無窮級數(shù)知識點總復(fù)習(xí)

1、無窮級數(shù)知識點總復(fù)習(xí)本章重點是判斷數(shù)項級數(shù)的斂散性，幕級數(shù)與傅里葉級數(shù)的展開與求和. 7.1數(shù)項級數(shù)本節(jié)重點是級數(shù)的性質(zhì)， 正項級數(shù)的幾個判別法，交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法，任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂.?？贾R點精講一、數(shù)項級數(shù)的概念1數(shù)項級數(shù)定義定義：設(shè) un是一個數(shù)列，則稱表達(dá)式UnUiU2 L 山 Ln 1n為一個數(shù)項級數(shù)，簡稱級數(shù)，其中第n項Un稱為級數(shù)的通項或一般項，Snuk稱為級k 1數(shù)的前n項部分和.2.級數(shù)收斂的定義定義：若數(shù)項級數(shù)un的部分和數(shù)列n 1Sn有極限,則稱級數(shù)Un收斂,n 1極限值lim &稱n為此級數(shù)的和.當(dāng)lim Sn不存在時，則稱級數(shù)un發(fā)散.n nn 1利

2、用級數(shù)收斂的定義，易知當(dāng)幾何級數(shù)發(fā)散.例1.1判斷下列級數(shù)的斂散性1時，幾何級數(shù)qn收斂，和為n 1;當(dāng)q1( n 1、n)n 1n(n1)n 1解：由于Sn11L11 22 3n(n1)111, 11 1(1 -)(-)L(-)1 -223nn 1n 1所以limSnlim(1 1)1,故級數(shù)11收斂.nnn1n 1 n(n 1)由于 Sn C 2 “) ( .3 &) L(1. n 1 1所以lim Snn，故級數(shù)(. n 1 , n)發(fā)散.n 1、級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件1.設(shè) un,vn都收斂，和分別為a, b，則 (un vn)必收斂，且(un vn) a b ；n 1 n 1

3、n 1n 1評注：若un收斂， vn發(fā)散，則(un vn)必發(fā)散；若Un, Vn都發(fā)散，則n 1n 1n 1n 1 n 1(un Vn)可能發(fā)散也可能收斂.n 12.設(shè)k為非零常數(shù)，則級數(shù) un與 kun有相同的斂散性;n 1n 13改變級數(shù)的前有限項，不影響級數(shù)的斂散性；4.級數(shù)收斂的必要條件：如果un收斂，則lim un0 ；n 1n5 收斂的級數(shù)在不改變各項次序前提下任意加括號得到的新級數(shù)仍然收斂且和不變. 評注：若某級數(shù)添加括號后所成的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)亦發(fā)散.例1.2判斷下列級數(shù)的斂散性1 1丄丄1丄L丄1L n(2n 1)2 104202n10nn 1 (n 1)(n2)解：由于-

4、收斂，1發(fā)散，所以1 1(+丄)發(fā)散，n 1 2n1 10nn 1 2n 10n由性質(zhì)5的“注”可知級數(shù)11 111 1LnL 發(fā)冃攵；210 4202n 10n0，不滿足級數(shù)收斂的必要條件，所以級數(shù)由于e g 2n(2n 1)發(fā)散.n1 (n 1)(n 2)三、正項級數(shù)及其斂散性判別法各項為非負(fù)(un 0)的級數(shù)un稱為正項級數(shù).n 11.正項級數(shù)收斂的基本定理定理：設(shè) S 是正項級數(shù)un的部分和數(shù)列，則正項級數(shù)n 1un收斂的充要條件是數(shù)列Sn有界.1當(dāng)p 1時，p級數(shù)-收斂；當(dāng)p 1時，p級數(shù)發(fā)散.（p 1時的p級數(shù)也叫調(diào)n 1 n和級數(shù)）2 正項級數(shù)的比較判別法定理：（正項級數(shù)比較判別

5、法的非極限形式）設(shè)un, vn都是正項級數(shù)，并設(shè)un vn, （n N0），則n 1n 1若vn收斂，則un收斂；n 1n 1若un發(fā)散,則vn發(fā)散.n 1n 1定理里：（正項級數(shù)比較判別法的極限形式）設(shè) Un,Vn都是正項級數(shù)，并設(shè)lim也 或為 ，則n 1 n 1n Vn當(dāng) 為非零常數(shù)時，級數(shù)un, Vn有相同的斂散性;n 1 n 1當(dāng) 0時，若Vn收斂，則必有un收斂;n 1n 1評注：用比較判別法的比較對象常取p級數(shù)與等比級數(shù)及1 p n 2 nlnp n p1時，收斂1時，發(fā)散當(dāng)時，若Vn發(fā)散，則必有un發(fā)散n 1n 13 正項級數(shù)的比值判別法定理：設(shè)Un是正項級數(shù)，若lim Un

