初一數(shù)學(xué)競賽：奇偶分析

1、初一數(shù)學(xué)競賽講座：奇偶分析我們知道，全體自然數(shù)按被 2 除的余數(shù)不同可以劃分為奇數(shù)與偶數(shù)兩大類。被 2 除余 1 的屬于一類，被 2 整除的屬于另一類。前一類中的數(shù)叫做奇數(shù)，后一類中的數(shù)叫做偶數(shù)。 關(guān)于奇偶數(shù)有一些特殊性質(zhì)，比如，奇數(shù)偶數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)等。靈活、巧妙、 有意識地利用這些性質(zhì)，加上正確的分析推理，可以解決許多復(fù)雜而有趣的問題。用奇偶 數(shù)性質(zhì)解題的方法稱為奇偶分析，善于運(yùn)用奇偶分析，往往有意想不到的效果。例 1 右表中有 15 個(gè)數(shù)，選出 5 個(gè)數(shù)，使它們的和等于 30，你能做到嗎？為什么？分析與解： 如果一個(gè)一個(gè)去找、去試、去算，那就太費(fèi)事了。因?yàn)闊o論你選擇哪 5 個(gè)數(shù)，

2、它們的和總不等于 30，而且你還不敢馬上斷言這是做不到的。最簡單的方法是利用奇偶數(shù) 的性質(zhì)來解，因?yàn)槠鏀?shù)個(gè)奇數(shù)之和仍是奇數(shù)，表中 15 個(gè)數(shù)全是奇數(shù)，所以要想從中找出 5 個(gè)使它們的和為偶數(shù)，是不可能的。例 2 小華買了一本共有 96 張練習(xí)紙的練習(xí)本，并依次將它的各面編號（即由第 1 面 一直編到第 192 面）。小麗從該練習(xí)本中撕下其中 25 張紙，并將寫在它們上面的 50 個(gè)編 號相加。試問，小麗所加得的和數(shù)能否為 2000？解： 不能。由于每一張上的兩數(shù)之和都為奇數(shù)，而 25 個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故不可能為 2000。 說明：“相鄰兩個(gè)自然數(shù)的和一定是奇數(shù)”，這條性質(zhì)幾乎是顯然的，但在解

3、題過程中，能有意識地運(yùn)用它卻不容易做到，這要靠同學(xué)們多練習(xí)、多總結(jié)。例 3 有 98 個(gè)孩子，每人胸前有一個(gè)號碼，號碼從 1 到 98 各不相同。試問：能否將 這些孩子排成若干排，使每排中都有一個(gè)孩子的號碼數(shù)等于同排中其余孩子號碼數(shù)的和？ 并說明理由。解： 不能。如果可以按要求排成，每排中都有一個(gè)孩子的號碼數(shù)等于同排中其余孩子號碼數(shù)的 和，那么每一排中各號碼數(shù)之和都是某一個(gè)孩子號碼數(shù)的 2 倍，是個(gè)偶數(shù)。所以這 98 個(gè) 號碼數(shù)的總和是個(gè)偶數(shù)，但是這 98 個(gè)數(shù)的總和為1+2+98=9949，是個(gè)奇數(shù)，矛盾！所以不能按要求排成。例 4 如右圖，把圖中的圓圈任意涂上紅色或藍(lán)色。問：有無可能使得在

4、同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)？請說明理由。解： 不可能。如果每條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)，而五角星有五條邊，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，那么五條線上的紅圈共有奇數(shù)個(gè)（包括重復(fù)的）。從另一個(gè)角度看，由于每個(gè)圓圈是兩條直線的交點(diǎn)，則每個(gè)圓圈都要計(jì)算兩次，因133此，每個(gè)紅圈也都算了兩次，總個(gè)數(shù)應(yīng)為偶數(shù)，得出矛盾。所以，不可能使得在同一 條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)。說明：上述兩題都是從兩個(gè)不同的角度去分析處理同一個(gè)量，而引出矛盾的。 例 5 有 20 個(gè) 1 升的容器，分別盛有 1，2，3，20 厘米 水。允許由容器 a 向容器 b 倒進(jìn)與 b 容器內(nèi)相同的水（在 a 中的水不少于 b 中水的條件下）。問：在

5、若干次倒水 以后能否使其中 11 個(gè)容器中各有 11 厘米 的水？解： 不可能。在倒水以后，含奇數(shù)立方厘米水的容器數(shù)是不會(huì)增加的。事實(shí)上以（偶，偶）（偶， 奇）（奇，奇）來表示兩個(gè)分別盛有偶數(shù)及偶數(shù)，偶數(shù)及奇數(shù)，奇數(shù)及奇數(shù)立方厘米水的 容器。于是在題中條件限制下，在倒水后，（偶，偶）仍為（偶，偶）；而（偶，奇）會(huì) 成為（偶，奇）或（奇，偶）；（奇，奇）卻成為（偶，偶）。在任何情況下，盛奇數(shù)立 方厘米水的容器沒有多出來。因?yàn)殚_始時(shí)有 10 個(gè)容器里盛有奇數(shù)立方厘米的水，所以不會(huì)出現(xiàn)有 11 個(gè)盛有奇數(shù)立 方厘米水的容器。例 6 一個(gè)俱樂部里的成員只有兩種人：一種是老實(shí)人，永遠(yuǎn)說真話；一種是騙子，

