word完整版等差等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)梳理及經(jīng)典例題推薦文檔

1、數(shù)列知識(shí)點(diǎn)梳理及經(jīng)典習(xí)題出題人：李老師A、等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典例題一、數(shù)列由an與Sn的關(guān)系求an由Sn求an時(shí)，要分n=1和n 2兩種情況討論，然后驗(yàn)證兩種情況可否用統(tǒng)一的解析式表示，若不能，則用分段函數(shù)的形式表示為anS (n 1)Si Sn 1 (n 2)(3)811例根據(jù)下列條件，確定數(shù)列an的通項(xiàng)公式。=1 .屮I =3%+2孑 (2 ) a = 1,4+i = C n+ 1) Ofl ?分析：(1)可用構(gòu)造等比數(shù)列法求解；(2)可轉(zhuǎn)化后利用累乘法求解；(3)將無理問題有理化，而后利用an與Sn的關(guān)系求解。解答：(1)丁耳初=3兔+ 2,二知+ 1=3(弘+1八二詈異=3工麗臨為等比

2、數(shù)列拾比+二為+ 1 = 2 * 3 1 , A = 2 * 3-1.EH =(n+ -一科,n1 ,3=1.Q 4 1一塑他a(2)!.片1一亠| 一 J 亠記.故0,*爲(wèi)+ 4 iCbA Oh I 4=0,即久 1=4, 化數(shù)列為等差數(shù)列，差d=4.丁尸 +2）又 a = S* =gA a. -2 :%=2十4（川一1=如一2一二、等差數(shù)列及其前 n項(xiàng)和（一）等差數(shù)列的判定1、等差數(shù)列的判定通常有兩種方法：第一種是利用定義，an an 1 d（常數(shù)）（n 2），第二種是利用等差中項(xiàng)，即 2a.務(wù)1 %i（n 2）。2、 解選擇題、填空題時(shí)，亦可用通項(xiàng)或前n項(xiàng)和直接判斷。（1）通項(xiàng)法：若數(shù)列

3、 an的通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)，即an=An+B,則 an是等差數(shù)列；（2）前n項(xiàng)和法：若數(shù)列a.的前n項(xiàng)和Sn是Sn An2 Bn的形式（A, B是常數(shù)），則 a“是等差數(shù)列。注：若判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需說明任意連續(xù)三項(xiàng)不是等差數(shù)列即可。1 例已知數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足6盼夯乩0（n 2），a1 -（1）求證:1丄是等差數(shù)列;Sn（2）求an的表達(dá)式。分析：(1)Sn Sn 1 2SngSn 1 01 1丄與丄SnSn 1的關(guān)系結(jié)論;1由的關(guān)系式Sn的關(guān)系式an解答:1 ）等式兩邊同除以SngSn 1得丄-丄+2=0，即丄-丄=2 (n 2) . 是以丄=丄=2Srn

4、SnSn Sn1&$ 印為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列。1 1(2)由(1)知丄=-+SnS(n-1 ) d=2+(n-1)1 1x 2=2n,Sn =,當(dāng) n2 時(shí)，an =2 Sn Sn 1 =2n2n(n 1)又印 1，不適合上式，故an21212n(n 1)(n 1)(n 2)【例】 已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),a1 = 1其前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn = 2pag + an p(p R)，則an的通項(xiàng)公式為t a1 = 1,二 2a1 = 2pa1+ a1 p,即 2 = 2p+ 1 p,得 p= 1.于是 2Sn = 2an + an 1.當(dāng) n2 時(shí)，有 2Sn-1 = 2a2-1 +

5、 an-1 1,兩式相減，得 2an = 2an 2a2-1 + an an-1,整理，得 2(an + an-1) (an1一 an 1 刁=0.11 n + 1又 T an0, an an-1 =彳 于是 an是等差數(shù)列，故 an= 1 + (n 1)2=廠.(二) 等差數(shù)列的基本運(yùn)算1、 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a* =+( n-1 ) d及前n項(xiàng)和公式Sn 也1旦 n 旦廠，共涉及五2 2個(gè)量a1 , an , d,n, &, “知三求二”，體現(xiàn)了用方程的思想 解決問題；2、 數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方