6、1或為，則級數(shù)Un有n 1n 1nUn當(dāng)(1時,收斂；當(dāng)1或時，發(fā)散；當(dāng)（1時，斂散性不確定.評注：若此Un1（n 1,2,L ），則級數(shù)Un必發(fā)散;n 1 如果正項級數(shù)通項中含有階乘，一般用比值判別法判定該級數(shù)的斂散性;當(dāng)歸芳.或不存在（但不為），則比值判別法失效4 正項級數(shù)的根值判別法將比值判別法中的 旦口改成n U7，其它文字?jǐn)⑹觥⒔Y(jié)論均不改動,Un即為根值判別法.15.利用通項關(guān)于無窮小的階判定正項級數(shù)的斂散性n定理：設(shè) un是正項級數(shù),n 1Un為丄（nn）的k階無窮小，則當(dāng)k1時，正項級數(shù)Unn 1收斂；當(dāng)k 1時，正項級數(shù)Un發(fā)散.1解:1.3判斷下列級數(shù)的斂散性2 n 1孑11

7、(ln(n 1)n rn 1 (n21)一 n由于limnlimn1,而級數(shù) n n1-發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散;1 n由于Un 1lim n Unlimn(n 1)23n31n1，所以由比值判別法可得，原級數(shù)收斂;由于lim01，所以由根值判別法可知，原級數(shù)收ln(1 n)斂;3由于）的 階無窮小，所以原級數(shù)收斂.2四、交錯級數(shù)及其斂散性判別法1 .交錯級數(shù)定義定義：若級數(shù)的各項是正項與負(fù)項交錯出現(xiàn)，即形如n 1(1) Un U1 U2 U3 U4 L ,(Un 0)的級數(shù)，稱為交錯級數(shù).2 交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法定理：若交錯級數(shù)(1)n1Un,(Un 0)滿足條件n 1 Un Un i(n 1

8、,2,L )； lim un 0，n則交錯級數(shù)(1)n 1Un,(Un 0)收斂，其和S Ui其余項S Sn滿足S SnUn 1 .n 1五、任意項級數(shù)及其絕對收斂若級數(shù)un的各項為任意實數(shù)，則稱它為任意項級數(shù).n 11.條件收斂、絕對收斂若 Un收斂，則稱un絕對收斂；若un發(fā)散但 un收斂，則稱un條件收斂.n 1n 1n 1n 1n 1評注：絕對收斂的級數(shù)不因改變各項的位置而改變其斂散性與其和.2任意項級數(shù)的判別法定理：若級數(shù)Unn 1收斂，則級數(shù)Un收斂.即絕對收斂的級數(shù)一定收斂.例1.4判斷下列級數(shù)是否收斂？若收斂,指明是絕對收斂還是條件收斂(1)n 11 _n_解：記Un(心因為l

9、im Un 1n Unlim J13n3n 111所以級數(shù)n 1Un收斂，故原級數(shù)收斂且為絕對收斂;記Un1)n 11ln(n 1)由于Un-發(fā)散，所以級數(shù)1 nUnn 1發(fā)散又un是一交錯級數(shù)，unn 11ln(1 n)0(n），且un un 1，由萊布尼茲定理知，原級數(shù)收斂，故原級數(shù)條件收斂. ?？碱}型及其解法與技巧、概念、性質(zhì)的理解例7.1.1 已知 (1)n1an 2， a2n 15，則級數(shù)an的和等于n 1n 1n 1解：由于 （1）n 1ann 12，所以根據(jù)級數(shù)的性質(zhì)可得2(a2n 1a2n)n 1從而 35 2a2n 1 (a2n 1a2n )a2nn 1n 1因此 an (a

10、2n 1 a2n)5 38.n 1n 11例7.1.2設(shè)0Un,則下列級數(shù)中肯定收斂的是n(A)ur1 ;(B)( 1)nun ；(C)襯u n ；(D)( 1)nun 1n 1n 1n 1解：取un1小1則0 un，此時（A)un 與(C)un都發(fā)散；n 1n1 1n 1 1右取un(1)n1c1，則0 un，此時(B)(1)nun1丄發(fā)散；2nnn 1n 1 2n由排除法可得應(yīng)選（D）.u；2，根據(jù)“比較判別法”得nu2收斂從而n 11事實上，若0Un，則0n（1）nu2收斂，故應(yīng)選（D）.n 1例7.1.3已知級數(shù) （u2n 1 u2n）發(fā)散，則n 1(B) un 一定發(fā)散n 1（A ）

11、 un 一定收斂，n 1(C) un不一定收斂n 1(D) lim un 0n解：假設(shè)nun收斂,1則根據(jù)級數(shù)斂散的性質(zhì)，不改變各項的次序加括號后得到的新級數(shù)仍然收斂，即(u2n 1n 1u2n)也收斂.這與已知矛盾，un 一定發(fā)散.應(yīng)選(B).n 1例7.1.4設(shè)正項級數(shù)un的部分和為Sn，又vnn 1,已知級數(shù)Snvn收斂，則級數(shù)un1n 1必(A)收斂(B)發(fā)散(C)斂散性不定(D)可能收斂也可能發(fā)散解：由于級數(shù)vn收斂，所以根據(jù)收斂的必要條件可得lim vnn0 ,又vn ，所以lim Snn，故級數(shù)un發(fā)散，故應(yīng)選(B).n 1例 7.1.5設(shè)有命題(1)an收斂，則a1n 12n收