6、永遠(yuǎn)說假話。某天俱樂部的全體成員圍坐成一圈，每個(gè)老實(shí)人兩旁都是騙子，每個(gè)騙子兩旁都是老實(shí)人。外來一位記者問俱樂部的成員張三：“俱樂部里共有多少成員？”張三答：“共有 45 人。”另一個(gè)成員李四說：“張三是老實(shí)人?！闭埮袛嗬钏氖抢蠈?shí)人還是騙子？分析與解：根據(jù)俱樂部的全體成員圍坐一圈，每個(gè)老實(shí)人兩旁都是騙子，每個(gè)騙子兩 旁都是老實(shí)人的條件，可知俱樂部中的老實(shí)人與騙子的人數(shù)相等，也就是說俱樂部的全體 成員總和是偶數(shù)。而張三說共有 45 人是奇數(shù)，這說明張三是騙子，而李四說張三是老實(shí) 人，說了假話，所以李四也是騙子。說明：解答此題的關(guān)鍵在于根據(jù)題設(shè)條件導(dǎo)出老實(shí)人與騙子的人數(shù)相等，這里實(shí)質(zhì)上 利用了對應(yīng)

7、的思想。類似的問題是：圍棋盤上有 1919 個(gè)交叉點(diǎn)，現(xiàn)在放滿了黑子與白子，且黑子與白子相間地放，并 使黑子（或白子）的上、下、左、右的交叉點(diǎn)上放著白子（或黑子）。問：能否把黑子全 移到原來的白子的位置上，而白子也全移到原來黑子的位置上？提示：仿例 6。答：不能。例 7 某市五年級 99 名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽，競賽題共 30 道，評分標(biāo)準(zhǔn)是基礎(chǔ)分 15 分， 答對一道加 5 分，不答記 1 分，答錯(cuò)一道倒扣 1 分。問：所有參賽同學(xué)得分總和是奇數(shù)還 是偶數(shù)？解：對每個(gè)參賽同學(xué)來說，每題都答對共可得 165 分，是奇數(shù)。如答錯(cuò)一題，就要從 165 分中減去 6 分，不管錯(cuò)幾道，6 的倍數(shù)都是偶數(shù)，

8、165 減去偶數(shù)，差還是奇數(shù)。同樣 道理，如有一題不答，就要減去 4 分，并且不管有幾道題不答，4 的倍數(shù)都是偶數(shù)，因此， 從總分中減去的仍是偶數(shù)，所以每個(gè)同學(xué)的得分為奇數(shù)。而奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和仍為奇數(shù)，故 99 名同學(xué)得分總和一定是奇數(shù)。例 8 現(xiàn)有足夠多的蘋果、梨、桔子三種水果，最少要分成多少堆（每堆都有蘋果、 梨和桔子三種水果），才能保證找得到這樣的兩堆，把這兩堆合并后這三種水果的個(gè)數(shù)都是偶數(shù)。分析與解： 當(dāng)每堆都含有三種水果時(shí)，三種水果的奇偶情況如下表：2蘋 果桔 子梨奇奇奇奇偶偶奇偶奇奇奇偶偶偶偶偶奇奇偶偶奇偶奇偶可見，三種水果的奇偶情況共有 8 種可能，所以必須最少分成 9 堆，才能保

9、證有兩堆 的三種水果的奇偶性完全相同，把這兩堆合并后這三種水果的個(gè)數(shù)都是偶數(shù)。說明：這里把分堆后三種水果的奇偶情況一一列舉出來，使問題一目了然。例 9 有 30 枚 2 分硬幣和 8 枚 5 分硬幣，5 角以內(nèi)共有 49 種不同的幣值，哪幾種幣值 不能由上面 38 枚硬幣組成？解： 當(dāng)幣值為偶數(shù)時(shí)，可以用若干枚 2 分硬幣組成；當(dāng)幣值為奇數(shù)時(shí)，除 1 分和 3 分這兩種幣值外，其余的都可以用 1 枚 5 分和若干枚 2 分硬幣組成，所以 5 角以下的不同幣值，只有 1 分和 3 分這兩種幣值不能由題目給出的硬 幣組成。說明：將全體整數(shù)分為奇數(shù)與偶數(shù)兩類，分而治之，逐一討論，是解決整數(shù)問題的常

