最新點集拓撲試卷4

1、代號一、選擇題(將正確答案填入題后的括號內(nèi),每題3分，|命題專用紙,第|精品文檔|學院|專業(yè)密|年級|學號|姓名|備注:試卷首頁必封須用統(tǒng)一的考試|二頁以后用專用|紙續(xù)頁。|試卷必須打|印成卷字跡要工整、清楚。|各題留出答線點集拓撲試題樣卷2一二三四總分得分閱卷人共18分)1、已知x=a,b,c,d,e,下列集族中，是x上的拓撲.（3）t=x,f,a,a,b,a,c,et=x,f,a,b,c,a,b,d,a,b,c,et=x,f,a,a,bt=x,f,a,b,c,d,e2、已知x=a,b，拓撲t=x,f,a,則a是（2）xab3、在實數(shù)空間r中給定如下等價關系:5、設x=1,2，t=x,f,2

2、，則(x,t)是（1）t空間t空間t空間t01236、下列拓撲學的性質(zhì)具有有限可積性的是（）連通性緊致性正則性可分性得分閱卷人二、簡答題（每題4分，共32分）1、寫出同胚映射的定義.2、什么是不連通空間?3、什么是正則空間？4、寫出緊致空間的定義.案空白。|xyx,y(-,1或者x,y(1,2或者x,y(2,+)|試卷打印后應認真校對，避|免卷面錯誤。|設在這個等價關系下得到的商集y=1,2,3,則y的商拓撲是（1）f,y,3,2,3f,y,3f,y,3,1,2f,y4、下列拓撲學的性質(zhì)具有可遺傳性的是（）5、寫出可分空間的定義6、寫出列緊空間的定義.精品文檔|連通性t2正則正規(guī)精品文檔|7、

3、寫出導集的定義.|得分閱卷人四、證明題（共40分).試考師北河|得分閱卷人三、判斷下列各題的正誤,正確的打，錯誤的打，號學紙用名專姓題命級年學學大數(shù)范業(yè)專院學信數(shù)線院學卷a精品文檔號代卷試|8、寫出urysohn引理的內(nèi)容.|密|并說明理由（每題5分，其中判斷2分，理由3|分，本題共10分）|封1、從離散空間到拓撲空間的任何映射都是連續(xù)映射（）|2、若拓撲空間x中存在一個既開又閉的非空真子集，線則x是一個不連通空間（）|1、設y是拓撲空間x的一個連通子集,證明:如果a和b是x的兩個無交的開集使得yab,則或者ya,或者yb.(7分)2、設x是一個含有不可數(shù)多個點的有限補空間.證明:x不滿足第一

4、可數(shù)性公理.(7分)精品文檔|用名專命試年學大范河號學紙姓題級考學數(shù)業(yè)師專北院學信數(shù)精品文檔院學卷共6頁，第3頁|3、設xi是t2空間x的一個收斂序列,證明：xi的極限點唯一.(7分)|密|4、設x是hausdorff空間，f:xx是連續(xù)映射.證明a=xx|f(x)=x|是x的閉子集.(7分)封|共6頁，第4頁5、設x,y是兩個拓撲空間，f:xy是一個連續(xù)映射.如果x是一個緊致空間，證明f(x)是y的一個緊致子集.(7分)6、設x為hausdorff空間,f:xx是一個連續(xù)映射,且ff=f證明:f(x)是x的閉集(5分).精品文檔線線|共6頁，第5頁共6頁，第6頁點集拓撲試題樣卷2卷參考答案一

5、、選擇題(將正確答案填入題后的括號內(nèi),每題3分，共18分)1、2、3、4、5、6、二、簡答題（每題4分，共32分）1、設x和y是兩個拓撲空間.如果f:xy是一個一一映射，并且f和f-1:yx都是連續(xù)映射，則稱f是一個同胚映射.2、設x是一個拓撲空間，如果x中有兩個非空的隔離子集a,b,使得ab=x,則稱x是一個不連通空間.精品文檔理由：設x是離散空間，y是拓撲空間，f:xy是連續(xù)映射，因為對任意ay，都有f-（a)x,由于x中的任何一個子集都是開集，從而f-1(a)是c中的開集，所以f:xy是精品文檔3、設x是一個拓撲空間，如果x中的任何一個點和任何一個不包含這個點的閉集都各自有一個開鄰域，它

6、們互不相交，則稱x是正則空間.4、設x是一個拓撲空間.如果x的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋，則稱拓撲空間x是一個緊致空間.5、設x是一個拓撲空間，若x有一個可數(shù)稠密子集，則稱x是一個可分空間。6、設x是一個拓撲空間.如果x的每一個無限子集都有凝聚點，則稱拓撲空間x是一個列緊空間.7、設x是一個拓撲空間，集合a的所有凝聚點構(gòu)成的集合稱為a的導集.8、設x是一個拓撲空間，a,b是一個閉區(qū)間.則x是一個正規(guī)空間當且僅當對于x中任意兩個無交的閉集a和b，存在一個連續(xù)映射f:xa,b,使得當xa時f(x)=a和當xb時f(x)=b.三、判斷下列各題的正誤,正確的打，錯誤的打，并說明理由（每題5分，其中

7、判斷2分，理由3分，本題共10分）1、答案:1連續(xù)的.2、答案:理由：這是因為若設a是x中的一個既開又閉的非空真子集，令b=a，則a,b都是x中的非空閉子集，它們滿足ab=x，易見a,b是隔離子集，所以拓撲空間x是一個不連通空間.四、證明題（共40分).1、證明：因為a,b是x的開集，從而ay,by是子空間y的開集.又因yab中，故y=(ay)(by)4分由于y是x的連通子集,則ay,by中必有一個是空集.若by=f,則ya;若ay=f,則yb7分2、證明：若x滿足第一可數(shù)公理，則在xx處,有一個可數(shù)的鄰域基，設為vx,因為x是有限補空間，因此對yx,yx,x-y是x的一個開鄰域，從而$vyv

8、于是yvy,由上面的討論我們知道：精品文檔x,使得vyx-y.4分精品文檔因為xx是一個不可數(shù)集，而vyxxu是一個可數(shù)集，矛盾.xxyvyxxyxyy從而x不滿足第一可數(shù)性公理.7分i1i3、證明：若極限點不唯一，不妨設limxy,limxiiy,其中y21y，由于x是t空間，故y和y各自的開鄰域u,v，使得uv.4分2212i因limxiy，故存在n110，使得當in時，x1iu；同理存在n20，使得當in時，x2iv.令nmaxn,n,則當in時，x12iuv，從而uv,矛盾，故x的極限點唯i一.7分4、證明：對于xa，則f(x)x，從而f(x),x有互不相交的開鄰域u和v，設wf1(u

9、)v，4分則w是x的開鄰域，并且xwa,故a是開集，從而a是閉集.7分5、證明：設c是f(x)的一個由y中的開集構(gòu)成的覆蓋.對于任意cc，f1(c)是x中的一個開集，由于cx,從而有：f1(c)f1(ccccccc)f1(f(x)x所以a=f1(c)|cc是x的開覆蓋.由于x是緊致空間，所以a有一個有限子覆蓋，設為f1(c),f1(c).1n4分因為f1(c)111f(c)f(cn1c)x，從而cn1cnf(x)，即c,c,1n是c的一個子族并且覆蓋f(x)，因此f(x)是y的一個緊致子集.7分6、證明：對xxf(x)，則f(x)x，由于x是hausdorff空間，存在x和f(x)的鄰域u,v，使得u11v.又因為f連續(xù),故存