求解共點(diǎn)力平衡問題的八種方法

1、2求解共點(diǎn)力平衡問題的八種方法一、分解法一個(gè)物體在三個(gè)共點(diǎn)力作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)，將其中任意一個(gè)力沿其他兩個(gè)力的反方 向分解，這樣把三力平衡問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)方向上的二力平衡問題，則每個(gè)方向上的一對(duì)力大 小相等。二、合成法對(duì)于三力平衡時(shí)，將三個(gè)力中的任意兩個(gè)力合成為一個(gè)力，則其合力與第三個(gè)力平衡， 把三力平衡轉(zhuǎn)化為二力平衡問題。例 1 如圖 1 所示，重物的質(zhì)量為 m，輕細(xì)繩 ao 和 bo 的 a 端、b 端是固定的，平衡時(shí) ao 是水平的，bo 與水平面的夾角為 ，ao 的拉力 f 和 bo 的拉力 f 的大小是( )1 2圖 1af mgcos 1bf mgcot 1cf mgsin 2df

2、 mg/sin 2解析 解法一(分解法)用效果分解法求解。f 共產(chǎn)生兩個(gè)效果：一個(gè)是水平方向沿 ao 拉繩子 ao，另一個(gè)2是拉著豎直方向的繩子。如圖 2 甲所示，將 f 分解在這兩個(gè)方向上，結(jié)合力的平衡等知識(shí)2f mg解得 f f mgcot ，f 。顯然，也可以按 mg(或 f )產(chǎn)生的效果分解 mg(或 1 2 2 sin sin 1f )來求解此題。1圖 2解法二(合成法)由平行四邊形定則，作出 f 、f 的合力 f ，如圖乙所示。又考慮到 f mg，解直角1 2 12 12三角形得 f mgcot ，f mg/sin ，故選項(xiàng) b、d 正確。1 2- 1 -答案 bd三、正交分解法物

3、體受到三個(gè)或三個(gè)以上力的作用處于平衡狀態(tài)時(shí)，常用正交分解法列平衡方程求解： f 0，f 0。為方便計(jì)算，建立坐標(biāo)系時(shí)以使盡可能多的力落在坐標(biāo)軸上為原則。x 合 y 合例 2 如圖 3 所示，用與水平成 角的推力 f 作用在物塊上，隨著 逐漸減小直到水平的過程中，物塊始終沿水平面做勻速直線運(yùn)動(dòng)。關(guān)于物塊受到的外力，下列判斷正確的是( )圖 3a 推力 f 先增大后減小b 推力 f 一直減小c 物塊受到的摩擦力先減小后增大d 物塊受到的摩擦力一直不變解析 對(duì)物體受力分析，建立如圖 4 所示的坐標(biāo)系。圖 4由平衡條件得 fcos f 0ff (mgfsin )0 n又 f ffnmg聯(lián)立可得 fco

4、s sin 可見，當(dāng) 減小時(shí)，f 一直減小，故選項(xiàng) b 正確。答案 b四、整體法和隔離法若一個(gè)系統(tǒng)中涉及兩個(gè)或者兩個(gè)以上物體的平衡問題，在選取研究對(duì)象時(shí)，要靈活運(yùn)用 整體法和隔離法。對(duì)于多物體問題，如果不求物體間的相互作用力，優(yōu)先采用整體法，這樣 涉及的研究對(duì)象少，未知量少，方程少，求解簡便；很多情況下，通常采用整體法和隔離法- 2 -相結(jié)合的方法。例 3(多選)如圖 5 所示，放置在水平地面上的質(zhì)量為 m 的直角劈上有一個(gè)質(zhì)量為 m的物體，若物體在直角劈上勻速下滑，直角劈仍保持靜止，那么下列說法正確的是( )圖 5a 直角劈對(duì)地面的壓力等于(mm)gb 直角劈對(duì)地面的壓力大于(mm)gc 地