10、用方法。若偶數(shù)用 2k 表示，奇數(shù)用 2k+1 表示，則上述討論可用數(shù)學(xué)式子更為直觀地表示如下： 當(dāng)幣值為偶數(shù)時(shí)，2k 說明可用若干枚 2 分硬幣表示；當(dāng)幣值為奇數(shù)時(shí)，2k+1=2（k-2）+5，其中 k2。當(dāng) k=0，1 時(shí)，2k+1=1，3。1 分和 3 分硬幣不能由 2 分和 5 分硬幣組成， 而其他幣值均可由 2 分和 5 分硬幣組成。例 10 設(shè)標(biāo)有 a，b，c，d，e，f，g 的 7 盞燈順次排成一行，每盞燈安裝一個(gè)開關(guān)。 現(xiàn)在 a，c，d，g 這 4 盞燈亮著，其余 3 盞燈沒亮。小華從燈 a 開始順次拉動(dòng)開關(guān)，即從 a 到 g，再從 a 開始順次拉動(dòng)開關(guān)，他這樣拉動(dòng)了 999

11、次開關(guān)后，哪些燈亮著，哪些燈沒 亮？解：一盞燈的開關(guān)被拉動(dòng)奇數(shù)次后，將改變原來的狀態(tài)，即亮的變成熄的，熄的變成 亮的；而一盞燈的開關(guān)被拉動(dòng)偶數(shù)次后，不改變原來的狀態(tài)。由于 999=7142+5，因此，燈 a，b，c，d，e 各被拉動(dòng) 143 次開關(guān)，燈 f，g 各被拉動(dòng) 142 次開關(guān)。所以， 當(dāng)小華拉動(dòng) 999 次后 b，e，g 亮，而 a，c，d，f 熄。例 11 桌上放有 77 枚正面朝下的硬幣，第 1 次翻動(dòng) 77 枚，第 2 次翻動(dòng)其中的 76 枚， 第 3 次翻動(dòng)其中的 75 枚第 77 次翻動(dòng)其中的 1 枚。按這樣的方法翻動(dòng)硬幣，能否使桌 上所有的 77 枚硬幣都正面朝上？說明你

12、的理由。分析：對每一枚硬幣來說，只要翻動(dòng)奇數(shù)次，就可使原先朝下的一面朝上。這一事實(shí)， 對我們解決這個(gè)問題起著關(guān)鍵性作用。解：按規(guī)定的翻動(dòng)，共翻動(dòng) 1+2+77=7739 次，平均每枚硬幣翻動(dòng)了 39 次，這是 奇數(shù)。因此，對每一枚硬幣來說，都可以使原先朝下的一面翻朝上。注意到：7739=77+（76+1）+（75+2）+（39+38），根據(jù)規(guī)定，可以設(shè)計(jì)如下的翻動(dòng)方法：第 1 次翻動(dòng) 77 枚，可以將每枚硬幣都翻動(dòng)一次；第 2 次與第 77 次共翻動(dòng) 77 枚，又 可將每枚硬幣都翻動(dòng)一次；同理，第 3 次與第 76 次，第 4 次與第 75 次第 39 次與第 40 次都可將每枚硬幣各翻動(dòng)一次

13、。這樣每枚硬幣都翻動(dòng)了 39 次，都由正面朝下變?yōu)檎?朝上。說明：（1）此題也可從簡單情形入手（如 9 枚硬幣的情形），按規(guī)定的翻法翻動(dòng)硬 幣，從中獲得啟發(fā)。（2）對有關(guān)正、反，開、關(guān)等實(shí)際問題通?？苫癁橛闷媾紨?shù)關(guān)系討論。31 2641 1 2 2 3 432 63 641 1 2 2 3 416 31 32例 12 在 88 的棋盤的左下角放有 9 枚棋子，組成一個(gè) 33 的正方形（如左下圖）。 規(guī)定每枚棋子可以跳過它身邊的另一枚棋子到一個(gè)空著的方格，即可以以它旁邊的棋子為 中心作對稱運(yùn)動(dòng)，可以橫跳、豎跳或沿著斜線跳（如右下圖的 1 號棋子可以跳到 2，3，4 號位置）。問：這些棋子能否跳

14、到棋盤的右上角（另一個(gè) 33 的正方形）？解：自左下角起，每一個(gè)方格可以用一組數(shù)（行標(biāo)、列標(biāo)）來表示，（自下而上）第 i 行、（自左而右）第 j 列的方格記為（i，j）。問題的關(guān)鍵是考慮 9 枚棋子（所在方格） 的列標(biāo)的和 s。一方面，每跳一次，s 增加 0 或偶數(shù)，因而 s 的奇偶性不變。另一方面，右上角 9 個(gè) 方格的列標(biāo)的和比左下角 9 個(gè)方格的列標(biāo)之和大3（6+7+8）-3（1+2+3）=45，這是一個(gè)奇數(shù)。綜合以上兩方面可知 9 枚棋子不能跳至右上角的那個(gè) 33 的正方形里。奇偶分析作為一種分析問題、處理問題的方法，在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，是處理存在 性問題的有力工具，本講所舉例題大多

