高考數(shù)學(xué)專題講座——函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1、專題講座函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1. 已知函數(shù)(1) 若函數(shù)圖象上任意不同兩點(diǎn)連線的斜率都小于1，則；(2) 若0，1，函數(shù)圖象上任一點(diǎn)切線的斜率為，求時(shí)的取值范圍。解答（1）設(shè)a（，b（是函數(shù)圖象上任意不同兩點(diǎn)，則，顯然，不妨設(shè)，則，即，構(gòu)造函數(shù)，則在r上是減函數(shù)，則在r上恒成立，故，解之得（2）當(dāng)0，1時(shí)，即對任意的0，1，即在0，1成立，由于，則必需滿足或或，解得此題融三次函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、二次函數(shù)等問題于一體，在方法上主要是利用函數(shù)的單調(diào)性、區(qū)間最值等問題。2（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)|xm|mx，其中m為常數(shù)且m0。 （1）解關(guān)于x的不等式f(x)0；（2）試探求f(x)存在最小值的充要條件，并

2、求出相應(yīng)的最小值.解：（1）由f(x)0得，|xm|mx，得mxxmmx，即 當(dāng)m=1時(shí)，x當(dāng)1 m0時(shí)，x當(dāng)m1時(shí)，x綜上所述，當(dāng)m1時(shí)，不等式解集為x|x當(dāng)m=1時(shí)，不等式解集為x|x當(dāng)1m0時(shí)，不等式解集為x|x（2）f(x)= m0，f(x)在m，+)上單調(diào)遞增，要使函數(shù)f(x)存在最小值，則f(x)在(，m)上是減函數(shù)或常數(shù)，(1+m)0即m1，又m0，1m0。故f(x)存在最小值的充要條件是1m0，且f(x)min= f(m)=m2. 注： 含參數(shù)的不等式要注意分類討論 3已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的值域；（2）若，試確定與的大小，并加以證明；（3）若，試確定與的大小，解：（1）當(dāng)時(shí)

3、，而在連續(xù)，則在上是增函數(shù)，即函數(shù)的值域?yàn)椋?）令，則，由且，得，即當(dāng)時(shí)，時(shí)，而在上是連續(xù)的，則為的最小值，從而當(dāng)時(shí)，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立；（3）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，證明過程與（2）相同，從略。 4 已知函數(shù)f (x ) =x2 + lnx.（i）求函數(shù)f (x )在1，e上的最大、最小值；（ii）求證：在區(qū)間1，+上，函數(shù)f (x )的圖象在函數(shù)g (x ) =x3的圖象的下方；（iii）求證：(x )n(xn)2n2（nn*）.解：（i）易知f (x )在1，e上是增函數(shù). f (x )max = f (e ) =e2 + 1；f (x )min = f (1 ) =.（ii）設(shè)

4、f (x ) =x2 + lnxx3，則(x ) = x +2x2 =. x1， (x )0，故f (x )在(1，+)上是減函數(shù)，又f (1) =0， 在(1，+)上，有f (x )0，即x2 + lnxx3，故函數(shù)f (x )的圖象在函數(shù)g (x ) =x3的圖象的下方.（iii）當(dāng)n = 1時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)n2時(shí)，有：(x )n(xn) = (x +)n(xn +)=xn1+xn2+ +x=xn2 +xn4 + +x=(xn2 +) +(xn4 +) + +(+ xn2)(2+ 2+ + 2) = 2n2.注：第二問可數(shù)學(xué)歸納法證5.已知函數(shù)（）求函數(shù)的最大值；（）當(dāng)時(shí)，求證:（）

5、解： ,令得當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，又當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值0 （）證明： 由（1）知又 6已知函數(shù)在定義域上可導(dǎo)，設(shè)點(diǎn)是函數(shù)的圖象上距離原點(diǎn)最近的點(diǎn). (1) 若點(diǎn)的坐標(biāo)為, 求證：;(2) 若函數(shù)的圖象不通過坐標(biāo)原點(diǎn), 證明直線與函數(shù)的圖象上點(diǎn)處切線垂直. 證：(1)設(shè)q(x , f (x) )為y = f (x)上的動(dòng)點(diǎn)，則|oq| 2 = x2 + f 2 ( x )， 設(shè)f(x) = x2 + f 2 ( x ), 則f(x)=2x +2f (x)f ( x ) 已知p為y = f(x) 圖形上距離原點(diǎn)o最近的一點(diǎn)， |op|2為f(x)的最小值，即f(x) 在x = a處有最小值, 亦即f(

