時(shí)間序列論文

1、應(yīng)用時(shí)間序列課程小論文：針對(duì)某地區(qū)19832005年各季度的實(shí)際國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值數(shù)據(jù)的時(shí)間序列問(wèn)題，用spss軟件曲線(xiàn)估計(jì)方法建立隨機(jī)線(xiàn)性模型數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院08級(jí)統(tǒng)計(jì)學(xué)小組成員：易成棟 200812217 胡斌 200812218 趙倉(cāng)倉(cāng) 200812219 郭照璞 200812222針對(duì)某地區(qū)19832005年各季度的實(shí)際國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值數(shù)據(jù)的時(shí)間序列問(wèn)題，用spss軟件曲線(xiàn)估計(jì)方法建立隨機(jī)線(xiàn)性模型一般建立隨機(jī)線(xiàn)性模型的標(biāo)準(zhǔn)手法時(shí)間序列分析在工程技術(shù)中有重要的作用，常用于做預(yù)報(bào)、控制等。為建立其隨機(jī)線(xiàn)性模型，首先，我們應(yīng)明白什么是時(shí)間序列：時(shí)間序列是隨機(jī)序列，即參數(shù)離散的隨機(jī)過(guò)程。由于工程中遇到

2、的隨機(jī)序列的參數(shù)經(jīng)常為時(shí)間，故稱(chēng)隨機(jī)序列為隨機(jī)時(shí)間序列，簡(jiǎn)稱(chēng)時(shí)間序列?？梢哉f(shuō)，時(shí)間序列是隨時(shí)間改變而隨機(jī)變化的序列。平穩(wěn)時(shí)間序列是平穩(wěn)序列，它滿(mǎn)足期望為零，且任意兩個(gè)時(shí)刻的相關(guān)函數(shù)與時(shí)間t無(wú)關(guān)，僅與兩個(gè)時(shí)刻的時(shí)間差相關(guān)。本文主要介紹平穩(wěn)時(shí)間序列的隨機(jī)線(xiàn)性模型的建立。為建立平穩(wěn)時(shí)間序列的隨機(jī)線(xiàn)性模型；我們應(yīng)掌握以下基本知識(shí)：一基本知識(shí)1）兩個(gè)重要參數(shù)及其性質(zhì)a：自相關(guān)函數(shù)k=rk/r0 自相關(guān)函數(shù)刻劃了任意兩個(gè)時(shí)刻之間的關(guān)系。b: 偏相關(guān)函數(shù)kk偏相關(guān)函數(shù)刻劃了平穩(wěn)序列任意一個(gè)長(zhǎng)k1的片段在中間量固定的條件下，兩端的線(xiàn)性密切程度。與他們相關(guān)的性質(zhì)有：拖尾性和截尾性。拖尾性：指它們隨k無(wú)限增長(zhǎng)以負(fù)

3、指數(shù)的速度趨向于0，其圖像像拖一條尾巴。截尾性：指它們?cè)趉n或km后，其值變?yōu)榱?，其圖像像截?cái)嗔说奈舶鸵粯印?）平穩(wěn)時(shí)間序列的線(xiàn)性隨機(jī)模型的三種重要形式 at 為白噪聲。這三種形式可以描述如下： a：ar（m）自回歸模型t-1t-1-2t-2-pt-n=atar（n）模型有p2參數(shù)刻畫(huà);b: ma(m)滑動(dòng)平均模型t = at 1at-1 2at-2 -qat-mma(m)模型有m2參數(shù)刻畫(huà);c: arma(n,m)混和模型t-1t-1-2t-2-pt-p= at 1at-1 2at-2 -qat-marma(n,m)混和模型有pq3參數(shù)刻畫(huà)；其實(shí)，我們可以把a(bǔ)r(n)和ma(m)模型看成ap

4、ma(n,m)的兩種特例。3）三種形式和兩個(gè)重要參數(shù)的關(guān)系三種model和兩個(gè)重要參數(shù)的關(guān)系有如下表的關(guān)系： model function ar(n) ma(m) arma(n,m)k 拖尾 k=m處截尾 拖尾kk k=m處截尾 拖尾 拖尾 依據(jù)上表，我們可以跟據(jù)k和kk判別模型類(lèi)別。二建模掌握上述基本知識(shí)后，下面我們來(lái)看看具體如何建立平穩(wěn)時(shí)間序列的隨機(jī)線(xiàn)性模型。此過(guò)程可以分為五步，具體如下：1 對(duì)一個(gè)時(shí)間序列作n次測(cè)量得到一個(gè)樣本z1，z2， ,zn,一般取n50；2 數(shù)據(jù)預(yù)處理：作t = zt (=為樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值)，得到n個(gè)數(shù)據(jù)：1,2， , n；3 計(jì)算樣本自協(xié)方差函數(shù)，樣本自相