15、屬于這類問題。這種方法具有很強(qiáng)的技巧性，尤其 是選擇什么量進(jìn)行奇偶分析往往是很困難的。選準(zhǔn)了，只須依據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)，分析這個(gè) 量的奇偶特征，問題便迎刃而解；選不好，事倍功半。同學(xué)們應(yīng)認(rèn)真領(lǐng)會(huì)本講所舉例題， 以把握選擇合適的量進(jìn)行奇偶分析的技巧。練習(xí) 31下列每個(gè)算式中，最少有一個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)，那么這 12 個(gè)整數(shù)中，至少有幾個(gè) 偶數(shù)？+= -= =2 任意取出 1234 個(gè)連續(xù)自然數(shù)，它們的總和是奇數(shù)還是偶數(shù)？3 一串?dāng)?shù)排成一行，它們的規(guī)律是：前兩個(gè)數(shù)都是 1，從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù) 都是前兩個(gè)數(shù)的和。如右所示：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，試問：這串?dāng)?shù)的前 100 個(gè)數(shù)

16、（包括第 100 個(gè)數(shù)）中，有多少個(gè)偶數(shù)？4 能不能將 1010 寫成 10 個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和？如果能，把它寫出來；如果不能，說 明理由。5 能否將 1 至 25 這 25 個(gè)自然數(shù)分成若干組，使得每一組中的最大數(shù)都等于組內(nèi)其 余各數(shù)的和？6 在象棋比賽中，勝者得 1 分，敗者扣 1 分，若為平局，則雙方各得 0 分。今有若 干個(gè)學(xué)生進(jìn)行比賽，每兩人都賽一局?，F(xiàn)知，其中有一位學(xué)生共得 7 分，另一位學(xué)生共得 20 分，試說明，在比賽過程中至少有過一次平局。7 在黑板上寫上 1，2，909，只要黑板上還有兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)就擦去其中 的任意兩個(gè)數(shù) a，b，并寫上 a-b（其中 ab）。問：最后黑

17、板上剩下的是奇數(shù)還是偶數(shù)？8 設(shè) a ，a ，a 是自然數(shù) 1，2，64 的任一排列，令 b =a -a ，b =a -a ， b =a -a ；c =b -b ，c =b -b ，c =b -b ；41 1 23 415 16a63 a641 2 3 4a63 a641 2 3 4a61 a62 a63 a641 2 3 4a61 a62 a63 a641 2 3 4a61 a62 a63 a641 2 3 41 2 a63 a64a641 2d =c -c ，d2=c -c ，d8=c -c ；這樣一直做下去，最后得到的一個(gè)整數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？練習(xí) 3 答案：1 至少有 6 個(gè)偶數(shù)。2 奇

18、數(shù)。解：12342=617，所以在任取的 1234 個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)是奇 數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)，所以它們的總和是奇數(shù)。3 33。提示：這串?dāng)?shù)排列的規(guī)律是以“奇奇偶”循環(huán)。4 不能。如果 1010 能表示成 10 個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和，那么中間 2 個(gè)數(shù)的和應(yīng)當(dāng)是 10105=202。 但中間 2 個(gè)數(shù)是連續(xù)自然數(shù)，它們的和應(yīng)是奇數(shù)，不能等于偶數(shù) 202。所以，1010 不能 寫成 10 個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和。5 不能。提示：仿例 3。6 證：設(shè)得 7 分的學(xué)生勝了 x1 局，敗了 y1 局，得 20 分的學(xué)生勝了 x2 局，敗了 y2 局。由得分情況知：x1-y1=7，x 2-y220。如果比賽過程中無平局出現(xiàn)，那么由每人比賽的場次相同可得 x1+y1=x2+y2 ，即 x1+y1+x2+y2 是偶數(shù)。另一方面，由 x1-y1=7 知 x1+y2 為奇數(shù)，由 x2-y2=20 知 x2+y2 為偶數(shù)， 推知 x1+y1+x2+y2 為奇數(shù)。這便出現(xiàn)矛盾，所以比賽過程中至少有一次平局。7 奇數(shù)。解：黑板上所有數(shù)的和 s1+2+909 是一個(gè)奇數(shù)，每操作一次，總和 s 減少了 a+b-（a-b）=2b，這是一個(gè)偶數(shù)，說明總和 s 的奇偶性不變。由于開始時(shí) s 是奇數(shù)， 因此終止時(shí) s 仍是一個(gè)奇數(shù)。8 偶數(shù)。解：我們知