流體力學習題及答案 第四章

1、第四章流體動力學基本定理及其應用4-1歐拉運動微分方程和伯努利方程的前提條件是什么，其中每一項代表什么意義?答：(1)歐拉運動微分方程是牛頓第二定律在理想流體中的具體應用，其矢量表達式為:遷移其物理意義為：從左至右，方程每一項分別表示單位質量理想流體的局部慣性力、 慣性力、質量力和壓力表面力。(2) 伯努利方程的應用前提條件是：理想流體的定常運動，質量力有勢，正壓流體，沿流線積分。單位質量理想流體的伯努利方程的表達式為:2呂坪f，從左至右方程每項分別表示單位質量理想流體的動能、壓力能和位能，方程右端常數(shù)稱流線常數(shù)，因此方 程表示沿流線流體質點的機械能守恒。4-2設進入汽化器的空氣體積流量為Q

2、= 0.15m3 / S,進氣管最狹窄斷面直徑D=40mm，噴油嘴直徑d=10mm。試確定汽化器的真空度。又若噴油嘴內徑d=6mm，汽油液面距噴油嘴 高度為50cm，試計算噴油量。汽油的重度 丫 =7355N/m3。答：(1)求A點處空氣的速度:設進氣管最狹窄處的空氣速度為 vi，壓力為pi，則根據(jù)流管的連續(xù)方程可以得到:丄兀（D2 -d2 Vi =Q，44Q因此：V1 Jd2-d2 ）。(2 )求真空度pv選一條流線，流線上一點在無窮遠處F，點為A點；并且:在 F 點：Pf = Po，Vf = 0 ；在 A 點：Pa = P1 =?， Va 二。將以上述條件代入到伯努利方程中，可以得到:2早

3、+0七因此真空度為:Pv = Po p14Q272弓冷利(D2d2)8PQ22 JI(Dd2)若取空氣的密度為P= 1.226kg/m3，那么計算得到:PvU2262J3.1421 = 9.95% 103 Pa。(0.042 -0.012 )(3)求噴油量:設噴油嘴處汽油的速度為v2，并設空氣的密度為 P1，重度為丫1，汽油的重度為丫2。選一條流線，流線上一點為上述的A點，另一點為汽油液面上的 B點；并且:在 A 點：Pa = P1 = Po一1 M , va = v2 = ?， Za = h = 50cm = 0.5m ；在 B 點：Pb = Po， v B=0，Zb = 0 ；代入到伯努利

4、方程中，可以得到:樸。冷時氏2節(jié)計0 ； 整理得到:7vf =-V12 2gh ；2因此汽油噴出速度為:其中空氣重度丫1 = Hg =1.226X9.81 =12N/m3 ； w =.鏟 2 、，并注意到噴油嘴的兀(D -d )直徑是6mm，而不是原來的10mm，則計算得到:216X0.15=3.817m/s因此汽油流量為:12124 33Q2 =兀 d2V2 =天3.14%0.0062 3.817 = 1.079勺0 m3/s = 107.9cm3/s。 444-3如圖所示，水流流入 U形彎管的體積流量Q=0.01m3/s，彎管截面由S1 =50cm2減小到S2 =10cm2,流速vi和V2

5、均勻，若S2截面上的壓力為一個工程大氣壓，求水流對彎管的作用力及作用點的位置。P = 1000kg/m3。答：(1)求截面Si和S2上的流速Vi和V2 :由連續(xù)方程可知:0.01m3/sQV1 =云=50咒1052= 2m/s，v2 =3Q 0.01m /sS2 _10冥 10f2 _10m/s；(2)求Si上的壓力pi :已知S2上的壓力P2=1個工程大氣壓 =0.981咒105Pa ； 由伯努利方程:2g Y 2g得到:1 1P1 =P2 + P(V12 -v2 )=0.981咒105 + 咒1000咒(100-4)=1.461 咒 105 Pa。2 2(3) 求水流對彎管的作用力 P :

6、由動量定理可以得到:P-P1 -P2 =箭3 + Pv|S2。其中P和P2分別為在Si和S2上，外界對水流的作用力；在此需要注意到，對于整個彎管, 大氣壓力對其的作用力合力為 0。因此:Si截面上作用力為:P =(Pj -Po S1 =(1.16405 -0.981勺0550勺0* =240N，S2截面上作用力為:P2P2 - P0 $2=0。因此:P=P +P+v；S2 )=240 +103 x(22x50x10+102x 10x10=240 +120 =360N(4) 求作用力P的作用點:設作用點距Si截面中心線的距離為e ,兩管中心線之間的距離為由動量矩定理可以得到:2e = P 02