5、關(guān)函數(shù)，偏相關(guān)函數(shù)數(shù)值，k=0,1,2,k；一般取kn時(shí)，樣本偏相關(guān)函數(shù)不為零，而偏相關(guān)函數(shù)kk=0，這就給判斷帶來(lái)一定的困難。我們可以采用一下方法解決：當(dāng)kn時(shí)，平均20個(gè)樣本偏相關(guān)函數(shù)中至多有一個(gè)使| 2/,則認(rèn)為kk截尾在k=n處，其理論依據(jù)為：定理：對(duì)于具有ar（n）自回歸模型的正態(tài)平穩(wěn)時(shí)間序列t，當(dāng)n很大時(shí)，樣本偏相關(guān)函數(shù)在kn時(shí)近似服從正態(tài)分布n(0,1/n).(摘自 安鴻志 時(shí)間序列分析及其應(yīng)用)。2）若kk拖尾，k在k=n處截尾，那么線(xiàn)性模型為ma(m)滑動(dòng)平均模型。kk拖尾可以根據(jù)樣本偏相關(guān)函數(shù)的點(diǎn)圖判斷，只要|愈變愈?。╧增大時(shí)）。但是，用樣本自相關(guān)函數(shù)判斷自相關(guān)函數(shù)k在k

6、=q處截尾可采用如下方法：當(dāng)km時(shí)，若平均20個(gè)樣本自相關(guān)函數(shù)中至多有一個(gè)使|2/,其理論依據(jù)如下：定理：對(duì)于具有ma(m)滑動(dòng)平均模型的正態(tài)平穩(wěn)時(shí)間序列t,當(dāng)n很大時(shí)，樣本自相關(guān)函數(shù)在km時(shí)服從正態(tài)分布n(0,(1+)/n)。(摘自 安鴻志 時(shí)間序列分析及其應(yīng)用)。3)若樣本自相關(guān)函數(shù)和樣本偏相關(guān)函數(shù)都是拖尾的，則線(xiàn)性模型可以看成混和模型（或者，樣本自相關(guān)函數(shù)和樣本偏相關(guān)函數(shù)都不為截尾的，又被負(fù)指數(shù)型的數(shù)列所控制）。其具體的判別方法和上述一樣。識(shí)別p,q辦法可以從低階到高階逐個(gè)取(n,m)為（1，1）,(1,2),(2,1),等值嘗試，即先認(rèn)定(n,m)為某值（如（1，2）再進(jìn)行下一步的參數(shù)

7、估計(jì)，并且定出估計(jì)模型來(lái)，然后經(jīng)過(guò)一定方法（自相關(guān)函數(shù)檢驗(yàn)法，周期圖檢驗(yàn)法）檢驗(yàn)這個(gè)估計(jì)模型是否被接受，即與原序列符合的好不好；若不被接受，就調(diào)整(n,m)嘗試值，再重新作參數(shù)估計(jì)和檢驗(yàn)，直到被接受為止。此法雖然繁瑣但是很為實(shí)用。對(duì)平穩(wěn)時(shí)間隨機(jī)線(xiàn)性模型的三種形式都適用，只是對(duì)于自回歸模型m=0,對(duì)于滑動(dòng)平均模型m=0。另外，混和模型在實(shí)際應(yīng)用中階數(shù)(n,m)一般少用ma或arma模型；除此之外，尚有其他定階的手法。5參數(shù)估計(jì)：計(jì)算參數(shù)估計(jì)值，下面具體介紹用粗估計(jì)：矩估計(jì)方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，具體如下：1）ar（n）模型參數(shù)估計(jì)：ar（n）模型有n+2個(gè)參數(shù)：p，1,2,p,。n在確定其階數(shù)時(shí)已經(jīng)確

8、定了，所以此時(shí)只要確定1,2,p,。利用yule-walker方程，利用toeplitz矩陣求逆和作矩陣乘法的方法算樣本偏相關(guān)函數(shù)kk，計(jì)算量是很大的，可以采用遞推公式計(jì)算，計(jì)算量要小一些。在計(jì)算樣本偏相關(guān)函數(shù)時(shí)，同時(shí)也計(jì)算了自回歸模型的參數(shù)值，因此ar（n）模型的參數(shù)值不必作專(zhuān)門(mén)的計(jì)算，只要在樣本偏相關(guān)函數(shù)計(jì)算的記錄中取出樣本參數(shù)值即可。此時(shí)1,2,p,都已經(jīng)確定了，那如何確定。事實(shí)上，經(jīng)過(guò)推理我們可以得到：0jj因而，只需用相應(yīng)的樣本計(jì)算值帶入上式即可得出。此時(shí)，ar（p）模型的參數(shù)估計(jì)完成。2）ma(q)滑動(dòng)平均模型參數(shù)估計(jì)：對(duì)：k = 0, r0 =(1+2m)0kq, rk=0上述式

