2020屆高考數(shù)學(xué)山東省二輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練習(xí)題：專題三第3講空間向量與立體幾何

1、第 3 講空間向量與立體幾何解答題1.(2019 廣東佛山模擬 )如圖 ,在多面體 ABCDEF 中 ,底面 ABCD 為菱形 ,BAD=60 ,AB=2,DF=BE=1,AF=CE= 3,且平面 ADF 底面 ABCD, 平面 BCE底面ABCD.(1)證明 :EF平面 ADF;(2)求二面角 A-EF-C 的余弦值 .解析(1)證明 :分別過點 E,F 作 BC,AD 的垂線 ,垂足分別為點 N,M, 連接 MN.因為平面 ADF 底面 ABCD, 平面 ADF 底面 ABCD=AD,FM AD,FM ? 平面 ADF, 所以 FM平面 ABCD, 又 MN ? 平面 ABCD,所以 FM

2、 MN.同理可證 ,EN平面 ABCD, 所以 ENMN, 所以 FM EN.過點 B 作 BGAD, 垂足為 G.在 Rt AGB 中, BAD=60 ,AB=2, 則 AG=1.易知 ADF=60 ,所以在 RtFMD 中 ,MD= 1,FM=3 所以122 ,GM= 2.同理可得 BN= 1,EN=3 ,所以 GM=BN,FM=EN.2 2又 GM BN,FM EN,所以四邊形 BNMG 為平行四邊形 ,四邊形 FMNE 為平行四邊形 ,所以 MN GB,MN EF.從而 MN AD, 又 FM AD=M,所以 MN 平面 ADF, 所以 EF平面 ADF.(2)以 M 為坐標(biāo)原點 ,M

3、A,MN,MF 所在直線分別為 x 軸、y 軸、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 M-xyz, 如圖所示 .由 (1)知 MN=GB= 3,則 A( 32 ,0,0),F(0,0, 23) ,E(0, 3, 23 ) ,C( - 32 ,3,0) ,所以 ?3,0,3) ,? 3, 3,-3 ) .=(0,3,0),?=( - 22=( - 22?33- x1 + z1 = 0,設(shè)平面 AEF 的法向量為 m=(x111 則? AF = 0,解得?即 22,y ,z ),0,3y1 = 0,? FE =y1 = 0,z1 = 3x1 ,令 z1= 3,則 x1 =1,y1=0,所以 m=(1,0, 3

4、).?33- x2+ 3y2 - z2= 0,設(shè)平面 EFC 的法向量為 n=(x ,y ,z ),則?FC = 0,?即22解得222?FE = 0,3y2= 0,y2 = 0,z2 = -3x 2 ,令 z2=-3,則 x 2=1,y2=0,所以 n=(1,0,-3).從而 cos=? ?1 -31=- .|?|?|22 2因為二面角 A-EF-C 為鈍角 ,所以二面角 A-EF-C 的余弦值為 -1.22.(2019 浙江 ,19,15 分) 如圖 ,已知三棱柱 ABC-A B C ,平面 AACC平面11111ABC, ABC=90, BAC=30,A1A=A 1 C=AC,E,F 分

5、別是 AC,A 1B1 的中點 .(1)證明 :EFBC;(2)求直線 EF 與平面 A 1 BC 所成角的余弦值 .解析 本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系 ,直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識 ,同時考查空間想象能力和運算求解能力 .本題考查了邏輯推理和直觀想象的核心素養(yǎng) .(1)證明 :連接 A 1E,因為 A 1A=A 1C,E 是 AC 的中點 ,所以 A 1EAC,又平面 A 1ACC 1平面 ABC,A 1E? 平面 A 1ACC 1,平面 A 1ACC 1平面 ABC=AC,所以 ,A 1E平面 ABC, 則 A 1EBC.又因為 A 1FAB, ABC=90,故 BCA 1F.所以

6、 BC平面 A 1EF.因此 EFBC.(2)取 BC 的中點 G,連接 EG,GF,則 EGFA1 是平行四邊形 .由于 A 1E平面 ABC, 故 A 1EEG,所以平行四邊形EGFA1 為矩形 .由 (1)得 BC平面 EGFA1,則平面 A 1BC平面 EGFA1,所以 EF 在平面 A 1BC 上的射影在直線 A 1G 上 .連接 A 1G 交 EF 于 O,則 EOG 是直線 EF 與平面 A1BC 所成的角 (或其補角 ),不妨設(shè) AC=4,則在 RtA 1EG 中 ,A 1E=23,EG=3.? G 15,由于 O 為 A1 G 的中點 ,故 EO=OG= 1=222223所以