12、斂;(2)an為正項級數(shù)，且an 1an1(n1,2,L )，則an收斂;(3)若存在極限r(nóng) Un lim nn Vn0，且vn收斂，則un收斂;n 1右 WnunVn(n1,2,3丄)，又Vn與wn都收斂,un收斂.n 1則上述命題中正確的個數(shù)為(A ) 1( B)(C) 3(D) 4解：關(guān)于命題(1)，令an(1)nn，則an收斂，但a2nn 11丄發(fā)散，所以不正確;2n關(guān)于命題(2)，令anan為正項級數(shù)，且旦口 1(nan1,2,L )，但 an 發(fā)散,n 1所以不正確;關(guān)于命題(3),令Un(1)nnVn(9，則在極限lim叢1l 0 ,且Vn收 nn Vnn 1關(guān)于命題（4）,因為

13、wnUnvn （n1,2,3丄），所以0unwnvnwn，因為vn與n 1wn都收斂，所以由“比較判別法”知n 1（un Wn）收斂，故Un收斂故應(yīng)選（A ）n 1n 1、正項級數(shù)斂散性的判定正項級數(shù)un判別斂散的思路：首先考察n 1lim un （若不為零，則級數(shù)發(fā)散；若等于n零，需進(jìn)一步判定）；根據(jù)一般項的特點選擇相應(yīng)的判別法判定.評注： 若一般項中含有階乘或者 n的乘積形式，通常選用比值判別法： 若一般項中含有以n為指數(shù)幕的因式，通常采用根值判別法： 若一般項中含有形如 n （ 為實數(shù)）的因式，通常采用比較判別法. 如果以上方法還行不通時，則可考慮用斂散的定義判定.例7.1.6判斷下列級

14、數(shù)的斂散性(1)sin 2nn!2n(3)(n 1)n22n n1 2 n(4)In n(5)(6)n 1 n2n2n 1 (1 n) j n解：（1）用比值法.limn2(n 1) sin 尹2n sin n2nlimn(n 1)2 盯2n所以原級數(shù)收斂.（2）用比值法.limnn 1(n 1)!2n 1(n 1)n!2n2 limnn(n 1)n所以原級數(shù)收斂.（3）用根值法.n2limnlim2n(n 1)nnn所以原級數(shù)發(fā)散.（4）用比較法.(6)由于limnn2(1 n)用0，故由級數(shù)收斂的必要條件知原級數(shù)發(fā)散.評注：在考研題中遇到該類問題應(yīng)先看當(dāng)n 時，級數(shù)的通項Un是否趨向于零（

15、如果不易看出，可跳過這一步），若不趨于零，則級數(shù)發(fā)散；若趨于零，則再看級數(shù)是否為幾 何級數(shù)或p級數(shù)，因為這兩種級數(shù)的斂散性已知.如果不是幾何級數(shù)或p級數(shù)，則用比值判別法進(jìn)行判定，如果比值判別法失效， 則再用比較判別法進(jìn)行判定.常用來做比較的級數(shù)主要有幾何級數(shù)、p級數(shù)等.例7.1.7判斷下列級數(shù)的斂散性(1)( si n )n 1 nn1(2)( ln(1n 1 n丄)n分析：用比值判別法失效，用比較判別法不易找到用來作比較的級數(shù),1于無窮小一的階判定正項級數(shù)的斂散性.n此時一般利用通項關(guān)解：（1）考查換成連續(xù)變量sin lim n n（片n再用羅必達(dá)法則,lim X s?( x)iX 0kx

16、0kx13取k 3，上述極限值為一6cos( x)kxk 1limx 01 22( x)kxk 1取Vn15，因為limUn r ln n -lim 一-vn一n10 ,而5收斂，5n4n 14n4n4n4所以原級數(shù)收斂.（5 ）用比較法.取Vn丄nun，因為lim - nVnnlim11，而-發(fā)散,n . n21；nn 1 n所以原級數(shù)發(fā)散.31所以原級數(shù)與同斂散，故原級數(shù)收斂.n 1 n1 ln(1 丄)(2)考查 lim nnn1 k(-)n換成連續(xù)變量x，再用羅必達(dá)法則,limx 0x ln(1 x)kxlimx 01 -_-kxklimx 0 kx2(1x)1取k2，上述極限值為1.

