高一數(shù)學(xué)必修五知識點(diǎn)歸納[共9頁]

1、高一數(shù)學(xué)必修五知識點(diǎn)歸納 (一)、映射、函數(shù)、反函數(shù) 1、對應(yīng)、映射、函數(shù)三個概念既有共性又有區(qū)別，映射是一種特殊的對應(yīng)，而函數(shù)又是一種特殊的映射. 2、對于函數(shù)的概念，應(yīng)注意如下幾點(diǎn)： (1)掌握構(gòu)成函數(shù)的三要素，會判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù). (2)掌握三種表示法列表法、解析法、圖象法，能根實(shí)際問題尋求變量間的函數(shù)關(guān)系式，特別是會求分段函數(shù)的解析式. (3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=fg(x)叫做f和g的復(fù)合函數(shù)，其中g(shù)(x)為內(nèi)函數(shù)，f(u)為外函數(shù). 3、求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的一般步驟： (1)確定原函數(shù)的值域，也就是反函數(shù)的定義域; (2)由y=f(x)的解析式求

2、出x=f-1(y); (3)將x，y對換，得反函數(shù)的習(xí)慣表達(dá)式y(tǒng)=f-1(x)，并注明定義域. 注意：對于分段函數(shù)的反函數(shù)，先分別求出在各段上的反函數(shù)，然后再合并到一起. 熟悉的應(yīng)用，求f-1(x0)的值，合理利用這個結(jié)論，能夠避免求反函數(shù)的過程，從而簡化運(yùn)算. (二)、函數(shù)的解析式與定義域 1、函數(shù)及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數(shù)是不存有的，所以，要準(zhǔn)確地寫出函數(shù)的解析式，必須是在求出變量間的對應(yīng)法則的同時，求出函數(shù)的定義域.求函數(shù)的定義域一般有三種類型： (1)有時一個函數(shù)來自于一個實(shí)際問題，這時自變量x有實(shí)際意義，求定義域要結(jié)合實(shí)際意義考慮; (2)已知一個函數(shù)的解析式求其定

3、義域，只要使解析式有意義即可.如： 分式的分母不得為零; 偶次方根的被開方數(shù)不小于零; 對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零; 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1; 三角函數(shù)中的正切函數(shù)y=tanx(xR，且kZ)，余切函數(shù)y=cotx(xR，xk，kZ)等. 應(yīng)注意，一個函數(shù)的解析式由幾部分組成時，定義域?yàn)楦鞑糠钟幸饬x的自變量取值的公共部分(即交集). (3)已知一個函數(shù)的定義域，求另一個函數(shù)的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可. 已知f(x)的定義域是a，b，求fg(x)的定義域是指滿足ag(x)b的x的取值范圍，而已知fg(x)的定義域a，b指的是xa，b，此時f(x)的定義域，即g(x

4、)的值域. 2、求函數(shù)的解析式一般有四種情況 (1)根據(jù)某實(shí)際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系時，必須引入合適的變量，根據(jù)數(shù)學(xué)的相關(guān)知識尋求函數(shù)的解析式. (2)有時題設(shè)給出函數(shù)特征，求函數(shù)的解析式，可采用待定系數(shù)法.比如函數(shù)是一次函數(shù)，可設(shè)f(x)=ax+b(a0)，其中a，b為待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，求出a，b即可. (3)若題設(shè)給出復(fù)合函數(shù)fg(x)的表達(dá)式時，可用換元法求函數(shù)f(x)的表達(dá)式，這時必須求出g(x)的值域，這相當(dāng)于求函數(shù)的定義域. (4)若已知f(x)滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量(如f(-x)，等)，必須根據(jù)已知等式，再構(gòu)造其他等式組成方

5、程組，利用解方程組法求出f(x)的表達(dá)式. (三)、函數(shù)的值域與最值 1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采用何種方法求函數(shù)值域都應(yīng)先考慮其定義域，求函數(shù)值域常用方法如下： (1)直接法：亦稱觀察法，對于結(jié)構(gòu)較為簡單的函數(shù)，可由函數(shù)的解析式應(yīng)用不等式的性質(zhì)，直接觀察得出函數(shù)的值域. (2)換元法：使用代數(shù)式或三角換元將所給的復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡單函數(shù)再求值域，若函數(shù)解析式中含有根式，當(dāng)根式里一次式時用代數(shù)換元，當(dāng)根式里是二次式時，用三角換元. (3)反函數(shù)法：利用函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f-1(x)的定義域和值域間的關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域，形如(a0)的函數(shù)值域可采

6、用此法求得. (4)配方法：對于二次函數(shù)或二次函數(shù)相關(guān)的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法. (5)不等式法求值域：利用基本不等式a+ba，b(0，+)能夠求某些函數(shù)的值域，不過應(yīng)注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧. (6)判別式法：把y=f(x)變形為關(guān)于x的一元二次方程，利用“0”求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式. (7)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域：當(dāng)能確定函數(shù)在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調(diào)性，可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域. (8)數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域：利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數(shù)的值域，即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域. 2、求函數(shù)的最值與值

