數(shù)學(xué)_高考數(shù)學(xué)解三角形復(fù)習(xí)資料_12頁

1、20092010 學(xué)年度高三數(shù)學(xué)（人教版A 版）第一輪復(fù)習(xí)資料第 27 講解三角形一【課標(biāo)要求】（ 1）通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題；（ 2 ）能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題。二【命題走向】對(duì)本講內(nèi)容的考察主要涉及三角形的邊角轉(zhuǎn)化、三角形形狀的判斷、三角形內(nèi)三角函數(shù)的求值以及三角恒等式的證明問題，立體幾何體的空間角以及解析幾何中的有關(guān)角等問題。今后高考的命題會(huì)以正弦定理、余弦定理為知識(shí)框架，以三角形為主要依托，結(jié)合實(shí)際應(yīng)用問題考察正弦定理、余弦定理及應(yīng)用。題型一般為選擇題、填空題，也

2、可能是中、難度的解答題三【要點(diǎn)精講】1直角三角形中各元素間的關(guān)系：如圖，在 ABC中， C 90， AB c，AC b，BCa 。（1）三邊之間的關(guān)系：a2b 2 c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：A B90；（3）邊角之間的關(guān)系： （銳角三角函數(shù)定義）sinA cosB a ， cosA sinB b ， tanA a 。ccb2斜三角形中各元素間的關(guān)系：如圖 6-29，在 ABC中， A、 B、 C 為其內(nèi)角， a、 b、c 分別表示A、 B、 C的對(duì)邊。（ 1）三角形內(nèi)角和： AB C 。（ 2）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等abc2R 。sin Asin

3、Bsin C（R 為外接圓半徑）（ 3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍a2b 2 c2 2bccosA； b2 c2 a2 2cacosB； c2 a2b2 2abcosC。3三角形的面積公式：（1） 1 aha 1 bhb 1 chc（ ha、 hb、 hc 分別表示a、 b、 c 上的高）；222（ 2） 1 absinC 1 bcsinA 1 acsinB；222（ 3） a2 sin B sin C b2 sinC sin A c 2 sin Asin B ；2 sin(BC )2 sin(CA)2 sin( AB)（ 4） 2R

4、2 sinAsinBsinC。（ R 為外接圓半徑）（ 5） abc ；4R1（6）s(s a)( s b)( s c) ； s( a b c) ；2（7） r s。4解三角形：由三角形的六個(gè)元素（即三條邊和三個(gè)內(nèi)角）中的三個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形解斜三角形的主要依據(jù)是：設(shè) ABC 的三邊為 a、 b、 c，對(duì)應(yīng)的三個(gè)角為A、 B、C。（

5、1）角與角關(guān)系： A+B+C = ；（ 2）邊與邊關(guān)系： a + b c，b + c a， c + a b， a b c， b c b；（ 3）邊與角關(guān)系：正弦定理abcs i nAs i nB2R （ R 為外接圓半徑） ；s i nC= b2+c2 2bccosA；余弦定理c2 = a2+b2 2bccosC，b 2 = a2+c2 2accosB， a2它們的變形形式有：a = 2R sinA， sin Ab 2c 2a2a ， cos A2bc。sin Bb5三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)。（ 1）角的變換因?yàn)樵?ABC

6、 中， A+B+C= ，所以sin(A+B)=sinC； cos(A+B)=cosC； tan(A+B)= tanC。sin ABcos C ,cos ABsin C ；2222（ 2）三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。r 為三角形內(nèi)切圓半徑，p 為周長(zhǎng)之半。（ 3）在 ABC中，熟記并會(huì)證明： A，B， C 成等差數(shù)列的充分必要條件是B=60； ABC是正三角形的充分必要條件是A， B， C 成等差數(shù)列且 a，b， c 成等比數(shù)列。四【典例解析】題型 1：正、余弦定理（ 2009 岳陽一中第四次月考） .已知 ABC 中， ABa ， ACb ， a b 0 ， S ABC

