（推薦）直線與點及兩直線的相對位置

1、, 若點在直線上, 則點的投影必在直線的同面投影上。即具有從屬性。 若點在直線上，則點將線段的同面投影分割成與空間直線相同的比例。即具有定比性： AC/CB=ac/cb= ac / cb,若點的投影有一個不在直線的同名投影上， 則該點必不在此直線上。,判別方法：,V,H,3.2.點與直線的相對位置,在,不在,判斷點K是否在線段AB上？,a,b,因k不在a b上， 故點K不在AB上。,應(yīng)用定比定理,另一判斷法是,因ak:kb ak:kb 故點K不在AB上。,3.3.1 兩直線平行,投影特性：,空間兩直線平行，則其各同面投影必相互平行，反之亦然。,3.3兩直線的相對位置,空間兩直線的相對位置分為：

2、平行、相交、交叉。,判斷圖中兩條直線是否平行。,對于一般位置直線，只要有兩個同名投影互相平行，空間兩直線就平行。,結(jié)論：AB/CD,b,d,c,a,對于投影面平行線，只有兩個同面投影互相平行，空間直線不一定平行。若用兩個投影判斷，其中應(yīng)包括反映實長的投影。,結(jié)論:AB與CD不平行,判斷圖中兩條直線是否平行。,求出側(cè)面投影,如何判斷,3.3.2 兩直線相交,判別方法：若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律。,交點是兩直線的共有點,過C點作水平線CD與AB相交。,先作正面投影,1(2 ),3(4 ),3.3.3 兩直線交叉, 同名投影可能相交，但 “交點”不符合

3、空間一個點的投影規(guī)律。, “交點”是兩直線上的一 對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。,1、2 是面的重影點， 3、4是H面的重影點。,AB與CD兩直線相交嗎,投影特性：,結(jié)論：AB與CD兩直線不相交,3. 當(dāng)兩直線中有一直線平行于某投影面時， 如果夾角是直角，則它在該投影面上的投影仍然 是直角。-直角投影定理,兩直線的夾角，其投影有下列三種情況：,1. 當(dāng)兩直線都平行于某投影面時，其夾角在該投 影面上的投影反映實形。,2. 當(dāng)兩直線都不平行于某投影面時，其夾角在該 投影面上的投影一般不反映實形。,3.4 直角投影定理,若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面上的投影仍為直角。,設(shè)

4、直角邊BC/H面 因BCAB, 同時BCBb 所以BCABba平面,結(jié)論:直線在H面上的投影互相垂直,即abc為直角,因此 bcab,故bc ABba平面,又因BCbc,證明：,a,b,c,a,b,c,例4：過C點作直線與AB垂直相交。,AB為正平線, 正面 投影反映直角。,2.求作AB、CD交叉線的公垂線。,a,b,c,d,ab,c,d,s,s,空間分析：,1）因為AB為正垂線， 所以SN必為正平線。,2） 由于SN為正平線，根據(jù) 直角投影定理則SNCD 必有sncd,n,n,直角投影定理-(解題演示),直角投影定理-(解題演示),3.已知矩形ABCD的頂點C在直線EF上， 試補全此矩形的投

5、影。,a,e,b,f,a,b,f,c,d,e,c,d,分析：,作圖步驟： 過b作直線與ab垂直，并交ef于c； 用幾何作圖法作平行四邊形，補全矩形 ABCD的兩面投影。,投影特點： AB為正平線， 則 ab bc。 矩形對邊平行， 則投影仍然平行。,14,方法是：以線段在某一投影面上的投影長為一直角邊，兩端點與這個投影面的距離差為另一直角邊形成的直角三角形。其斜邊是線段的實長，斜邊與投影長的夾角就是該直線與這個投影面的傾角。,b,a,b,a,b,a,在正面投影上求線段實長與傾角,在水平投影上求線段實長與傾角,在側(cè)面投影上求線段實長與傾角,實長,實長,實長,3.5 直角三角形法,Bo,直角三角形

6、求線段實長及其與投影面的傾角中的三個三角形,設(shè)所求線段為AB 在三個直角三角形中，斜邊為線段實長；一個直角邊為某投影長，該投影與斜 邊的夾角為該直線與投影面的夾角；夾角所對的邊為線段兩端點相應(yīng)的坐標(biāo)差。,AB線段實長,ZAB,ab的長,AB線段實長,XAB,a b 的長,AB線段實長,YAB,a b 的長,例1 已知線段的實長AB，求它的水平投影。,a,根據(jù)已知條件，要求得ab，其方法一是求得A、B兩點的Y坐標(biāo)差(YAB ) ；方法二是求得ab的長。 此題有兩解(多解 時一般只畫一解）,b,x,a,o,b,方法二 已知線段的實長AB，求它的水平投影。,a,此題有兩解,b,x,a,o,b,解法二

7、,方法三：求出ab的長,b,x,a,o,b,x,a,b,B,a,ZAB,1,2,以AB兩點的Z坐標(biāo)差為 一直角邊的直角三角形 中，另一直角邊為AB水 平投影ab的長。 即：12=ab,19,ZAB,例2 已知直線AB的=30 求作AB的正面投影。,o,x,a,b,a,b,ZAB,30,1.分析 要求得ab，其實 就是求b；要求得b 也就是想辦法找到A、 B兩點的Z坐標(biāo)差或者 求出ab的長。,B0,2.作圖 1）作abB0,使= 30 A的對邊為ZAB 2）過a作直線平行于 Ox軸，與過b而垂直于 ox軸的直線交于一點b0 3）以b0為圓心以ZAB為 半徑畫圓弧，交bb0的延 長線于點b 4）用直線連接ab 即為所求。,b0,20,o,x,a,a,b,k,b,c,d,6,8,2,0,d,c,6,8,2,0,k,例3 已知CDAB=K，CDH， 求CD的正面投影。,求k同前。 由于CDH所以 cdox軸。,直角投影定理-(解題演示),1.求A點到CD的真實距離。,a,c,d,c,