6、法。注：因?yàn)橐籲n a1a1 (n 1)，故數(shù)列 - 是等差數(shù)列。n 222n例已知數(shù)列 xn的首項(xiàng)X1=3，通項(xiàng)Xn 2n p nq(n N , p,q為常數(shù))，且x, , X4, X5成等差數(shù)列。求：(1) p, q 的值；(2) 數(shù)列 Xn的前n項(xiàng)和Sn的公式。分析：（1）由=3與X! , X4 , X5成等差數(shù)列列出方程組即可求出p,q ； （ 2）通過Xn利用條件分成兩個(gè)可求和的數(shù)列分別求和。4又 X42 p 4q,X5解答:(1 )由Xi =3得2p q 352 p 8q552 p 5q,且Xi X5 2X4，得 3 2 p 5q由聯(lián)立得p 1,q1。(2)由(1)得，Xn 2n

7、n12乙“2（三）等差數(shù)列的性質(zhì)1、等差數(shù)列的單調(diào)性:等差數(shù)列公差為d,若d0,則數(shù)列遞增；若d 1),則該數(shù)列的通項(xiàng) an =,由 an+1 = 2an+ 3，則有 an+1 + 3= 2(an+ 3),即 an 3 = 2.an + 3所以數(shù)列an+ 3是以ai + 3為首項(xiàng)、公比為2的等比數(shù)列，即an+ 3= 4 2廠=2n+勺，所以an = 2n+1-3.17、已知方程(X2 2x + m)(x2 2x + n) = 0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為 才的等差數(shù)列，則|m-n|的值等于 .如圖所示，易知拋物線y= X2 2x+ m與y= x2 2x + n有相同的對(duì)稱軸 x= 1,它們與x軸的

8、四個(gè)交點(diǎn)依次為 A、B、C、D.17因?yàn)?xA= 1，則 XD = 4.3 5又 |AB|= |BC|= |CD|,所以 XB= 3，XC = 4.m n|= 7 3 x 5|= 14 4 44128、在等差數(shù)列an中，a1= 3,11a5 = 5as 13，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和的最小值為.設(shè)公差為 d,貝U 11( 3+ 4d)= 5( 3 + 7d) 13, d = 59.數(shù)列an為遞增數(shù)列.5 32令 an 0,d0,且滿足，前n項(xiàng)和Sn最大；an 10an0(2) 若a10，且滿足，前n項(xiàng)和Sn最??；an 10(3) 除上面方法外，還可將 an的前n項(xiàng)和的最值問題看作 Sn關(guān)于n的二次

9、函數(shù)最值問題，利用二次 函數(shù)的圖象或配方法求解，注意nN。1例已知數(shù)列an是等差數(shù)列。(1) 右 am n, an m(m n),求am n(2)若 Sm n,Sn m(m n),求Sm n解答：設(shè)首項(xiàng)為ai，公差為d ,(1 )由 am n,an m， d二 am n am (m n m)dn n ( 1)0.n(n 1).mnada1(2)由已知可得2,解得n mqm(m1)dd2d2 2n m mn m nmn2(m n)mn(m n)(m n 1) ,/、Sm n (m n)q2d(m n)【例】已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),S為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的n N*，滿足關(guān)系式2Sn= 3an

10、 3.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)公式是bn =,log 3 an log3an + 1(1)解 當(dāng) n= 1 時(shí)，由 2Sn= 3an 3得，2a1 = 3a1 3, a1 = 3.當(dāng)n2時(shí)，由2Sn= 3an 3得，2Si-1 = 3an-1 3.兩式相減得：2(Si Sn-1) = 3an 3an-1, 即卩 2an= 3an 3an-1, an= 3an-1，又 T a1 = 3豐 0,二an是等比數(shù)列，二 an= 3n.驗(yàn)證：當(dāng)n= 1時(shí)，a1 = 3也適合an= 3n. 二an的通項(xiàng)公式為an= 3n.1,前n項(xiàng)和為Tn,求證：對(duì)于任意的正整數(shù) n,總有Tn1.證明