6、x) 在x = a處有極小值 f(a)=0， 即 2a+2f (a)f (a)=0 (2) 線段op的斜率為，y=f(x)之圖形上過p點(diǎn)的切線l的斜率為f (a) 由(1)知f (a)f (a) = a，圖象不過原點(diǎn)，a 0，f (a) = 1opl，即直線op與y=f(x)的圖形上過p點(diǎn)的切線垂直.7. 如圖所示，曲線段omb是函數(shù)軸于a，曲線段omb上一點(diǎn)處的切線pq交軸于p，交線段ab于q，（1）試用表示切線pq的方程；（2）設(shè)qap的面積為是單調(diào)遞減，試求出的最小值；（3）橫坐標(biāo)的取值范圍。解:（1）（2）令由得上單調(diào)遞減，故（3）當(dāng)單調(diào)遞增，得，則qap的面積s點(diǎn)的橫坐標(biāo)則p點(diǎn)橫坐標(biāo)

7、的取值范圍為.8. 用總長44.8m的鋼條制做一個(gè)底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架，如果所制做容器的底面的腰長比底邊長的一半長1m，那么底面的底邊，腰及容器的高為多少時(shí)容器的容積最大？（參考數(shù)據(jù)2.662=7.0756，3.342=11.1556）解:設(shè)容器底面等腰三角形的底邊長為2xm，則腰長為高為,設(shè)容器的容積為vm3，底面等腰三角形底邊上的高令當(dāng)有最大值. 這時(shí)容器的底面等腰三角形的底邊長為6m，腰長為4m，容器的高為5.6m. 注： 以下各題難度較大，技巧性強(qiáng)，供優(yōu)生參考9設(shè)的定義域?yàn)?的導(dǎo)函數(shù)為,且對任意正數(shù)均有，() 判斷函數(shù)在上的單調(diào)性； () 設(shè)，比較與的大小，并證明你的結(jié)

8、論；（）設(shè)，若，比較與的大小，并證明你的結(jié)論.解：()由于得，而，則，則，因此在上是增函數(shù).()由于，則，而在上是增函數(shù)，則，即，（1），同理 （2）（1）+（2）得：，而，因此 .（）證法1: 由于，則，而在上是增函數(shù)，則，即， 同理 以上個(gè)不等式相加得：而證法2：數(shù)學(xué)歸納法（1）當(dāng)時(shí)，由（）知，不等式成立；（2）當(dāng)時(shí)，不等式成立，即成立，則當(dāng)時(shí)， +再由()的結(jié)論, +因此不等式對任意的自然數(shù)均成立. 10（本題14分）.規(guī)定：兩個(gè)連續(xù)函數(shù)（圖象不間斷）、在閉區(qū)間a，b上都有意義，我們稱函數(shù)在a，b上的最大值叫做函數(shù)與在a，b上的“絕對差”.（1）試求函數(shù)與在閉區(qū)間3，3上的“絕對差”；（2）設(shè)函數(shù)及函數(shù)都定義在已知區(qū)間a，b上，記與的“絕對差”為若的最小值是，則稱可用“替代”，試求m0的值，使可用“替代” 解：（1）記則 由，得或（2分） （4分） 故所求“絕對差”為12 .（6分）（2）由于 從而令，得（8分） 由于 （12分） 當(dāng)時(shí)，最小. 故當(dāng)時(shí)，可用“替代”.（14分）11.已知函數(shù)的定義域?yàn)閕，導(dǎo)數(shù)滿足且，常數(shù)為方程的實(shí)數(shù)根，常數(shù)為方程的實(shí)數(shù)根。（i）若對任意，存在，使等式成立。求證：方程不存