7、15，4a3, b5 ，則 BAC（）A. 30B 150C 1500D 30 或 1500答案C例 1（1）在ABC 中，已知 A32.00 ， B81.80， a42.9 cm，解三角形；10（ 2）在ABC 中，已知 a20 cm， b28 cm， A400 ，解三角形（角度精確到，邊長(zhǎng)精確到 1cm）。解析：（ 1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C 1800 ( A B) 1800(32.00 81.80 )66.20 ；根據(jù)正弦定理，basin B42.9sin81.80sin Asin32.0080.1(cm) ；根據(jù)正弦定理，asinC42.9sin66.20csin Asin32.00

8、74.1(cm).（2）根據(jù)正弦定理，sin Bbsin A28sin40 00.8999.a20因?yàn)?00 B 1800 ，所以 B 640 ，或 B 1160.當(dāng) B640 時(shí)，C 1800(A B) 1800(400 640 ) 760 ，casinC20sin76030(cm).sin Asin40 0當(dāng) B1160 時(shí)，C1800(A B)1800(4001160 ) 240 ， casinC20sin24 013(cm).sin Asin40 0點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用正弦定理時(shí)（ 1）應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形；（ 2）對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器例 2

9、（ 1）在ABC中，已知 a2 3 ， c62 ， B600 ，求 b 及 A；（ 2）在 ABC中，已知 a 134.6 cm ， b 87.8cm ， c 161.7cm ，解三角形解析：（ 1） b2a2c22ac cosB= (23)2 (62) 22 23 ( 6 2) cos 450=12( 62) 243( 31)= 8 b 2 2.求 A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一： cos Ab2 c2a2(22) 2(62 ) 2(2 3)21, A 600.2bc222( 62)2解法二： sina230b sin B22sin45 ,A又 622.41.43.8,23

10、21.83.6, a c ，即 00 A 900, A 600.（2）由余弦定理的推論得：cos Ab2c2a287.82161.72 134.620.5543,2bc287.8 161.7A 56020 ；cos Bc2a2b2134.62161.72 87.820.8398,2ca2 134.6 161.7B32053 ；C1800(AB) 1800(5602032053)90047.點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用余弦定理時(shí)解法二應(yīng)注意確定A 的取值范圍。題型 2：三角形面積例 3在ABC 中， sin Acos A2 ， AC 2 ， AB 3 ，求 tan A 的值和 ABC2的面積。解法一：先解三角方程

11、，求出角A 的值。sin Acos A2 cos( A45 )2 ,2cos( A45 )1 .2又 0A180 ,A4560 ,A105.tan Atan(4560 )1323 ,13sinAsin105sin(4560 )sin45 cos60cos45 sin602 6.4S ABC1 ACAB sin A123263 ( 26) 。2244解法二：由 sin Acos A 計(jì)算它的對(duì)偶關(guān)系式sin Acos A 的值。sin Acos A22(sin Acos A) 2122 sin Acos A120A180 ,sin A0, cos A0.(sin Acos A) 212sin A

12、 cos A3,26sin Acos A2 + 得s i An26 。4 得c o As26 。4從而sin A264。tan A422 3cos A6以下解法略去。點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識(shí)，著重?cái)?shù)學(xué)考查運(yùn)算能力，是一道三角的基礎(chǔ)試題。兩種解法比較起來，你認(rèn)為哪一種解法比較簡(jiǎn)單呢？例 4（2009 湖南卷文）在銳角ABC 中， BC1, B2A,則 AC的值等于，cos AAC 的取值范圍為.答案2 (2,3 )解析設(shè)A,B2. 由正弦定理得ACBC ,AC1AC2.sin 2sin2coscos由銳角ABC得0290045 ，又 01803903060，故

13、30452cos32，2AC2cos(2,3).例 5（2009 浙江理）（本題滿分14 分）在ABC 中，角 A, B,C 所對(duì)的邊分別為a, b, c ，且滿足 cos A2 5，AB AC3 25（ ）求ABC 的面積；（II）若 bc6，求a的值I解 （ 1）因?yàn)?cos A25，cos A2cos 2 A13,sin A4，又由 AB AC 325255得 bc cos A3,bc5 ，S ABC1 bc sin A22（2）對(duì)于 bc5 ，又 bc6， b5, c1或 b1,c5，由余弦定理得a2b2c22bc cos A20 ，a25例 6（ 2009 全國(guó)卷理） 在ABC 中，