7、 cosEOG=?+O?-E?2? ?=5 .因此 ,直線 EF 與平面 A1BC 所成角的余弦值是 35 .3.(2019 河北衡水統(tǒng)一聯(lián)考 )如圖 ,在多面體ABCDFE 中,四邊形 ABCD 是菱形 ,ABC=60 ,四邊形 ABEF 是直角梯形 ,FAB=90,AF BE,AF=AB=2BE=2.(1)證明 :CE平面 ADF;(2)若平面 ABCD 平面 ABEF,H 為 DF 的中點 ,求平面 ACH 與平面 ABEF 所成銳二面角的余弦值 .解析(1)證法一 :因為四邊形 ABCD 是菱形 ,所以 AD BC.又因為AFBE,AF AD=A,BC BE=B, 所以平面 ADF 平

8、面 BCE.因為 CE? 平面 BCE,所以CE平面 ADF.證法二 :取 AF 的中點 M, 連接 DM,EM, 如圖所示 .由題意知 AM=BE, 且 AM BE,所以四邊形 ABEM 為平行四邊形 ,即 MEAB.因為四邊形 ABCD 是菱形 ,所以 ABDC, 所以 MEDC,即四邊形 DCEM 為平行四邊形 ,所以 DM CE.又 DM ? 平面 ADF,CE?平面 ADF, 所以 CE平面 ADF.(2)取 CD 的中點 N,連接 AN,在菱形 ABCD 中, ABC=60 ,可得 AN AB.因為平面 ABCD 平面 ABEF, 平面 ABCD 平面 ABEF=AB,AF AB,

9、AF ? 平面 ABEF, 所以 AF平面 ABCD.以 A 為坐標(biāo)原點 ,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.故 A(0,0,0),C(3,1,0),D(3,-1,0),F(0,0,2),31H( 2 ,- 2 ,1) ,則?=( 3 ,- 1 ,1) ,?=(3,1,0).22設(shè)平面 ACH 的法向量為 n=(x,y,z),?31x- 2 y + z = 0,則 ? AH = 0,即 2 ? AC = 0,3x + y = 0.令 x=1,可得 n=(1,-3,-3).易知平面 ABEF 的一個法向量為m=(1,0,0).設(shè)平面 ACH 與平面 ABEF 所成的銳二面角為,|? ?|7

10、即所求銳二面角的余弦值為7則 cos = 7,7 .|?|?|4.(2019 陜西第二次教學(xué)質(zhì)量檢測)如圖所示 ,等腰梯形 ABCD 的底角BAD= ADC=60 ,直角梯形 ADEF 所在的平面垂直于平面ABCD, 且EDA=90 ,ED=AD=2AF=2AB=2.(1)證明 :平面 ABE 平面 EBD;(2)點 M 在線段 EF 上 ,試確定點 M 的位置 ,使平面 MAB 與平面 ECD 所成的二面角的余弦值為 43 .解析(1)證明 :平面 ABCD 平面 ADEF, 平面 ABCD 平面ADEF=AD,ED AD,ED ? 平面 ADEF, ED平面 ABCD,AB ? 平面 AB

11、CD, EDAB.AB=1,AD=2, BAD=60 ,BD=1+ 4-2 1 2cos60=3,AB 2+BD 2=AD 2, AB BD.又 BD? 平面 EBD,ED ? 平面 EBD,BD ED=D,AB 平面 EBD.又 AB? 平面 ABE, 平面 ABE 平面 EBD.(2)以 B 為坐標(biāo)原點 ,BA,BD 所在直線分別為x 軸、y 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則 A(1,0,0),B(0,0,0),C( - , 3 ,0) ,D(0,3,0),E(0,3,2),F(1,0,1),122則?=(?12 , 23 ,0),?=(0,0,2),?=(1,0,0),?=(1,-3,-1),?=(0,?3,2).設(shè) ?=?=( ,-3,- )(01),則?=?+?=(?,3-3 ,2- ).設(shè)平面 ECD 的法向量為 m=(x1,y1,z1),平面 MAB 的法向量為 n=(x2,y2,z2),?13= 0,則?CD = 0,2 x1 +2 y11則?即取 y2z1 = 0,=1,m=(- 3,1,0);?DE = 0,?x2 = 0,?BA = 0,即取 y=2-,則, ?x + (