17、21所以原級數(shù)與-y同斂散，故原級數(shù)收斂.n 1 n例7.1.8研究下列級數(shù)的斂散性(2)n n，這里 為任意實數(shù)，為非負(fù)實數(shù).n 1n (1)a 0是常數(shù))；n 1-分析：此例中兩個級數(shù)的通項都含有參數(shù).一般說來，級數(shù)的斂散性與這些參數(shù)的取值有 關(guān)對這種情況通常由比值判別法進(jìn)行討論.ann!解: ( 1 )記Un生，由比值判別法可得n顯然，當(dāng)ae時,當(dāng)a e時,由于(2)記 Unlim町nUn顯然，當(dāng)0散；當(dāng) 1時,lmnn rrL aImn1- n級數(shù)收斂；當(dāng)e時,級數(shù)發(fā)散;Un 1Unen 1(n1)!n 1(n 1)nnn ie n!(1n，由比值判別法可得limnn 1(-1)n-l

18、im(nn-1)n為任意實數(shù)時，級數(shù)收斂;比值判別法失效.這時 unn，由1時，級數(shù)發(fā)散.數(shù)收斂；當(dāng)例7.1.9判別下列級數(shù)的斂散性，所以lim un 0 ,故級數(shù)發(fā)散.n1時，為任意實數(shù)時，級數(shù)發(fā)p級數(shù)的斂散性知，當(dāng)1時，級(1)n 1 &(2)e dxnn 1分析：此例兩個級數(shù)的通項都是由積分給出的正項級數(shù).如果能把積分求出來， 再判定其斂散性，這樣做固然可以，但一般工作量較大常用的方法是利用積分的性質(zhì)對積分進(jìn)行估 值估值要適當(dāng)：若放大則不等式右端應(yīng)是某收斂的正項級數(shù)的通項；若縮小，則不等式左端應(yīng)是某發(fā)散的正項級數(shù)的通項.1解：(1)因為0 x 時,x41，所以n由于級數(shù)(!)2收斂, n

19、 1 n0 1x4dx()所以原級數(shù)收斂.n(2)因為函數(shù)e x在區(qū)間n,n 1上單減，所以e ndxn 1 仁0 e xdxn由于limn2 . n lim nen10，又因為級數(shù)收斂，所以原級數(shù)收斂.n 1 n三、交錯級數(shù)判定斂散判別交錯級數(shù) (1)nun,(un 0)斂散性的方法： n 1法一：利用萊布尼茲定理；法二：判定通項取絕對值所成的正項級數(shù)的斂散性，若收斂則原級數(shù)絕對收斂；法三：將通項拆成兩項，若以此兩項分別作通項的級數(shù)都收斂則原級數(shù)收斂；若一收斂另發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散；法四：將級數(shù)并項，若并項后的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散.評注：法二、法三和法四適應(yīng)于Un不單調(diào)減少或判定單調(diào)很困難的

20、交錯級數(shù).例7.1.10判定下列級數(shù)的斂散性(1)八n11In n(2)(1)(|丿n 1nn 2 門(1)n11111 ,1 12 nsi 46(3)1 - L(4)(1)1 222 33 34n 12n解：(1)該級數(shù)是交錯級數(shù)，顯然lim1-0 n In n令 f(x)，則 f (x)x In x1 1 廠冷0,(x1)，所以 單調(diào)減少.n In n由萊布尼茲判別法可知，原級數(shù)收斂.(2)不難得到數(shù)列:不單調(diào).而 n ( 1)n(1)n汕(1)n(1)( n ( 1)n)1)顯然，級數(shù)1發(fā)散; n 2n 1又級數(shù)n1)是交錯級數(shù)，顯然滿足limn 1n令 f(x)斤，(x月，則f(x)x

21、2 1/ 2 2(x 1)0，所以單調(diào)減少,n 1由萊布尼茲判別法可得，級數(shù)(1)n2收斂.n 2n 1故由級數(shù)斂散的性質(zhì)可得，原級數(shù)發(fā)散.(3 )不難得到 un不單調(diào)，但有1111(1 廠)廠)(1*)即加括號后得到的新級數(shù)發(fā)散，利用級數(shù)的性質(zhì)可知,原級數(shù)發(fā)散.(4)顯然判定數(shù)列2 n 0nsin 46的單調(diào)性很麻煩.2n2n 0nsin 462n歹，而由比值判別法易得到級數(shù)斗收斂，所以級數(shù)n 1 2n2n 0nsin 462n收斂.且絕對收斂.從而原級數(shù)收斂，四、判定任意項級數(shù)的斂散性對任意項級數(shù)un，主要研究它絕對收斂性和條件收斂性.解題的一般思路：先看當(dāng)n 1時，級數(shù)的通項Un是否趨向

22、于零，若不趨于零，則級數(shù)發(fā)散；若趨于零，則按正項級數(shù)斂散性的判別法，判定un是否收斂，若收斂，則級數(shù)un絕對收斂；若發(fā)散，n 1n 1un是否收斂n 1則若上述發(fā)散是由正項級數(shù)的比值判別法或根值判別法得到，則原級數(shù)發(fā)散；若是由比較 判別法判定的，此時應(yīng)利用交錯級數(shù)萊布尼茲判別法或級數(shù)斂散的性質(zhì)判定（若收斂則為條件收斂）.例7.1.11討論下列級數(shù)的斂散性，若收斂，指出是條件收斂還是絕對收斂，說明理由2n n(1) sinn 1為常數(shù);(n1) sin x , dx;xL (a 0).解：（1）2n nun sinsin n (分大時,sin(n)不是整數(shù)時,保持定號，n) (1)nsin(所以