14、內(nèi)角 A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a 、b 、c ，已知 a2c22b ，且 sin A cosC3cos Asin C ,求 b分析： :此題事實(shí)上比較簡(jiǎn)單,但考生反應(yīng)不知從何入手.對(duì)已知條件 (1) a2c22b 左側(cè)是二次的右側(cè)是一次的,學(xué)生總感覺用余弦定理不好處理,而對(duì)已知條件 (2)sin AcosC3cos Asin C , 過多的關(guān)注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差,導(dǎo)致找不到突破口而失分 .解法一：在ABC 中sin AcosC3cos Asin C , 則由正弦定理及余弦定理有 : a a2b2c23 b2c2a2c, 化簡(jiǎn)并整理得：2(a2c2

15、)b2 .又由已知2ab2bca2c22b 4b b2 .解得 b4或b 0(舍）.解法二 :由余弦定理得 :a2c2b22bc cos A又2c22b,b 0. a所以 b2c cos A2又 sin AcosC3cos Asin C ，sin A cosC cos Asin C4cos Asin Csin( AC )由正弦定理得由，解得4cos Asin C ，即 sin B4cos Asin Csin Bb sin C ，故 b4c cos Acb 4.評(píng)析 :從 08 年高考考綱中就明確提出要加強(qiáng)對(duì)正余弦定理的考查.在備考中應(yīng)注意總結(jié)、提高自己對(duì)問題的分析和解決能力及對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用能

16、力.另外提醒：兩綱中明確不再考的知識(shí)和方法了解就行，不必強(qiáng)化訓(xùn)練題型 4：三角形中求值問題例 7ABC 的三個(gè)內(nèi)角為A、 B、 C ，求當(dāng) A 為何值時(shí)， cos A2cos B C 取得最大2值，并求出這個(gè)最大值。B+C AB+CA。解析：由 A+B+C= ，得=2，所以有 cos=sin2222B+CA2AAA1 23cosA+2cos 2=cosA+2sin2=1 2sin 2+ 2sin2 =2(sin2 2) +；2當(dāng) sinAB+C取得最大值為3。1，即 A=2= 23 時(shí) , cosA+2cos 22點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用三角恒等式簡(jiǎn)化三角因式最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)角的三角函數(shù)的形式，通過三角函

17、數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果。例 8（2009浙江文）（本題滿分 14分）在ABC 中，角 A, B,C 所對(duì)的邊分別為a, b, c ，且滿足 cosA253 25，AB AC（ I）求 ABC 的面積；（ II）若 c1，求 a 的值解（） cos A2 cos2 A12( 25 ) 213255又 A(0,) ， sin A1cos2A4，而 AB.ACAB . AC .cos A3bc3，所以55bc5，所以ABC 的面積為：1 bc sin A1542225（）由（）知bc5 ，而 c1 ，所以 b5所以222cos251 2325abcbcA點(diǎn)評(píng)：本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系

18、、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計(jì)算能力題型 5：三角形中的三角恒等變換問題例 9在 ABC 中， a、b、c 分別是A、 B、 C的對(duì)邊長(zhǎng)，已知a、b、c 成等比數(shù)列，且 a2 c2=ac bc，求 A 的大小及 b sin B 的值。 c分析：因給出的是 a、 b、c 之間的等量關(guān)系，要求A，需找 A 與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理。由 b2=ac 可變形為b 2b sin B 的值。=a，再用正弦定理可求cc解法一： a、 b、 c 成等比數(shù)列，b2=ac。又 a2 c2=ac bc， b2 +c2a2=bc。在 ABC 中，由余弦定理得：cosA= b 2c2a

19、 2=bc=1 ， A=60。2bc2bc2在 ABC 中，由正弦定理得sinB= b sin A ， b2=ac， A=60，ab sin Bb 2 sin 60=sin603。cac =2解法二：在 ABC 中，由面積公式得 1 bcsinA= 1 acsinB。22 b2=ac， A=60 ， bcsinA=b2sinB。 b sin B =sin A=3 。c2評(píng)述：解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理。例 10在 ABC中，已知 A、B、C 成等差數(shù)列，求 tan Atan C3 tan A tan C 的2222值。解析：因?yàn)?A、B、 C