9、子兩邊對(duì)rk，k取估計(jì)值可得m+1個(gè)方程，其中樣本協(xié)方差函數(shù)k數(shù)值已算出，而未知數(shù)1,2，,q,共q+1個(gè)，此方程組是非線(xiàn)性方程組，要求1,2，,q,，即可解這個(gè)非線(xiàn)性方程組。另外也可采用近似解法（略）。3）arma(n,m)混和模型參數(shù)估計(jì)對(duì)于滿(mǎn)足一個(gè)條件：采用先計(jì)算 ，., ，在計(jì)算1,2，,q,的方法，具體如下：a：先算：，., 可利用toeplitz矩陣和作矩陣乘法的方法求出，., 。b：在算：1,2，,q,令于是混和模型化為：這是關(guān)于的ma（q）模型，由上所述，可用的樣本協(xié)方差函數(shù)估計(jì)1,2，,q,的值，為此應(yīng)先推導(dǎo)的自協(xié)方差函數(shù)和的自協(xié)方差函數(shù)的關(guān)系,具體的方法見(jiàn)教材。事實(shí)上，模型

10、參數(shù)的估計(jì)方法還可采用精確估計(jì)方法，模型的精確估計(jì)方法主要有以下幾種：1）.最小二乘估計(jì)（lse）：ar(p),ma(q),arma(p,q)模型參數(shù)均可采用lse估計(jì)方法。2)最小均方差估計(jì)（lms）:ar(p),ma(q),arma(p,q)模型參數(shù)均可采用lms估計(jì)方法。3)精估計(jì)的數(shù)值解法和其他近似解法：對(duì)ma(q),arma(p,q)模型均不能得到參數(shù)估計(jì)的明顯表達(dá)式，只可用數(shù)值解法求極值問(wèn)題的數(shù)值方法。4)極大似然估計(jì)（mle）及估計(jì)的優(yōu)效性質(zhì)：對(duì)于正態(tài)平穩(wěn)過(guò)程t 對(duì)于arma（p，q）模型序列可采用極大似然估計(jì)方法討論參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，另外，還可討論一下這種方法所得的估計(jì)的優(yōu)良性質(zhì)，

11、這是很具有實(shí)際意義和理論價(jià)值的。至此，模型建立完畢，由上面的描述，我們可以看出前三步為準(zhǔn)備工作，后兩步是確定模型的實(shí)質(zhì)性步驟，最后，我們獲得關(guān)于t的線(xiàn)性模型。依托spss軟件建立時(shí)間序列隨機(jī)線(xiàn)性模型一、數(shù)據(jù)表年份 國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值 季度依次遞增19835944.0119836077.6219836197.5319836325.6419846448.3519846559.6619846623.3719846677.3819856740.3919856797.31019856903.51119856955.91219867022.81319867051.01419867119.01519867153.

12、41619877193.01719877269.51819877332.61919877458.02019887496.62119887592.92219887632.12319887734.02419897806.62519897865.02619897927.42719897944.72819908027.72919908059.63019908059.53119907988.93219917950.23319918003.83419918037.53519918069.03619928157.63719928244.33819928329.43919928417.04019938432.

13、54119938486.4421993853184419948727.94519948847.34619948904.34719949003.24819959025.34919959044.75019959120.75119959184.35219969247.2531996940795519969592.55619979666.25719979809.65819979932.759199710008.960199810103.461199810194.362199810328.863199810507.664199910601.265199

14、910684.066199910819.967199911014.368200011043.069200011258.570200011267.971200011334.572200111297.273200111371.374200111340.175200111380.176200211477.977200211538.878200211596.479200211598.880200311645.881200311738.782200311935.583200312042.884200412127.685200412213.886200412303.587200412410.3882005

15、12534.189200512587.590二、對(duì)數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖由圖可知可用時(shí)間序列問(wèn)題做一個(gè)隨機(jī)線(xiàn)性模型三、軟件運(yùn)行出來(lái)的結(jié)果及模型的確定model descriptionmodel namemod_2dependent variable1國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值equation1linear2cubic3powera4exponentialaindependent variable季度constantincludedvariable whose values label observations in plotsunspecifiedtolerance for entering terms in equ

16、ations.0001a. the model requires all non-missing values to be positive.case processing summaryntotal cases92excluded casesa2forecasted cases0newly created cases0a. cases with a missing value in any variable are excluded from the analysis.variable processing summaryvariablesdependentindependent國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值

17、季度number of positive values9090number of zeros00number of negative values00number of missing valuesuser-missing00system-missing22model summary and parameter estimatesdependent variable:國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值equationmodel summaryparameter estimatesr squarefdf1df2sig.constantb1b2b3linear.9845397.793188.0005868.23271.417cubic.9923754.845386.0006233.11149.647.172.001power.820402.245188.0004350.058.203exponential.992