遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)的八大常見形式

1、新課標(biāo)高考由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)的八大常見形式對(duì)于遞推公式確定的數(shù)列的求解， 通常可以通過遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等 比數(shù)列問題，有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列稱輔助數(shù)列法。）。1.遞推公式為嚴(yán)戸耳+4 （其中P, q均為常數(shù)，吩解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為： g 7 = pg- f）其中 1-P ,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例1.已知數(shù)列但J中，碼=h為+1 = 2巧+亠求叭。2. 8 =也+朋皿型遞推式可構(gòu)造為形如口”】+幾申+凡3 = 叭+凡1（稈-1）+的等比數(shù)列。3r 1 二 _ 12&襯1 6料3例5.在數(shù)列I口中，2，求通項(xiàng)公式*。解：原遞推式可化為2（叭+幾嚴(yán)+

2、幾2）二礙_1+幾103-1）+無，比較系數(shù)可得：幾1=-6無二9 ,上式即為2虬二如十仮是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng) 俎二口1-6乳2 丄2，公比為2廠（卜+切-9，故2為所求。3. 口乂+】=兒嚴(yán) y （A、B、C為常數(shù)，下同）型遞推式（1）可構(gòu)造為形如-1+ A C*L=月（務(wù)+1 CJ的等比數(shù)列。類型4遞推公式為】=戸耳+0 （其中P , q均為常數(shù)，）。如_戸,玉+丄J十1-宀（2）可構(gòu)造為形如目979b g”引入輔助數(shù)列（其中* /），得:再應(yīng)用類型1的方法解決。例1.已知數(shù)列中,，求*。例2.已知數(shù)列中,(P 、4*2 =pW+l+q毗-莊如=P （4* 1- & a ） 4*1-空訊是

3、 G.P特殊地如=?如勿耳（？+g=i）型分析：；p+giq均為常數(shù)）（二階遞歸）a + = pG0 = -g解出莊、0因此= 0-切如+嗎二如-?（如-%臥廠磚報(bào)二-g廠。罷備1-陽仏+17是以幻5為首項(xiàng)，公比為一 g的等比數(shù)列例1、1 = ，砌二1,陽=紜-廠紐4 S3），求q552例 2： ai=1, a2= 34+2月心*1- ?如,求數(shù)列心的通項(xiàng)公式兔f。a + 0 = 232妙=3解得:2痢-4* 1 = 21-如）,2a 2-ai= 32& = 1、P = 3M A-i=U=（4 A-1）+（臉1 -止2 ） + + （ a2-a 1）fl-i+ai =2 _ + 3 +1=3-

4、3 .225.等差數(shù)列：廣陽=d由此推廣成差型遞推關(guān)系：陽=側(cè)累加：陽=仏-和）+（S -也）+ 血2 5）+珂二?呵g，于是只要/（可以求和就行。遞推公式為叭+1二口#+/3）解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為口岸+1 -務(wù)二了（特殊情形：. Q 心 Z+q （差后等差數(shù)列）陽+1=陽+y 利用累加法求解。%滿足例1.已知（差后等比數(shù)列）例2.已知例3.已知陽*1 =陽+ 2,且= 1,求如 陽*1 =陽+ 2舟-3,且1 =1,求%滿足務(wù)=廣】+% （用-2）,且= 1，求第滿足（a 1僅1 =亍，*+1 =斗+ i丄住例4.已知數(shù)列IF滿足,料+幷，求叫。6 .等比數(shù)列：1血廠g遞推公式為G礙 1

5、 為=住1 =童3）5累乘： 也也坷 號(hào)類型2遞推公式為二/ g解法例1.已知陽滿足兇產(chǎn)，且旬=2，求如=/（片）（1）把原遞推公式轉(zhuǎn)化為山*，利用累乘法求解。例2.例3.已知小滿足陽+1 =叫心H ,且= 1 ,求訊2用f 片4 F 口,41 =Q.已知數(shù)列滿足 了璋+ 1 ，求0乂。7.倒數(shù)變換法:形如也二叭*1 +血（C0為常數(shù)，且chO0hO）的遞推公式，可令門如”。則可轉(zhuǎn)化為 如二P広沖型；2耳1 比+1 二例1 ：數(shù)列W中，且珂二了，屯中2（3 +1，求數(shù)列佃的通項(xiàng)公式.8對(duì)數(shù)變換法:= 10,1.UJ-C = 3,4,5-*）遞推式兩邊同取對(duì)數(shù)，得ig 盤應(yīng)一曆知二一Og%.-igtvJ九= ig -igG = 1令b廣如-Iga衣，則如L =