB2DE

12、， G 分別為 AC 的中點，可得 DF / /GC, DFGC ，所以四邊形DFCG 是平行四邊形，9則 M 為CD 的中點，又 H是 BC 的中點，所以HM /BD,又 HM平面 FGH ， BD平面 FGH ，所以BD /平面 FGH .證法二：在三棱臺DEFABC 中，由 BC2EF,H 為 BC 的中點，可得 BH / /EF,BHEF,所以 HBEF為平行四邊形，可得BE / / HF .在 ABC 中， G， H 分別為 AC， BC 的中點，所以 GH /AB,又GHHF H，所以平面 FGH/平面 ABED ，因為 BD平面ABED ，所以 BD/平面FGH .（）解法一：設(shè)

13、AB2 ，則CF 1在三棱臺DEFABC 中，G 為 AC 的中點由DF1AC GC ，2可得四邊形DGCF為平行四邊形，因此 DG / /CF又 FC 平面 ABC所以 DG平面 ABC在ABC中，由ABBC,BAC45， G是 AC中點，所以 ABBC ,GBGC因此 GB ,GC , GD兩兩垂直 ,以 G為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Gxyz所以 G 0,0,0, B2,0,0,C 0,2,0 , D 0,0,110可得 H2 ,2,0 ,F 0,2,122故 GH2 ,2 ,0 ,GF0, 2,122設(shè) nx, y, z是平面 FGH的一個法向量，則n GH0,x y0由可

14、得n GF0,2 yz0可得平面 FGH的一個法向量 n1,1,2因為所以GB 是平面 ACFD 的一個法向量，GB2,0,0GB n21cos GB, n2 22| GB | | n |所以平面與平面所成的解(銳角 )的大小為60解法二：作HMAC于點M，作MNGF于點N，連接 NH由 FC平面 ABC，得 HMFC又FC AC C所以 HM平面 ACFD因此 GFNH所以MNH即為所求的角在BGC 中, MH / /BG,MH12BG,22由 GNM GCF 可得MN GM，F(xiàn)CGF從而 MN6平面 ACFD ， MN平面 ACFD 得，由 MH6MH MN ，所以 tanMNHHM3 ，

15、所以MHN 600MN所以平面 FGH 與平面 ACFD 所成角（銳角）的大小為6001118.答案：（ I ） an3,n1,136n33n1,n;（ II ） Tn4n .1,123解析過程：解：（ I）因為 2S3n3n所以， 2a13 3，故 a13,當(dāng) n 1時， 2Sn 13n 13,此時， 2an2Sn2Sn 13n3n1 ，即 an3n 1所以， an3n13n 1n2（ II ）因為 a blog a，b11nnn33當(dāng) n1 時， bn31 n log 3 3n 1(n1) 31 n所以 T1b111 時，當(dāng) n3bn 1Tnb1b2(13 123 2( n1)31 n )

16、3所以 3Tn1(130231(n1)32n )兩式相減得，2Tn2(303132 n ) ( n 1) 31 n32 1 31 n(n 1) 31 n13 6n 3313 1623n所以， Tn136n3，經(jīng)檢驗， n1 時也適合，1243n綜上， Tn136n31243n19.答案：（ I ）有： 125，135， 145， 235， 245， 345；（ II ）X 的分布列為EXX0-112111P14423421解析過程：（ I）個位數(shù)是5 的 “三位遞增數(shù) ”有： 125,135,145,235,245,345 ；12（ II ）由題意知，全部 “三位遞增數(shù) ”的個數(shù)為 C9384

17、隨機(jī)變量 X 的取值為：0,，因此1,1P( X0)C8321)C421C93； P(XC93；314P( X1)1211134214所以 X 的分布列為X0-11P211131442因此 EX02( 1)11 114314422120.答案：（ I ） x2y21；（ II ） ( i )2 ；（ ii ） 63 .4解析過程：（ I）由題意知 2a4 ，則 a2 ，又 c3， a2c2b2 ，可得 b1，a2所以橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2y214（ II ）由（ I）知橢圓 E 的方程為 x2y 21164（ i ）設(shè) Px0 , y0OQ，由題意知 Qx0 , y0，OPx022y02

18、因為21又x01 ，4y04162x22OQ即0y01 ，所以2，即24OP4（ ii ）設(shè) A x1, y1 , B x2 , y2將 ykx m 代入橢圓 E 的方程，可得 14k 2 x28kmx 4m2 16 013由0，可得 m24 16k 2則有 x1x28km2 , x1x24m21614k14k2所以 xx416k 24m21214k 2因為直線ykxm 與軸交點的坐標(biāo)為0,m所以O(shè)AB 的面積 S1 mx2x22 16k 24 m2 m14k 222(16k 24m2 ) m224m2m214k 214k214k2m2令t14k2將 ykxm 代入橢圓C 的方程可得 14k

19、2x28kmx4m24 0由0，可得m214k2由可知0t1因此 S24t t2t24t故S23當(dāng)且僅當(dāng) t1 ，即m214k 2時取得最大值 23由（ i）知，ABQ面積為 3S所以ABQ 面積的最大值為 6321.答案：（ I ）當(dāng) a0 時，函數(shù) fx 在 1,上有唯一極值點；當(dāng) 0a8 時，函數(shù) fx在1,上無極值點；9當(dāng) a8 時，函數(shù) fx在1,上有兩個極值點；9（ II ） a 的取值范圍是0,1 .解析過程：14函數(shù) f ( x)ln( x 1)a( x2x) 定義域為1,f x12ax2ax 1a2axax 1x1令 g x 2ax2 ax 1 a（ 1）當(dāng) a0時， gx10， fx0在1,上恒成立所以，函數(shù)fx 在1,上單調(diào)遞增無極值；2（ 2）當(dāng) a0時，gx2ax2ax1a2ax119a48若 19a0，即：0a8，則 gx0 在1,上恒成立，89從而 fx0在1,上恒成立，函數(shù)f x 在1,上單調(diào)遞增無極值；若 19a0，即： a8， 由于 g1