11、bn= nn+1lOg3an log 3an + 1 log 33 log 33= 1 = 1 1 (n+1)n n n+1，Tn= b1+ b2 + + bn“111 1 1=(1-1)+(2-3+(n -帚)=141.n+ 1等差數(shù)列習(xí)題S1.設(shè) an為等差數(shù)列，S為 an的前n項(xiàng)和，S = 7 S5= 75,已知Tn為數(shù)列 - 的前n項(xiàng)數(shù)，求Tn.2 .已知數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn, a3 6,Ss 12 .(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式;2)求-1S1 S21Sn12.解：設(shè)數(shù)列 an的公差為d,貝y S= na1 + 2 n (n 1) d.a1= 2d= 1S+1n+ 1

12、Sn = 1石=2數(shù)列1是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為2，公差為2 , Tn= n(2) + n( n 1)2 9n 4 n.ai2d 614.解：（1）設(shè)數(shù)列an的公差為d.由題意得方程組3ai3 2，解得d 122(2)2，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ana1(n1)d2n ,即 an 2n .an2n , Snn(ai an)n(n1)S1S2Snn(n 1)(13）(丄nB、等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)及練習(xí)題等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（一）等比數(shù)列的判定判定方法有：(1)定義法：若an 1q（q為非零常數(shù)q（q為非零常數(shù)且n 2），則an是等比數(shù)列;(2)中項(xiàng)公式法:若數(shù)列an 中，an0 且 a2n 1angan 2(

13、nN )，則數(shù)列 a.是等比數(shù)列;(3)通項(xiàng)公式法:若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成an cqn（c, q均為不為0的常數(shù)，n N ），則數(shù)列an是等比數(shù)列;7a1 + 21d= 7-S7= 7, S15= 75,.，15a1 + 105d= 75Sn11二=a1+ (n 1) d= 2+ (n 1)n22前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn koqn k（k為常數(shù)且k 0,q0,1），則數(shù)列a是等比數(shù)列；注：（1）前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，而后兩種方法常用于選擇、填空中的判定；（2）若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定其任意的連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可。例在數(shù)列an中，a1 2, an

14、 1 4務(wù)3n 1,nN（1）證明數(shù)列an n是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn ；（3）證明不等式Sn 1 4Sn對(duì)任意nN皆成立。解答：(1)由題設(shè) an 1 4an 3n 1,得 a.1 (n 1)4(anOn), n N。又a111,所以數(shù)列ann是首項(xiàng)為1,且公比為4的等比數(shù)列。（2）由（1）可知ann 1n 4，于是數(shù)列an的通項(xiàng)公式為nan 4n。所以數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn4n 11 n(n 1)。3（3）對(duì)任意的n NSnSn 1 4Sn 413(n 1)(n 2)4Sn對(duì)任意n N皆成立。（二）等比數(shù)列的的運(yùn)算n(n 1)21(3n24) 0，所以不等式等比數(shù)列基本

15、量的運(yùn)算是等比數(shù)列中一類基本問題，數(shù)列中有五個(gè)量n，q，an，Sn，顯然，“知三求二”，通常 列方程（組）求解問題。解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式，在運(yùn)算過程中，還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算的過程。注：在使用等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)根據(jù) 公比q的情況進(jìn)行分類討 論，切不可忽視q的取值而盲目用求和公式。例設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為（1）求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；（2）右CnangbJn N ),解答：（1 ）由bn =2-2 Sn，得 b得bn 12 2Sn1Sn，且bn =2-2 Sn ；數(shù)列an為等差數(shù)列，且玄6 1420。Tn為數(shù)列cn的前n項(xiàng)和，求證：Tn -?！痉趴s法