23、級數(shù)從某項起以后為一交錯級數(shù).不論 取何值，總有l(wèi)im unlimnsin(-），由于當(dāng)n充nsin0，故UnUnsin ，由于lim J-nn1級數(shù)發(fā)散;當(dāng)是整數(shù)時，有Un （1） nsin，因而n所以利用比較判別法的極限形式可得，當(dāng)0時級數(shù)Un發(fā)散，又因為Unsin nun收斂，且為條件收總是非增的趨于零，故由交錯級數(shù)的“萊布尼茲判別法”知，級數(shù)斂；當(dāng) 0時，級數(shù)顯然收斂,且絕對收斂.（2）由于（n1）沁dx七n x（警dt （叭嚴(yán)dt所以原級數(shù)為交錯級數(shù).先判定級數(shù)n由于當(dāng)0 x時,(n 1) sin x , dxsintsintn t0嚴(yán) 的斂散性由于級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)(n 1)nsi

24、n x , dxsi ntn tdt發(fā)散.因為原級數(shù)為交錯級數(shù)，且滿足萊布尼茲判別法的條件，因此級數(shù)為條件收斂. （3 ）這是任意項級數(shù)考慮每三項加一括號所成的級數(shù)(-n 1 aJ3n 31a 3n 213n9n2 6n(a 1) a2 2a 1n 1 (a 3n 3)(a 3n 2)( a 3n 1)此級數(shù)的通項是n的有理式，且分子的次數(shù)僅比分母的次數(shù)低一次，用比較判別法知它是發(fā)散的，由級數(shù)的基本性質(zhì)可得，原級數(shù)發(fā)散.五、關(guān)于數(shù)項級數(shù)斂散性的證明題證明某個未給出通項具體表達(dá)式的級數(shù)收斂或發(fā)散這類題，一般用級數(shù)收斂的定義、比 較判別法或級數(shù)的基本性質(zhì).例7.1.12證明：如果級數(shù)an與 bn收

25、斂，且an Cn g（n 1,2丄），則級數(shù) C.n 1n 1n 1也收斂.證明：由 an Cn bn 可得，0 Cn a. g a.；由級數(shù)收斂的基本性質(zhì)可得an）收斂，故由正項級數(shù)的比較判別法可得(cnn 1an)收斂.又由于cnn 1(Cnn 1an)an,所以級數(shù)cn收斂.n 1例 7.1.13設(shè) a12, an 11(an1)(n 1,2,L )，證明an(I) lim an存在; n（n）級數(shù)(電n 1 an 11）收斂.證明：（I）由于an 1丄），所以根據(jù)均值不等式可得anan 1i(a1 1 1又因為an1尹7 1(an故數(shù)列an有下界.2至）an ,所以an單調(diào)不增，從而由

26、單調(diào)有界準(zhǔn)an則可知，lim an存在.n(n)由(i)可知,1，所以級數(shù) 0n 1 an 11)是正項級數(shù).又因為an1an an 1anan 1 ,an 1an 1anan 1而正項級數(shù) (ann 1an 1)的前n項和a1lim annnSn(akak 1)a1an 1k 1所以正項級數(shù) (an an 1)是收斂的，由比較判別法知，原級數(shù)收斂.lim少x 0n 1例7.1.14設(shè)f(x)在點X 0的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，且1 f ()絕對收斂.n 1 n分析：已知條件中出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)，可考慮使用泰勒公式完成.證明：由于f(x)在點X 0連續(xù)，且limf(x) 0，所以可得f(0)0,

27、f (0)0 .x 0 X將f (x)在點x 0展開成一階泰勒公式，有1 2 1 2f (x) f (0) f (0)x 2! f ( )x 2 f()x .由于f (x)在點x 0的某一鄰域內(nèi)連續(xù)，故存在 M 0，使得在x 0的某小鄰域內(nèi)f (x) M，從而f(丄)n畀(當(dāng) n充分大時)1由比較判別法可知，級數(shù)f (丄)絕對收斂.例7.1.15若f (x)滿足：在區(qū)間0,n 1 n)上單增；lim f (x) A；f (x)存在，且xf (x)0 .證明(I)f(n 1) f (n)收斂;(n) f(n)收斂.n 1n證明：(I)由于 Sn f (k 1) f (k) f (n 1) f(1