5、面對(duì)直角劈沒有摩擦力d 地面對(duì)直角劈有向左的摩擦力解析 方法一：隔離法先隔離物體，物體受重力 mg、斜面對(duì)它的支持力 f 、沿斜面向上的摩擦力 f ，因物體n f沿斜面勻速下滑，所以支持力 f 和沿斜面向上的摩擦力 f 可根據(jù)平衡條件求出。再隔離直n f角劈，直角劈受豎直向下的重力 mg、地面對(duì)它豎直向上的支持力 f ，由牛頓第三定律得，n 地物體對(duì)直角劈有垂直斜面向下的壓力 f 和沿斜面向下的摩擦力 f ，直角劈相對(duì)地面有n f沒有運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，關(guān)鍵看 f 和 f 在水平方向上的分量是否相等，若二者相等，則直角劈f n相對(duì)地面無運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，若二者不相等，則直角劈相對(duì)地面有運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，而摩擦力方向應(yīng)根

6、據(jù) 具體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的方向確定。對(duì)物體進(jìn)行受力分析，建立坐標(biāo)系如圖 6 甲所示，因物體沿斜面勻速下滑，由平衡條件 得：支持力 f mgcos ，摩擦力 f mgsin 。n f圖 6對(duì)直角劈進(jìn)行受力分析，建立坐標(biāo)系如圖乙所示，由牛頓第三定律得 f f ，f n n ff ，在水平方向上，壓力 f 的水平分量 f sin mgcos sin ，摩擦力 f 的水平分 f n n f量 f cos mgsin cos ，可見 f cos f sin ，所以直角劈相對(duì)地面沒有運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)， f f n所以地面對(duì)直角劈沒有摩擦力。在豎直方向上，直角劈受力平衡，由平衡條件得：f f sin f cos mg

7、n 地 f nmgmg。方法二：整體法直角劈對(duì)地面的壓力和地面對(duì)直角劈的支持力是一對(duì)作用力和反作用力，大小相等、方- 3 -向相反。而地面對(duì)直角劈的支持力、地面對(duì)直角劈的摩擦力是直角劈和物體整體的外力，所 以要討論這兩個(gè)問題，可以以整體為研究對(duì)象。整體在豎直方向上受到重力和支持力，因物 體在斜面上勻速下滑、直角劈靜止不動(dòng)，即整體處于平衡狀態(tài)，所以豎直方向上地面對(duì)直角 劈的支持力等于物體和直角劈整體的重力。水平方向上地面若對(duì)直角劈有摩擦力，無論摩擦 力的方向向左還是向右，水平方向上整體都不能處于平衡狀態(tài)，所以整體在水平方向上不受 摩擦力，整體受力如圖丙所示。答案 ac五、三力匯交原理物體受三個(gè)共

8、面非平行力作用而平衡時(shí)，這三個(gè)力必為共點(diǎn)力。例 4 一根長 2 m，重為 g 的不均勻直棒 ab，用兩根細(xì)繩水平懸掛在天花板上，當(dāng)棒平衡時(shí)細(xì)繩與水平面的夾角如圖 7 所示，則關(guān)于直棒重心 c 的位置下列說法正確的是( )圖 7a距離 b 端 0.5 m 處 b距離 b 端 0.75 m 處c 距離 b 端d 距離 b 端3233m 處m 處解析 當(dāng)一個(gè)物體受三個(gè)力作用而處于平衡狀態(tài)，如果其中兩個(gè)力的作用線相交于一點(diǎn)，則第三個(gè)力的作用線必通過前兩個(gè)力作用線的相交點(diǎn)，把o a 和 o b 延長相交于 o 點(diǎn)，1 21則重心 c 一定在過 o 點(diǎn)的豎直線上，如圖 8 所示。由幾何知識(shí)可知：bo ab