7、域的區(qū)別和聯(lián)系 求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的，事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存有一個最小(大)數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.所以求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，僅僅提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異. 如函數(shù)的值域是(0，16，值是16，無最小值.再如函數(shù)的值域是(-，-22，+)，但此函數(shù)無值和最小值，只有在改變函數(shù)定義域后，如x0時，函數(shù)的最小值為2.可見定義域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響. 3、函數(shù)的最值在實(shí)際問題中的應(yīng)用 函數(shù)的最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識求解實(shí)際問題上，從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價最低”，“利潤”或“面積(體積)(最小)”等諸多現(xiàn)實(shí)

8、問題上，求解時要特別注重實(shí)際意義對自變量的制約，以便能準(zhǔn)確求得最值. (四)、函數(shù)的奇偶性 1、函數(shù)的奇偶性的定義：對于函數(shù)f(x)，如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(或偶函數(shù)). 準(zhǔn)確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，要注意兩點(diǎn)：(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì)). 2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時需要將函數(shù)化簡或應(yīng)用定義的等價形

9、式： 注意如下結(jié)論的使用： (1)不論f(x)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，f(|x|)總是偶函數(shù); (2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數(shù)，那么在D1D2上，f(x)+g(x)是奇函數(shù)，f(x)g(x)是偶函數(shù)，類似地有“奇奇=奇”“奇奇=偶”，“偶偶=偶”“偶偶=偶”“奇偶=奇”; (3)奇偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù); (4)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。 3、相關(guān)奇偶性的幾個性質(zhì)及結(jié)論 (1)一個函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;一個函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱. (2)如要函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱且函數(shù)值恒為零，那么它既是

10、奇函數(shù)又是偶函數(shù). (3)若奇函數(shù)f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0成立. (4)若f(x)是具有奇偶性的區(qū)間單調(diào)函數(shù)，則奇(偶)函數(shù)在正負(fù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性是相同(反)的。 (5)若f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則F(x)=f(x)+f(-x)是偶函數(shù)，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函數(shù). (6)奇偶性的推廣 函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱，即y=f(a+x)為偶函數(shù).函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)成中心對稱圖形，即y=f(a+x)為奇

11、函數(shù)。 【二】 1.函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作：y=f(x)，xA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域. 注意：如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個式子有意義的實(shí)數(shù)的集合;函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式. 定義域補(bǔ)充 能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要

12、依據(jù)是： (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零; (3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零; (4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合. (6)指數(shù)為零底不能夠等于零 2.構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域 再注意： (1)構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.因?yàn)橹涤蚴怯啥x域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等(或?yàn)橥缓瘮?shù)) (2)兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母

13、無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式相同;定義域一致(兩點(diǎn)必須同時具備) 值域補(bǔ)充 (1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域.(2).應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ).(3).求函數(shù)值域的常用方法有：直接法、反函數(shù)法、換元法、配方法、均值不等式法、判別式法、單調(diào)性法等. 3.函數(shù)圖象知識歸納 (1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),(xA)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(xA)的圖象. C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f

14、(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)，均在C上.即記為C=P(x,y)|y=f(x),xA 圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交點(diǎn)的若干條曲線或離散點(diǎn)組成. (2)畫法 A、描點(diǎn)法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對應(yīng)值并列表，以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相對應(yīng)的點(diǎn)P(x,y)，最后用平滑的曲線將這些點(diǎn)連接起來. B、圖象變換法(請參考必修4三角函數(shù)) 常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換 (3)作用： 1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì);2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提升解

15、題的速度。 發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。 4.快去了解區(qū)間的概念 (1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間;(2)無窮區(qū)間;(3)區(qū)間的數(shù)軸表示. 5.什么叫做映射 一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：AB” 給定一個集合A到B的映射，如果aA,bB.且元素a和元素b對應(yīng)，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象 說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應(yīng)，集合A、B及對應(yīng)法則f是確定的;對應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合

16、A到集合B的對應(yīng)，它與從B到A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的;對于映射f：AB來說，則應(yīng)滿足：()集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是的;()集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象能夠是同一個;()不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。 常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點(diǎn)： 函數(shù)圖象既能夠是連續(xù)的曲線，也能夠是直線、折線、離散的點(diǎn)等等，注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù);解析法：必須注明函數(shù)的定義域;圖象法：描點(diǎn)法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域;化簡函數(shù)的解析式;觀察函數(shù)的特征;列表法：選擇的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征. 注意?。航馕龇ǎ罕阌谒愠龊瘮?shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值 補(bǔ)充一：分段