28、),所以lim Snnlim f(n 1) 1k 1A 1，從而級數(shù) f(n 1) f (n)收斂.n 1(n)由于f (x)存在，且f (x) 0,所以函數(shù)f (x)單調(diào)不增又因為 f (x)在區(qū)間0,)上單增，所以必有 f (x)0,即級數(shù) f (n)是正項級數(shù).n 1根據(jù)拉格朗日中值定理可得f(n 1) f(n) f ( n), n n n 1 ,所以f (n J f ( n) f (n) 由(I)可知f (n 1)收斂,n 1f ( n)收斂，所以根據(jù)正項級數(shù)的比較判別法知，級數(shù)n 1再根據(jù)級數(shù)收斂的性質(zhì)可得級數(shù)f (n)收斂.n 1六、其它1例7.1.16設(shè)正項數(shù)列 an單調(diào)減少，且

29、(1)nan發(fā)散，判定級數(shù) ()n的斂散性.n 1n 11 an解：正項數(shù)列 an單調(diào)減少，由單調(diào)有界準(zhǔn)則可得，lim an存在，記為a ( a 0).n因為級數(shù)(n 11)nan是交錯級數(shù)，若lim an n0，由萊布尼茲判別法可知，該級數(shù)收斂.但題設(shè)該級數(shù)發(fā)散，所以必定有a 0，于是nimn(1 1an)nlim - n 1 an1由根值判別法知，級數(shù)()n收斂.n 11 an例7.1.17討論級數(shù)1 4X 1L23412n 1S X(2 n)L在哪些x處收斂？在哪些處發(fā)散?解：當(dāng)x 1時，原級數(shù)為1-2，這是交錯級數(shù)，且滿足“萊布尼茲判別法”的條件，故收斂；當(dāng)I X1時，S2n(11 L

30、311當(dāng)n時，1丄L32n1當(dāng)n時,11L丄）趨向定常數(shù)，土(12x3x故lim S2n發(fā)散，從而原級數(shù)發(fā)散; n 2n11 1 1當(dāng)X 1時，S2n1 1 （歹孑（7 1）L(2n)x12n由于x 1,所以上式中第一項以后的各項都為負(fù)的.1 1考察級數(shù)m（ k，由于limn1(2n)x1(2n)x所以根據(jù)正項級數(shù)的“比較判別法”的極限形式知，級數(shù)n1(212n-發(fā)散.1an是否收斂于零帶來困難不妨先假設(shè)級數(shù)通項an0（n），再看由遞推公式兩端取極限時能否導(dǎo)出矛從而lim Sn 1 ，即原級數(shù)發(fā)散.n綜上所述，當(dāng)X 1時，級數(shù)收斂；當(dāng) X 1時，級數(shù)發(fā)散.例7.1.18已知a1 1, an 1

31、 cosan，判定級數(shù)an的斂散性.n 1分析：該級數(shù)的通項以遞推公式給出，這給級數(shù)類型的判定以及通項盾一旦產(chǎn)生矛盾，便可確定級數(shù)發(fā)散.解：若 lim an 0，貝y lim an 1nnlimcos an 1 .這與假設(shè)矛盾.因此lim an0，原級數(shù)發(fā)散.1例7.1.19設(shè)a為常數(shù)，a1，討論級數(shù)n的斂散性.n 11 a1時，由于limnn a0，所以n叫1n a10，級數(shù)發(fā)散;1時，1 _ 1所以lim 一110，級數(shù)發(fā)散；1 an 2n 1n a2解：由于存在an，因此想到分 a 1, a 1, a 1討論.當(dāng)a當(dāng)a11n 1a a1時，由于lim”n 11 anim1anlimn1”

32、n 11 a”n 11 a當(dāng)a1 an1 ,所以級數(shù)a 7.2幕級數(shù)本節(jié)重點是求幕級數(shù)的收斂域、求幕級數(shù)的和函數(shù)、將函數(shù)展開成幕級數(shù).1n 1 1 an收斂，故級數(shù)收斂且絕對收斂.11例7.1.20已知a11,對于n 1,2丄，設(shè)曲線y11-2上點（an,二）處的切線與x軸交點Xan的橫坐標(biāo)是an 1(I)求 an, n 2,3丄；(n)設(shè)1Sn是以（an,0） , （an,飛）和（an 1,0）為頂點的三角形的面積，求級數(shù)anSn的和n 1解：（I）曲線y1 1當(dāng)上點（an,4r）處的切線方程為X一an1Y 2an23 (Xanan)從而an|an(n1,2,L ），從而an（i）n（刖由題

33、意1an(an 11an)1anan214an所以n 1n 1 (3)n 1?？贾R點精講一、函數(shù)項級數(shù)的概念1函數(shù)項級數(shù)的定義定義：設(shè)函數(shù)Un(x)(n 1,2,3L )都在D上有定義，則稱表達(dá)式Un(X) Ui(X) U2(X) Ln 1為定義在D上的一個函數(shù)項級數(shù),Un(X)稱為通項，Sn(X)Uk (X)稱為部分和函數(shù).k 12.收斂域定義：設(shè)un(x)是定義在D上的一個函數(shù)項級數(shù),n 1Xo D，若數(shù)項級數(shù)Un(Xo)收斂,n 1則稱Xo是Un(X)的一個收斂點所有收斂點構(gòu)成的集合稱為級數(shù)的收斂域.n 13.和函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)項級數(shù)Un(X)的收斂域為I，則任給X I，存在唯一的實數(shù)

