高等數(shù)學(xué)：第九章 常微分方程1-2

1、1,第九章 常微分方程,2,常微分方程,在力學(xué)、物理學(xué)及工程技術(shù)等領(lǐng)域中為了對客觀事物運動的規(guī)律性進(jìn)行研究，往往需要尋求變量間的函數(shù)關(guān)系，但根據(jù)問題的性質(zhì)，常常只能得到待求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式，這種關(guān)系式在數(shù)學(xué)上稱之為微分方程。微分方程又分為常微分方程和偏微分方程，本章討論的是前者。,3,常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，內(nèi)容十分豐富，作為一種有效的工具在電子科學(xué)、自動控制、人口理論、生物數(shù)學(xué)、工程技術(shù)以及其它自然科學(xué)和社會科學(xué)領(lǐng)域中有著十分廣泛的應(yīng)用,由于學(xué)時有限，高等數(shù)學(xué)中的常微分方程僅包含幾種特殊類型的一階微分方程的求解，可通過降階求解的高階微分方程，二階常系數(shù)齊次和非齊次線性微分

2、方程及其解的結(jié)構(gòu)和特殊情況下的求解方法。,本章先從解決這類實際問題入手，引出微分方程的一些基本概念，然后著重討論一些特殊類型的微分方程的求解方法。,4,重點,五種標(biāo)準(zhǔn)類型的一階方程的求解,可降階的高階方程的求解,二階常系數(shù)齊次和非齊次線性方程的求解,難點,求解全微分方程,求常系數(shù)非齊次線性方程的通解,5,基本要求,明確微分方程的幾個基本概念,牢固掌握分離變量法，能熟練地求解可分離變量的微分方程,牢固掌握一階線性微分方程的求解公式，,會將Bernoulli 方程化為一階線性方程來求解,掌握全微分方程的解法,會用降階法求解幾種特殊類型的高階方程,掌握二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)并能熟練地應(yīng)用特征根法、

3、待定系數(shù)法求解二階常系數(shù)線性方程,6,問題的提出,解,7,解,代入條件后知,8,故,開始制動到列車完全停住共需,9,1. 基本概念,1.微分方程：,常微分方程：,偏微分方程：,例：,例：y+y=2x,未知函數(shù)為多元函數(shù).,未知函數(shù)為一元函數(shù).,表示未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)(或微分)與自變量之間關(guān)系的方程式。,yy+x2=0,10,方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)(或微分)的階數(shù).,例：,一般形式,2. 階：,11,分類1: 常微分方程, 偏常微分方程.,分類2:,一階微分方程,高階(n)微分方程,yy+x2=0,12,分類3: 線性與非線性微分方程.,分類4: 單個微分方程與微分方程組.,13,3.

4、 解：,F (x, y(x), y(x), , y (n)(x) 0,則稱 y= y (x)為該方程在 (a,b)上的一個解.,若在(a,b)區(qū)間上存在函數(shù) y=y(x)及其 n 階導(dǎo)數(shù)，使得,14,例如 y=5x2 是 xy=2y 的解,隱式解： (x, y)0,例如 x2+y2=C 是 ydy + xdx = 0 的解,顯式解： y=(x),15,4. 通解：,例： y=x2+C是方程y=2x 的通解.,方程y=1的通解.,獨立：,不獨立：,若n階常微分方程F (x, y(x), y(x), , y (n) (x) = 0有解y= (x;c1, ,cn), 其中c1, ,cn是n個獨立的任

5、意常數(shù)，則稱y是F=0的一個通解。,是,16,5. 特解：,6. c1, ,cn獨立：,不包含任何常數(shù)的解., ,(n-1) 關(guān)于c1, ,cn的雅可比行列式不為0，即,7. 通解代表著方程的大多數(shù)解，但不一定包含著原方程的一切特解。,17,8. 通積分：,方程F(x, y, y, , y (n) ) = 0的通解以隱函數(shù)的形式(x,y;c1, ,cn)=0,給出，把(x,y;c1, ,cn)=0稱作方程的通積分。,9. 初值問題：,求微分方程滿足某些條件的特解。即求出方程F(x, y, y, , y (n) ) = 0滿足初始條件的解。其中x0,y0,y1,yn-1是已知常數(shù)。,18,10.