20、 成等差數(shù)列，又A B C180，所以 A C 120，從而 AC 60，故 tanA C3 .由兩角和的正切公式，22tan Atan C得223 。1 tan A tan C22所以 tan Atan C33 tan A tan C ,2222tan Atan C3 tan A tan C3 。2222點(diǎn)評(píng)：在三角函數(shù)求值問題中的解題思路，一般是運(yùn)用基本公式，將未知角變換為已知角求解，同時(shí)結(jié)合三角變換公式的逆用。題型 6：正、余弦定理判斷三角形形狀例 11在 ABC中，若 2cosBsinA sinC，則 ABC的形狀一定是（）A.等腰直角三角形C.等腰三角形B.直角三角形D.等邊三角形答

21、案： C解析： 2sinAcosB sin（ A B） sin（ A B）又 2sinAcosB sinC， sin（ A B） 0， A B點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的基本性質(zhì)，要求通過觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題途徑例 12（ 2009 四川卷文） 在ABC 中， A、 B 為銳角，角 A、 B、 C 所對(duì)的邊分別為a、 b、 c ，且 sin A5 ,sin B10510（I）求 AB 的值；（ II）若 ab2 1，求 a、 b、 c 的值。解（ I） A、B 為銳角， sin A5 ,sin B10510 cos A1sin 2 A2 5 ,cos B1sin 2 B

22、3 10510cos( AB)cos Acos B253105102sin Asin B10510.52 0A B AB4（ II）由（ I）知C3，sin C242由abc得sin Bsin Asin C5a10b2c ，即 a2b, c5b又ab212bb21b 1a2 ,c5題型 7：正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用例 13（ 2009 遼寧卷理） 如圖， A,B,C,D 都在同一北個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B， D 為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測(cè)量船于水面A處測(cè)得 B點(diǎn)和 D點(diǎn)的A20B仰角分?別為 750 ， 300 ，于水面 C處測(cè)得 B 點(diǎn)和 D10點(diǎn)的仰角均為 600， AC=0.1km。試探

23、究圖中B， D?C間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B，D 的距離（計(jì)算結(jié)果精確到 0.01km ，2 1.414， 62.449）解 :在 ABC中， DAC=30, ADC=60 DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又 BCD=180 60 60=60，故 CB 是 CAD底邊 AD 的中垂線，所以 BD=BA，ABAC在 ABC中， sinBCA,sin AB CACsin603 26 ,即 AB= sin 15203260.33km。因此， BD=20故 B， D 的距離約為 0.33km 。點(diǎn)評(píng)：解三角形等內(nèi)容提到高中來學(xué)習(xí)，又近年加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的考查和對(duì)三角變換要求的降低，

24、對(duì)三角的綜合考查將向三角形中問題伸展，但也不可太難，只要掌握基本知識(shí)、概念，深刻理解其中基本的數(shù)量關(guān)系即可過關(guān)。（ 2）（2009 寧夏海南卷理） （本小題滿分 12 分）為了測(cè)量?jī)缮巾擬 ，N 間的距離，飛機(jī)沿水平方向在 A， B 兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量， A， B， M， N 在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)（如示意圖） ，飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A， B 間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；用文字和公式寫出計(jì)算M ， N 間的距離的步驟1,解：方案一：需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A 點(diǎn)到 M，N 點(diǎn)的俯角； B 點(diǎn)到 M，1N 的俯角 2,2 ； A，B 的距離 d （如圖所

25、示） .第一步：計(jì)算AM . 由正弦定理 AMd sin2；sin( 12 )第二步：計(jì)算AN . 由正弦定理第三步：計(jì)算MN.由余弦定理ANd sin2；sin( 21 )MNAM 2AN 22AM AN cos( 1 1 ) .方案二：需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A 點(diǎn)到 M，N 點(diǎn)的俯角 1，1 ；B 點(diǎn)到 M，N 點(diǎn)的府角2 ，2 ；A，B 的距離d （如圖所示） .d sin1；第一步：計(jì)算 BM . 由正弦定理 BM2 )sin( 1第二步：計(jì)算BN . 由正弦定理 BNd sin1；sin(1)2第三步：計(jì)算MN . 由余弦定理 MNBM 2BN 22BMBN cos( 22 )21.（ 2009 四川卷文）在ABC