34、n 1S(x)，使得S(x)un(X)成立.定義域為I的函數(shù)S(x)稱為級數(shù) un(x)的和函數(shù).n 1n 1評注：求函數(shù)項級數(shù)收斂域時，主要利用收斂域的定義及有關(guān)的數(shù)項級數(shù)的判別法.二、幕級數(shù)1幕級數(shù)的定義定義：設(shè)an (n 0,1,2,L)是一實數(shù)列，則稱形如an(x x0)n的函數(shù)項級數(shù)為x。處的n 0幕級數(shù).Xo 0時的幕級數(shù)為anxn .n 02.阿貝爾定理定理：對幕級數(shù)an(x x)n有如下的結(jié)論：n 0 如果該幕級數(shù)在點X1收斂，則對滿足an(x x0)n都絕對收斂；n 0 如果該幕級數(shù)在點X2發(fā)散，則對滿足x XdX, x0的一切的X對應(yīng)的級數(shù)X XoX2 Xo的一切的X對應(yīng)的

35、級數(shù)an(x x0)n都發(fā)散.例2.1 若幕級數(shù)an(x 2)n在x1處收斂，問此級數(shù)在 x 4處是否收斂，若收斂，n 0是絕對收斂還是條件收斂？解：由阿貝爾定理知，幕級數(shù)an(x 2)n在x 1處收斂，則對一切適合不等式n 0x 212 3(即1 x 5 )的x該級數(shù)都絕對收斂.故所給級數(shù)在x 4處收斂且絕對收斂.三、幕級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間如果幕級數(shù)an(x x)n不是僅在x 滄處收斂，也不是在整個數(shù)軸上收斂，則必定n 0存在一個正數(shù)R，它具有下述性質(zhì)：當(dāng)x x0 R時，an(x )n絕對收斂；n 0當(dāng)x x0 R時，an(x )n發(fā)散.n 0如果幕級數(shù)an(x x)n僅在x X。處收斂，

36、定義 R 0 ；如果幕級數(shù)an(x x)n在n 0n 0(,)內(nèi)收斂，則定義R .則稱上述 R為幕級數(shù)an(x x0)n的收斂半徑.稱開區(qū)間(x0 R, x0 R)為幕級數(shù)n 0an(x x0)n的收斂區(qū)間.n 0四、幕級數(shù)收斂半徑的求法求幕級數(shù)an(x x0)nn 0法一：求極限 (X令(x冷)的收斂半徑Rlimnan 1(XxJn1an(xxon1xX0m則收斂半徑為R m；法二：若an滿足limnanan 1法三；求極限(x Xo)limnn an(x xo)n令（xXo) 1X。則收斂半徑為R例2.2求下列幕級數(shù)的收斂域(x 5)n2n 1 2nn m2n n!解：收斂半徑Rliman

37、an 1limn12n 1( n 1)!2nn!所以收斂域為（收斂半徑limnananlimn1/n當(dāng)x 51時,對應(yīng)級數(shù)為（_9_這是收斂的交錯級數(shù),當(dāng)x 51時，對應(yīng)級數(shù)為這是發(fā)散的P級數(shù),于是該幕級數(shù)收斂域為4,6）；由于（x）lim 竺Jx2n2n(2n 1)x2n 2.2， 所以收斂半徑為 R令（x）1，可得x當(dāng)x .2時，對應(yīng)的級數(shù)為，此級數(shù)發(fā)散,n 12于是原幕級數(shù)的收斂域為（、2 2）.五、幕級數(shù)的性質(zhì)設(shè)幕級數(shù)an（xn 0x0）n收斂半徑為R1；bn（xn 0x0）n收斂半徑為&，則1. an(xXo)nbn(xXo)n(a.g)(xXo)n，收斂半徑 R min(尺，只2)

38、;n 0n 0n 0n2. an(xXo)nbn(xXo)n( aiXxXo)n，收斂半徑 R min (RR)；n 0n 0n 0 i 13.幕級數(shù)an(x x0)n的和函數(shù)S(x)在其收斂域I上連續(xù)；n 04幕級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項求導(dǎo)，且求導(dǎo)后所得到的幕級數(shù)的收斂半徑仍為R 即有S(x) an(x x0)nan(x x)nn a.(x x)n1 .n 0n 0n 15幕級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項積分，且積分后所得到的幕級數(shù)的收斂半徑仍為R 即有xxS(x)dx an(x x0)ndxx0x0 n 0xan(x x)ndxx00*an(xn 1X。)例2.3用逐項求導(dǎo)或逐項積分求下列幕

