全國初中數(shù)學競賽試題及答案(2001年)[1]

1、2001 年全國初中數(shù)學聯(lián)賽 一、選擇題（每小題 7 分，共 42 分） 1、a，b，c 為有理數(shù)，且等式成立，則62532cba 2a+999b+1001c 的值是（ ） （a） 1999（b）2000（c）2001（d）不能確定 2、若，且有 5a2+2001a+9=0 及，則的值是（ 1ab0520019 2 bb b a ） （a）（b）（c）（d） 5 9 9 5 5 2001 9 2001 3、已知在abc 中，acb=900，abc=150，bc=1，則 ac 的長為（ ） （a）（b）（c）（d）32 32 3023 4、如圖，在abc 中，d 是邊 ac 上的一點，下面四種情

2、況中， abdacb 不一定成立的情況是（ ） （a） （b）bdabbcadacadab 2 （c）abd=acb （d）bdacbcab 5、在實數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程的根為；0 2 cbxax a acbb x 2 4 2 在abc 中，若，則abc 是銳角三角形；在abc 和 222 abbcac 中，a，b，c 分別為abc 的三邊，分別為的三邊，若 111 cba 111 ,cba 111 cba ，則abc 的面積 s 大于的面積。以上三個命題中， 111 ,ccbbaa 111 cba 1 s 假命題的個數(shù)是（ ） （a）0（b）1（c）2（d）3 6、某商場對顧客實行優(yōu)惠，規(guī)

3、定：如一次購物不超過 200 元，則不予折 扣；如一次購物超過 200 元但不超過 500 元的，按標價給予九折優(yōu)惠；如 一次購物超過 500 元的，其中 500 元按第條給予優(yōu)惠，超過 500 元的部分則 給予八折優(yōu)惠。某人兩次去購物，分別付款 168 元和 423 元；如果他只去一次 購物同樣的商品，則應(yīng)付款是（ ） （a）522.8 元（b）510.4 元（c）560.4 元（d）472.8 二、填空題（每小題 7 分，共 28 分） 1、已知點 p 在直角坐標系中的坐標為（0，1） ，o 為坐標原點， qpo=1500，且 p 到 q 的距離為 2，則 q 的坐標為 。 2、已知半徑分

4、別為 1 和 2 的兩個圓外切于點 p，則點 p 到兩圓外公切線的 距離為 。 3、已知是正整數(shù)，并且，則= yx,120,23 22 xyxyxxy y22 yx 。 4、一個正整數(shù)，若分別加上 100 和 168，則可得到兩個完全平方數(shù)，這個 正整數(shù)為 。 三、解答題（共 70 分） 1、在直角坐標系中有三點 a（0，1） ，b（1，3） ，c（2，6） ；已知直線 上橫坐標為 0、1、2 的點分別為 d、e、f。試求的值使得baxyba, ad2+be2+cf2達到最大值。 （20 分） （1） 證明：若 取任意整數(shù)時，二次函數(shù)總?cè)≌麛?shù)值，那么xcbxaxy 2 都是整數(shù)；cbaa,2

5、（2）寫出上述命題的逆命題，并判斷真假，且證明你的結(jié)論。 （25 分） 3、如圖，d，e 是abc 邊 bc 上的兩點，f 是 bc 延長線上的一點， dae=caf。 （1）判斷abd 的外接圓與aec 的外接圓的位置關(guān)系，并證 明你的結(jié)論；（2）若abd 的外接圓的半徑的 2 倍，bc=6，ab=4，求 be 的 長。 解答題： 1、如圖，efgh 是正方形 abcd 的內(nèi)接四邊形，兩條對角線 eg 和 fh 所 夾的銳 角為，且beg 與cfh 都是銳角。已知 eg=k，fh= ，四邊形 efgh 的面l 積為 s。 （1）求證：sin=； kl s2 （2）試用來表示正方形的面積。slk , 2、求所有的正整數(shù) a，b，c，使得關(guān)于 x 的方程，023 2 baxx b b 楃楃d d a a b bc c d d e e f f g g h h o o ， 023 2 cbxx 的所有的根都是正整數(shù)。023 2 acxx 3、在銳角abc 中，adbc，d 為垂足，deac，e 為垂足， dfab，f 為垂足。o 為abc 的外心。 求證：（1）aefabc； （2）aoef 4、如圖，在四邊形 abcd 中，ac 與 bd 交于點