6、 解初值問題的一般方法：,先求其通解y= (x;c1, ,cn), 再解方程組,對初值問題,確定n個常數(shù) ,從而得到初值問題的特解,19,2.初等積分法,1. 變量可分離的方程,解法：,分離變量法,F(x, y, y)=0，,y=f (x, y).,考慮一階微分方程:,若再解出y= (x,c),則它是方程的通解。,求解微分方程,求積分,(通解可用初等函數(shù)或積分表示出來),20,當(dāng)g(y)=0時, 若 g(y)=0 有根y0,即g(y0)=0, 則 y(x)=y0 是方程的特解。,若 y(x)=y0不能包含在通解中，則稱其為奇解。,21,例1. 解方程,解：,22,例2. 解方程,解：y0時,或

7、 y=(x+C)2,另外y=0也是解.,(不在通解中，稱之為奇解),23,例3. 解方程y2xy=0,解：,y0時,ln|y|=x2+C,即,另外 y=0 也是解(它包括在通解中) .,24,解：方程可化為,分離變量得,兩邊積分得,即,原方程的通解為,25,例：,求解微分方程,解：,為所求解.,26,通解為,解,27,例,有高為1米的半球形容器, 水從它的底部小孔流出, 小孔橫截面積為1平方厘米(如圖). 開始時容器內(nèi)盛滿了水, 求水從小孔流出過程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時間t的變化規(guī)律.,解,由力學(xué)知識得,水從孔口流出的流量為,流量系數(shù),重力加速度,V是通過孔口橫截面

8、的水的體積,28,設(shè)在微小的時間間隔,水面的高度由h降至 ,比較(1)和(2)得:,29,即為未知函數(shù)的微分方程.,可分離變量,所求規(guī)律為,30,解,例,某車間體積為12000立方米, 開始時空氣中含有 的 , 為了降低車間內(nèi)空氣中 的含量, 用一臺風(fēng)量為每秒2000立方米的鼓風(fēng)機通入含 的 的新鮮空氣, 同時以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出, 問鼓風(fēng)機開動6分鐘后, 車間內(nèi) 的百分比降低到多少?,設(shè)鼓風(fēng)機開動后 時刻 的含量為,在 內(nèi),的通入量,的排出量,31,6分鐘后, 車間內(nèi) 的百分比降低到,32,2.可化為變量分離方程的幾類方程,(1)對形如 的方程,令z=ax+by+c,則,是z的函

9、數(shù),33,例：,令z=x+y+2,則,解：,34,(2)對形如 的方程,其中f(x,y)是齊次函數(shù)。 即對任意t0, f(tx,ty) f(x,y)。,f(x,y)是齊次函數(shù)的充要條件是f(x,y)可以寫成h(y/x)的函數(shù)。,對 改寫成 。令u=y/x,即得關(guān)于u的變量分離方程,35,解法：令,即 y=ux,則有,從而,變量可分離：,換元法,變量分離的方程,36,例 2 求解微分方程,解,37,微分方程的解為,38,解,令,則,代入化簡,并分離變量,兩邊積分,換回原變量,或,例4,39,例 1 求解微分方程,解,微分方程的解為,40,例 3 拋物線的光學(xué)性質(zhì),實例: 車燈的反射鏡面-旋轉(zhuǎn)拋物

10、面,解,如圖,41,由夾角正切公式得,得微分方程,42,分離變量,積分得,43,平方化簡得,拋物線,44,(3)對形如 的方程,其中ai,bi,ci,i=1,2是常數(shù)。 當(dāng)c1=c2=0時,右端是x,y的齊次方程，解法同(2)。,當(dāng)c1,c2至少有一個不為0時, (i)若 則 有唯一解(x0,y0)。令u=x-x0,v=y-y0,則有,關(guān)于u,v的齊次方程,45,當(dāng)c1,c2至少有一個不為0時, (ii)若 若a1b10，則存在常數(shù)k,使得(a2,b2)=k(a1,b1),此時令z=a1x+b1y,則有,若a10,b1=0，則由=0可推出b2=0,則,變量分離的方程,變量分離的方程,46,當(dāng)c

11、1,c2至少有一個不為0時, (ii)若 若a1=b1=0，則有,解法同(1),47,解,代入原方程得,方程變?yōu)?48,方程變?yōu)?分離變量法得,得原方程的通解,49,利用變量代換求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解為,50,3. 一階線性微分方程,例如：,線性,非線性,51,(1)線性齊次方程,得,(C=C1),解法：,結(jié)論：一階線性齊次微分方程的解包含了它的一切解。,當(dāng)Q(x)0時，,52,(2)線性非齊次方程,解法：先求出 的通解 再令 (其中u(x)待定)，為 線性非齊次方程的解。,常數(shù)變易法,53,于是,故,即,常數(shù)變易法,代入方程得,即,通解,特解,54,先解,解：方程為,5

12、5,令,為原方程的解.,得,代入原方程,解：,56,于是,當(dāng),解：,57,例2. 解方程,解：,利用求解公式,58,59,非齊次線性方程的通解,相應(yīng)齊方程的通解,等于,與非齊次方程的一個特解之和,即,非齊通解 = 齊通解 + 非齊特解,線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，是很優(yōu)良的性質(zhì)。,60,例1,解,61,解方程,解,相應(yīng)齊方程,解得,令,例2,62,代入非齊方程,解得,故非齊次方程的通解為,63,例3,解方程,解,這是一個二階線性方程,由于其中不含變量 y,若令,化成一階線性方程,其通解為,即,再積分,即為原二階方程的通解,64,例4 如圖所示，平行與 軸的動直線被曲 線 與 截下的線段PQ之長數(shù)值上