39、級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)n 1 , nx (n 11 x 1)114n 1( 1 x 1x4n解：令S(x)nxn 1(x 1)，則x0 S(x)dxx0(nnx1)dxn所以S”)胃(1 x)2,(1);令S(x)4n 1-(1n 1 4n 11)，則x4n 1S(x) JR)x4n4x1x4所以 S(x)0xdx0 1 xx0( 111 x2)dxx1 arcta nx2x, ( 1 x 1).六、函數(shù)展開成幕級數(shù)1函數(shù)展開成幕級數(shù)的定義定義：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，X。I，若存在幕級數(shù)an(x Xo)n，使得n 0f(x)an(x Xo)n, X In 0則稱f (x)在區(qū)間I上

40、能展開成x0處的幕級數(shù).2 展開形式的唯一性定理：若函數(shù)f (x)在區(qū)間I上能展開成x0處的幕級數(shù)f (x)an(x X0)n, x In 0則其展開式是唯一的，且an血(n 0,1,2,L ). n!七、泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)1泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)的定義定義：如果f(X)在X0的某一鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱幕級數(shù)f(n)(X0)n 0 n!(X X0)nf(X0)1!f(X0)(x X0) Lf(n)(X0)(X X)n為函數(shù)f (X)在X0點的泰勒級數(shù).X。 0時，稱幕級數(shù)f (n)(0) nXn 0 n!f(0)罟 Xf(n)(0) nXn!為函數(shù)f (x)的麥克勞林級數(shù).2函數(shù)展開

41、成泰勒級數(shù)的充要條件定理：函數(shù)f (X)在x0 I處的泰勒級數(shù)在上收斂到f (x)的充分必要條件是:f (x)在 X0處的泰勒公式nf(X) k0 k!Sx X0)k R(X)的余項Rn(x)在I上收斂到零，即對任意的X I，都有l(wèi)im Rn(x) 0.八、函數(shù)展開成幕級數(shù)的方法1.直接法利用泰勒級數(shù)的定義及泰勒級數(shù)收斂的充要條件，將函數(shù)在某個區(qū)間上直接展開成指定點的泰勒級數(shù)的方法.2 間接法通過一定的運算將函數(shù)轉(zhuǎn)化為其它函數(shù)，進(jìn)而利用新函數(shù)的幕級數(shù)展開將原來的函數(shù)展 開成幕級數(shù)的方法.所用的運算主要是四則運算、(逐項)積分、(逐項)求導(dǎo)、變量代換.利 用的幕級數(shù)展開式是下列一些常用函數(shù)的麥克

42、勞林展開公式.幕級數(shù)常用的七個展開式sin xx2n11)n(2n 1)!cosx1)2n n x(2n)ln(1x)n 11)n.n 1(1 x)(1)2!x2(1)(2)L ( n 1)xn L , x ( 1,1)n!1)n1,1)1,1) 常考題型及其解法與技巧、阿貝爾定理的應(yīng)用例7.2.1設(shè)幕級數(shù)anxn的收斂半徑為2,則幕級數(shù)an(x3)n在下列點處必收斂n 0n 1(A)2,3,4,e(B)12, 1,0,-e(C)1,5(D)1,2,3,4,5, e解：由于anxn與 an(x 3)n有相同的收斂半徑，所以當(dāng) x 3 2的時候?qū)?yīng)的級數(shù)n 0n 1an(x 3)n都絕對收斂，顯

43、然集合2,3,4,e中的點都滿足不等式 x 3 2，故選(A)例7.2.2如級數(shù)nanxn在x 2處收斂,0解：由阿貝爾定理,對一切x 2的x值,級數(shù)anxnn 0絕對收斂，1從而級數(shù)an(x -)nn 02滿足：對一切2的x值，級數(shù)an(x )nn 02絕對收斂.x2顯然不滿足2，故級數(shù)an(x丄)在x2處斂散性不確定.o2例723設(shè)1)nan2n收斂，則ann 1(A )條件收斂(B)絕對收斂(C)發(fā)散(D)不定解：考查幕級數(shù)nanX，由于(1)n an2n收斂，所以幕級數(shù)1anX1n在x 2點收斂,根據(jù)阿貝爾定理當(dāng)2時,對應(yīng)的幕級數(shù)都絕對收斂，所以當(dāng)x 1時，對應(yīng)的幕級數(shù)絕對收斂，而此時對應(yīng)級數(shù)為an .所以應(yīng)選(B)n 1例7.2.4設(shè)幕級數(shù)an(xn 11)n在x 3處條件收斂，則該幕級數(shù)的收斂半徑為解：由于 an(xn 11)n在x 3處條件收斂，由阿貝爾定理得，當(dāng)x 14時級數(shù)1問級數(shù)an(x -)n在x 2處斂散性怎樣?2an(x 1)n絕對收斂.所以收斂半徑 R 4 ;n 1假設(shè)R 4.由收斂半徑的定義知x 1R時，對應(yīng)的級數(shù)都絕對收斂，所以級數(shù)在x 3處應(yīng)絕對收斂，矛盾.所以 R 4 .因此收斂半徑R 4 .二、收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域求幕級數(shù)收斂半徑的方法我們在?？贾R點中介紹過，如果幕級數(shù)中的幕次是按自然數(shù)順序依次遞增的，這時幕級數(shù)an(