9、1 m，bc21 bo0.5 m，故重心應(yīng)在距 b 端 0.5 m 處。a 項(xiàng)正確。2圖 8答案 a六、正弦定理法三力平衡時(shí)，三力合力為零。三個(gè)力可構(gòu)成一個(gè)封閉三角形，如圖 9 所示。- 4 -1 2 3b圖 9則有：f f f 。 sin sin sin 例 5 一盞電燈重力為 g，懸于天花板上 a 點(diǎn)，在電線 o 處系一細(xì)線 ob，使電線 oa與豎直方向的夾角為 30，如圖 10 所示?，F(xiàn)保持 角不變，緩慢調(diào)整 ob 方向至 ob 線 上拉力最小為止，此時(shí) ob 與水平方向的夾角 等于多少？最小拉力是多少？圖 10解析 對(duì)電燈受力分析如圖 11 所示，據(jù)三力平衡特點(diǎn)可知：oa、ob 對(duì) o

10、 點(diǎn)的作用 力 t 、t 的合力 t 與 g 等大反向，即 tga b圖 11在t 中，tot 90b b又ott toa，b故ot t180(90)90 bt t由正弦定理得 sin sin(90)聯(lián)立解得 t bgsin cos ()因 不變，故當(dāng) 30時(shí)，t 最小，且 t gsin g/2。b b答案 30g2七、相似三角形法物體受到三個(gè)共點(diǎn)力的作用而處于平衡狀態(tài)，畫出其中任意兩個(gè)力的合力與第三個(gè)力等 值反向的平行四邊形中，可能有力三角形與題設(shè)圖中的幾何三角形相似，進(jìn)而得到力的三角 形與幾何三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，根據(jù)比值便可計(jì)算出未知力的大小與方向。例 6 如圖 12 所示是固定在水平面上

11、的光滑半球，球心 o的正上方固定一小定滑輪，- 5 -1n細(xì)線一端拴一小球 a，另一端繞過定滑輪。今將小球從如圖所示的初位置緩慢地拉至 b 點(diǎn)。 在小球到達(dá) b 點(diǎn)前的過程中，半球?qū)π∏虻闹С至?f 及細(xì)線的拉力 f 的大小變化情況是n 1( )af 變大，f 變小n 1cf 不變，f 變小n 1圖 12bf 變小，f 變大 n 1df 變大，f 變大 n 1解析 由于三力 f 如圖 13 所示，、f 與 g 首尾相接構(gòu)成的矢量三角形與幾何三角形 aoo相似， 1 n圖 13f oa f r所以有 ， ，g oo g oooa所以 f g ，1 oorf g ，n oo由題意知當(dāng)小球緩慢上移時(shí)

12、，oa 減小，oo不變，r 不變，故 f 減小，f 不變，故1 nc 對(duì)。答案 c八、圖解法1圖解法對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，再根據(jù)平行四邊形定則或三角形定則畫出不同狀態(tài)下力的矢 量圖(畫在同一個(gè)圖中)，然后根據(jù)有向線段(表示力)的長度變化情況判斷各個(gè)力的變化情況。2圖解法主要用來解決三力作用下的動(dòng)態(tài)平衡問題所謂動(dòng)態(tài)平衡問題就是通過控制某一物理量，使物體的狀態(tài)發(fā)生緩慢變化。從宏觀上看， 物體是運(yùn)動(dòng)的，但從微觀上理解，物體是平衡的，即任一時(shí)刻物體均處于平衡狀態(tài)。3利用圖解法解題的條件是(1)物體受三個(gè)力的作用而處于平衡狀態(tài)。- 6 -(2)一個(gè)力不變，另一個(gè)力的方向不變或大小不變，第三個(gè)力的大小、方向均變化。例 7 如圖 14 所示，一個(gè)重為 g 的勻質(zhì)球放在光滑斜面上，斜面傾角為 ，在斜面上有一光滑的不計(jì)厚度的木板擋住球，使之處于靜止?fàn)顟B(tài)，今使板與斜面的夾角 緩慢增大， 問：在此過程中，球?qū)醢搴颓驅(qū)π泵娴膲毫Υ笮∪绾巫兓?？圖