16、】2222S1，又Si= bi，所以bi=，由bn =2-2Sn33匸屮=&即-21-得bn 1 bn2bn 1，二宀 豈，二bn是以一為首項(xiàng)，以一為公比的等比3 32 1數(shù)列，所以bn = 2 (丄)“。3 3(2) an為等差數(shù)列， d至皀3 ,丄i i5從而7 5厲=為 = 2(3711) (寺廠112131 n- Tn 22g； 5比)8g；) L (3n 1)g；)33331 111 1 1 -Tn 22g-)2 5g；)3 8g-)4 L (3n 4)(汀(3n 1)(；)n )333333-得T =3幾2_Z -7- + 3 * (寺) 亠3 )T1 lQG 廠 J當(dāng)或時(shí)仏堤遞減

17、數(shù)列. ()1當(dāng)時(shí).數(shù)列血/是常數(shù)列，半盧0時(shí)；數(shù)列如是擺動(dòng)數(shù)列;各項(xiàng)負(fù)號(hào)相間.注：等比數(shù)列中所有奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，所有偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)也相同。1.(全國(guó)卷2理數(shù))(4).如果等差數(shù)列an 中，a3 a412,那么印 a?a7(A) 14(B) 21(C) 28(D) 35【考查點(diǎn)】考查等差數(shù)列的基本公式和性質(zhì)【解析】a3 a4a5 3a412,a44,a2 La77(a1 a7) 7a42282.(遼寧理數(shù))(6)設(shè)an是有正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和。已知a2a4=1, S37 ,則 S515313317(A) 2(B)4 (C)4(D)2【考查點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式?！?/p>

18、解析】由玄2玄4=1 可得24ai q 1a12因此q2,又因?yàn)镾3a1(1 q q) 7,聯(lián)力兩式有4 (1 i)311 1(3)(-2)0丄S21丄4qq，所以q=2 ,所以23.(遼寧卷)(14)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S33,S624，則a915S.3a13 2d3a11?i解：2,解得a9 a1 8d 156 5d 2S66a1d24213數(shù)列知識(shí)點(diǎn)梳理及經(jīng)典習(xí)題出題人：李老師4.（天津卷）（15）設(shè)an是等比數(shù)列，公比 q 2 , S為an的前n項(xiàng)和。記17Sn San 1Tn0為數(shù)列Tn的最大項(xiàng)，貝U山=【解析】本題主要考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)及平均值不等式的

19、應(yīng)用,屬于中等題。Tn17a( C.2)n q1 (、2)2n_1?(V2)2n 17(T2)n 161 2 (,2)n1 ,2 1 .2ai(2)n1 1 2?心)n16(2)n17（、.2）n因?yàn)?6（2）n仝8，當(dāng)且僅當(dāng)（習(xí)=4,即n=4時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)no=4時(shí)Tn有最大值。5.（上海卷）已知數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn且 Sn n 5a n 85(1)證明:an1是等比數(shù)列;求數(shù)列Sn的通項(xiàng)公式，并求出使得 Sn 1Sn成立的最小正整數(shù)解析：（1）又a1 1當(dāng)n 1時(shí)，a115工0,所以數(shù)列an14；當(dāng) nA2 時(shí)，a1是等比數(shù)列；S1 Sn 15 an 5 an 1所以an5(an1 1)6 ,an由（1）知：15an15，得n 15 S,6 ，從而7590(nN*);n5由S 1S，得62n log6 2514.9最小正整數(shù)n 15.【其他考點(diǎn)題】1、設(shè) an ( n N*)是等差數(shù)列，S是其前n項(xiàng)的和，且S S6, S6S7S8，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（C)17A.dv 0C.Se SbD.S與S均為Sn的最大值B. a7= 0解析：由 S5Se 得 a+a2+a3+a50, 又 $=$, a1+a2+a6=a+a2+a6+a7,. a