13、等于陰影部分的面積, 求曲線 .,解,兩邊求導(dǎo)得,解此微分方程,65,所求曲線為,66,一階線性微分方程的通解也可寫成,方程,令,即化為一階線性微分方程,注,67,例3. Bernoulli 方程,(0, 1),68,作變換 z=y1, 則化為線性方程,例如：xy+y=(xlnx)y2,69,例 5,解,70,例6 用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:,解,所求通解為,71,解,分離變量法得,所求通解為,72,解,代入原式,分離變量法得,所求通解為,另解,73,注,利用變量代換將一個微分方程化為變量可分離的方程或化為已知其求解步驟的方程是求解微分方程的一種最常用的思想方法,如,齊次型、可化為齊次型

14、、一階線性方程 、Bernoulli 方程等.,都是通過變量代換來求解方程的。,將,變換為,也是經(jīng)?？梢钥紤]的,74,解：,例：,求微分方程 的通解.,75,方程整理變形為,76,求解微分方程的基本方法：,解,原方程化為,原方程的通解為,利用變量代換將所求微分方程化為會解的微分方程。,77,解,代入原式得,由分離變量法得,得所求通解,例6 解微分方程,78,例6 解微分方程,另解,79,*例7 解微分方程,解,由分離變量法得,得所求通解為,80,4.全微分方程與積分因子,(1)全微分方程（恰當(dāng)方程）,對于對稱形式的一階微分方程,則稱上述微分方程為全微分方程或恰當(dāng)方程。,(其中P(x,y),Q(

15、x,y)是定義在一個區(qū)域D中的光滑函數(shù))，若存在一個可微函數(shù)u(x,y),使得,u(x,y)=C是上述全微分方程的通積分，并且包含了方程的一切解。,81,若P(x, y)、Q(x, y)在單連通 域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且,全微分方程的判定：,則方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0是全微分方程。,例如方程,原方程是全微分方程.,82,解法:,應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān).,通解為, 用直接湊全微分的方法.,其中 x0 , y0 是在G中適當(dāng)選定的點 M0 (x0 , y0 ) 的坐標(biāo)，起點坐標(biāo)選擇的不同，至多使u( x, y) 相差一個常數(shù).,83,例1 求解(5x4+3x y2-y3)

16、dx +(3x2y -3x y2 +y2 )dy=0,解 這里,所以這是全微分方程取(x0, y0)(0, 0)，有,于是，方程的通解為,84,例1,解,是全微分方程,原方程的通解為,85,例2,解,是全微分方程,將左端重新組合,原方程的通解為,86,(2)積分因子,a.定義：設(shè)方程,不是全微分方程。若存在函數(shù)(x,y) 0, 使得,是全微分方程，則稱(x,y)為方程的積分因子。,87,(2)積分因子,b.積分因子滿足方程,即,88,(2)積分因子,c.若(x,y)= (x)，則/y=0,此時有,其中,命題1： (x)是方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的一個積分因子。,89,(2)積

17、分因子,d.若(x,y)= (y)，則/x=0,此時有,其中,命題2： (y)是方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的一個積分因子。,90,解 (1) 方程ydx-xdy=0不是全微分方程,因為,例2 通過觀察求方程的積分因子并求其通解: (1)ydx-xdy=0 (2)(1+x y)ydx+(1-x y)xdy=0,91,解 (2)將方程的各項重新合并，得 (ydxxdy)xy(ydxxdy)0， 再把它改寫成,例2 通過觀察求方程的積分因子并求其通解: (1)ydx-xdy=0 (2)(1+x y)ydx+(1-x y)xdy=0,積分得通解,92,常見的全微分表達(dá)式,93,可選用的

18、積分因子有,94,可積組合法,原方程的通解為,(公式法),例3,解,則原方程成為,95,例4 求微分方程,解,將方程左端重新組合,有,原方程的通解為,96,例5 求微分方程,解,將方程左端重新組合,有,可積組合法,原方程的通解為,97,例6,解1,整理得,A 常數(shù)變易法:,B 公式法:,98,A 用曲線積分法:,解2,整理得,99,解2,整理得,B 湊微分法:,100,C 不定積分法:,原方程的通解為,101,一階微分方程小結(jié),102,5.可降階的二階微分方程,二階方程,F(x, y, y, y)=0,y = f (x, y, y),(1). 不顯含未知函數(shù)y的方程,103,解法:,令 y=z, 則,則,設(shè)其通積分為(x,z,C1)=0,再解一階微分方程(x,y,C1)=0,求得y。,關(guān)于z的一階微分方程,104,注: y (n)= f (x, y (k), y (n-1) 型,105,例2. 解方程 xy=y,解:,分離變量：,積分得： lnp=lnx+lnC1,所以 p=C1x,或,解得,令y=p, 則,106,例3,解方程,解,令,分離變量得,即,由,由,故,107,(2). 不顯含自變量x的方程,解法： 令y=p, 有,則方程F(