7、2 丄；即:QOQAP W2 S 10 X10 咒10咒10-360需 o.278。4-4如圖所示，彎管的直徑由di=20cm減小到d2=15cm，偏轉角為 60設粗端表壓力pi=7840N/m2,流過彎管流體的體積流量Q=0.08m3/s,求水作用于彎管的作用力及作用點的位置。答：首先應注意到，表壓力讀數(shù)指相對壓力。也就是說,Si截面處壓力pi和利用伯努利方程得到的S2截面的壓力P2的值，均為相對壓力。又由于大氣壓力對彎管的作用力合力為0,因此在S1和S2截面上，均應以相對壓力值計算。(1)利用連續(xù)方程求截面 Si和S2上的流速Vi 和 V2 :V1=Q=4QSi兀di2，v2Q=4Q(2)

8、利用伯努利方程求S2截面的相對壓力P2 :-14 -根據(jù)伯努利方程:2Pl+JV_ =也 +2g2gV 2g Y可以得到:P2 = PiP(Vi2 -v； (3)求管壁對流體的作用力Fx和Fy :求x方向作用力分量Fx :由動量定理:Fx - P2 sin a = Pv2 (v2 sina 0-0其中P2 =P2S2為S2截面上外界對管內流體的作用力；整理得到:2 2Fx =sin a (P2 + Pv2 S2 )=(P2 + 內2 Pin a S2 + 12+丄2=Pl=PlP(V； v；片 Pv| jsina .S2P(V12 +v2 *na 2,16Q i S sina 2 兀d2丿1

9、N|sin a S2Kd41 +X+d：十8x103 x0.082 ( 1 十 1爲3.1422l0.24 0.154 丿+ 8flQ2=840= 326N.x1x3.140.15224求y方向作用力分量Fy：由動量定理: Fy +R -卩2 cosa = P(Vj ) VjSj + P v2v2 cosa S2，其中P =PiSi為Si截面上外界對管內流體的作用力，整理得到:Fy = P + Pvfs -(P2 + Pv；S2 hosa =(p 1 + 箭 $1 -(P2 + Pv； S2 cosa3 16X0.0821 12326-840 +10= 450 188 =262N丁、2 lx-

10、x3.140.2-3.142 咒 0.24J3(4 )求力的作用點:如圖所示，設流體對彎管的作用力Fx和Fy與x軸和y軸的距離分別為ey和ex，由于S1和S2上所有外力和流體動量均通過坐標原點，由動量矩定理可知ex = ey = 0 ,即合力作 用點通過坐標原點。4-5如圖所示，平板垂直于水柱方向，設水柱流來的速度為V0=3Om/s，水柱的體積流量33Q=294m /s，分流量Qi=118 m /s。試求水柱作用在平板上的作用力和水流偏轉角a。設液體的重量和粘性可略去不計，水柱四周的壓力處處為大氣壓。答：(1)由伯努利方程可知 w =V2 =v0 ；(2)設流束寬度分別為 bo, bi和b2，

11、則有bo =Q/V0, bi =Qi/Vi =Qi/v0 ；又由連續(xù)方程可知:Q2 = Q -Q,因此:b2 =(Q-Qi yv (Q -Q1 yv0；(3)應用動量定理求平板對流體的作用力和偏轉角:求偏轉角度a :在y方向，平板對流體的作用力 Fy =0，即:0 = 4(-, b 內2(V2 sin a b2 ；整理得到:-+ 丹2 sin ab2 =0將V, =V2 =V0代入，可以得到:Qi /v0siz 亠Q/v。b2(Q Q1 y V0Q Q1= =0.67，294-118即：a =41.8 。求x方向作用力分量Fx :由動量定理得到:-Fx = P(Vo Vob0 + 仏(V2co

12、sa b?整理得到:/ 、Fx = 2(b0 -bzcosa )= Pv； Q - 一 cosIV0V0丿= 103 x30x 294 -(294 118Cos41.8】=4.88X106(N)V0=% h - (Q - Qi bos。】4-6圖示水箱1中的水經(jīng)光滑無阻力的圓孔口水平射出，沖到一平板上。平板封蓋著另一水箱2的孔口，水箱1中的水位高度為hi,水箱2中的水位高度為 h2，兩孔口中心重合，而且直徑di=d2/2。若射流的形狀是對稱的，沖擊到平板后轉向平行于平板的方向，并向四周均勻流出。假定流動是無粘性不可壓定常的，平板和水質量力不計。 當已知hi和水的密度P時，求保持平板封蓋住水箱

13、2的孔口是h2最大值。答：(1)求水箱1出口處速度V :在水箱1的自由液面上選取 A點，在出口截面上選取 B點;A點:Pa = Po , Va=0, hA=hi，其中Po為大氣壓力;B點:Pb = Po，VB =V1 =?，hB =0 o由過A、B兩點的伯努利方程:ghA =-V； +罟+ghB得到:gh1 冷M2 +罟+g ”0 ；因此:Vi =2ghi， Vv2ghi ；(2)求水流對封板的作用力P :由動量定理，沿垂直于封板的方向:P =0(Vb) PVb1 閔12 =1 兀Pd12vB =441 2 1 24昨砌=尹曲；(3)求水箱2的最大高度hmax :在封板右側，水箱2形心處的靜壓

14、力為P = Pghmax，因此封板受到水箱 2的靜水壓力:1 2 1 2*PFd2 =1 吧hmaxd2。當封板左右兩側壓力相同時，即P=P時:AA2 兀=；Pghmaxd2注意到d-d2，整理可得:21 1嚅“尹。即水箱2液面最大咼度為勞。4-7工程中常用文丘里（Venturi ）管測量管路中水的流量。管路和收縮管段截面積分別為P、Pm，且P Pm。若不計水的粘性,Si、S2,水的密度和U形測壓計中液體的密度分別為試導出圖示傾斜管路中水的流量Q與測壓計中液體的高度差讀數(shù)h之間的關系式。答：設正常管路截面 1-1和收縮段截面2-2的流速分別為v1和v2，則由連續(xù)方程可知:ViS = V2S2

15、； 又設管路的流量為Q，則:W = Q / S， V2 = Q / S2 ； 選取沿管路軸線的流線，由伯努利方程可得到:P-V： +(乙一Z2 )=P + 丄 V；,P 2 11P 2 2整理得到:（P1 3 ）=2 P（v； V12） Pg（Z1 Z2 ）；取U形測壓計內液體的左側 A點處水平面為等壓面，則有:PA = Pi 中中(zi hi)，Pb = P2 + Pg(Z2 -h -hi) + pmgh ； 由于Pa = Pb，則可得到:Pi + Pg(zi -hi )= P2 + 電(Z2 h -hi) + gh ； 整理可得:(Pl - P2 )= -電(Zi Z2 戶 gh( Pm

16、- P )；將（2）代入到（1 ）中，可得:1-Pg(zi Z2 )；-也(Z1-Z2)+gh(Pm-PA2l& S2 丿 再經(jīng)整理得到:Q-程警，Q=Z-。4-8圓管內不可壓縮定常流動如圖所示。入口處流速U均勻，在某截面 x處為拋物形速度分布：u（r ）=c（rO2 -r2 U，其中r為離管軸的徑向距離，c為一未知常數(shù)。入口處和x處f1、P0 - PP2 丿管截面壓力均勻分布， 分別為p0和Px，流體密度為P,不計重力。（1）試確定常數(shù)c ； （ 2）證明作用在0至x間，管壁上總的摩擦阻力D =7ir02答：（1）入口處流量為:Q=Mo2U ；由連續(xù)方程可知，x處截面的流量也是 Q= Jir

17、Ou。又由于通過x截面半徑處環(huán)形微元面積ds = 2;irdr上的流量為:dQ =2兀ru(r dr對其積分可得到:Q = f 2;iru(r dr= 211rr兀f r c(ro2 -r2 Udr = 2;icU(r。2 -r2 dr =二cro4U ；002即:crU =兀ro2U ；2因此得到：2C_ 2 ；0則速度分布為:u(r)=纟(r02-r2Ur。f 2 r =2U 1-2I ro丿（2 ）入口處流體的動量為:兀PrOU U =沢Pro2U2 ； x截面上，通過半徑為r處的環(huán)形面積流體的動量為:dM =2Mrdr u )u(r )=2Mru2(r)dr ；將上式積分得到:r0C2

18、c r0M = 2兀Pru2(r)dr =2兀P f 2 r U2 1 -打I r0丿dr =4 兀Pro2U 2 ；3由動量定理可知，動量的變化量等于外力的合力，因此:4 兀 PrOU2 -兀Pr0U2 = p0 兀 r； - px 兀 r； D ；3其中D為圓管對流體的摩擦阻力，整理得到： I2。3 丿D p0兀0 pX兀r。一一兀Pr。U ：=皿0Po PX PU3I-R、P、Q三點的誘導4-9 一馬蹄形旋渦如圖所示，兩端向右延伸至無窮遠處。試分別計算 速度。答：由畢奧-沙伐爾定律可知，渦線對空間一點的誘導速度為:（cos。2-cos% ）；41R(1 )求渦線對R點的誘導速度:誘導速度由3部分渦線產(chǎn)生，即渦線 1、2和3: 渦線1:方向垂直紙面向外:rVr1 =（COSa2 COSW ）；4兀Id 其中 a2 =0 , cosg T ; cos% =.Pl2 +d2因此:V7渦線2:方向垂直紙面向內:cosj = r, cos% = cos（兀 一a2 ）= cosaJl2 +d2則:VR24叱 lJi2 +dV Jl2 +d2丿2呵渦線3:方向垂直紙面向外:Vr3 =Vri則對R點總誘導速度為:rVr =2Vr1 +V