北大附中高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)圓錐曲線

1、教學(xué)內(nèi)容：圓錐曲線【考點(diǎn)梳理】一、考試內(nèi)容1曲線和方程。由已知條件列出曲線的方程。充要條件。曲線的交點(diǎn)。2橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程。焦點(diǎn)、焦距。橢圓的幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸、離心率、準(zhǔn)線。橢圓的畫法。3雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程。焦點(diǎn)、焦距。雙曲線的幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱性、實(shí)軸、虛軸、漸近線、離心率、準(zhǔn)線。雙曲線的畫法。等邊雙曲線。4拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程。焦點(diǎn)、準(zhǔn)線。拋物線的幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率。拋物線的畫法。5坐標(biāo)軸的平移。利用坐標(biāo)軸的平移化簡(jiǎn)圓錐曲線方程。二、考試要求1掌握直角坐標(biāo)系中的曲線方程的關(guān)系和軌跡的概念。能夠根據(jù)所給條件，選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系求曲線的方程，并畫出方

2、程所表示的曲線。理解充分條件、必要條件、充要條件的意義，能夠初步判斷給定的兩個(gè)命題的充要關(guān)系。2掌握?qǐng)A錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)。會(huì)根據(jù)所給的條件畫圓錐曲線。了解圓錐曲線的一些實(shí)際應(yīng)用。對(duì)于圓錐曲線的內(nèi)容，不要求解有關(guān)兩個(gè)二次曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)的問題（兩圓的交點(diǎn)除外）。3理解坐標(biāo)變換的意義，掌握利用坐標(biāo)軸平移化簡(jiǎn)圓錐曲線方程的方法。4了解用坐標(biāo)研究幾何問題的思想，初步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的方法。三、考點(diǎn)簡(jiǎn)析1“曲線的方程”和“方程的曲線”的概念在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線c（看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是

3、這個(gè)方程的解；（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。那么這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。2充要條件（1）對(duì)于已知條件a和條件b，若a成立則b成立，即ab，這時(shí)稱條件a是b成立的充分條件。（2）對(duì)于已知條件a和條件b，若b成立則a成立，即ba，這時(shí)稱條件a是b成立的必要條件。（3）若既有ab，又有ba，那么a既是b成立的充分條件，又是b成立的必要條件，這時(shí)稱a是b成立的充要條件。3圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)（各選其中一種為例，其余同理研究）如下表：橢圓雙曲線拋物線定義1平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)f1、f2的距離之和等于定值2a(2a|f1f2|的點(diǎn)的軌跡平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)f1

4、、f2的距離之差的絕對(duì)值等于定值2a(02a|f1f2|，的點(diǎn)的軌跡平面內(nèi)到定點(diǎn)f和定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡定義2平面內(nèi)到定點(diǎn)f與到定直線l的距離之比是常數(shù)e(0e1)的點(diǎn)的軌跡。平面內(nèi)到定點(diǎn)f與到定直線l的距離之比是常數(shù)e(e=1)的點(diǎn)的軌跡。標(biāo)準(zhǔn)方程+=1(ab0)-=1(ab0)y2=2px(p0)圖形頂點(diǎn)坐標(biāo)(a,0)(0, b)(a,0)(0,0)對(duì)稱軸x軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2ay軸，短軸長(zhǎng)為2bx軸，實(shí)軸長(zhǎng)為2ay軸，虛軸長(zhǎng)為2bx軸焦點(diǎn)坐標(biāo)(c,0)c=(c,0)c=(，0)焦距2c2c，離心率(e=)0e1e=1準(zhǔn)線x=x=x= -漸近線，y=x，點(diǎn)m(x0,y0)的焦半徑公式|m

5、f右|=a-ex0|mf左|=a+ex0x0+4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從幾何角度可分為三類：無(wú)公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異公共點(diǎn)。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究方法可通過代數(shù)方法即解方程組的辦法來研究。因?yàn)榉匠探M解的個(gè)數(shù)與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是一樣的。5直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式設(shè)直線l:y=kx+n，圓錐曲線：f(x,y)=0，它們的交點(diǎn)為p1 (x1,y1)，p2 (x2,y2)，且由 消去yax2+bx+c=0 （a0） =b2- 4ac。則弦長(zhǎng)公式為d=6坐標(biāo)軸的平移及移軸公式坐標(biāo)軸的方向和長(zhǎng)度單位都不改變，只改變?cè)c(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫坐標(biāo)軸的平移，簡(jiǎn)

6、稱移軸。移軸公式或，這里(x,y)，(x,y)，(h,k)分別為原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，新原點(diǎn)在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。四、思想方法1求軌跡方程的基本方法有兩大類，即直接法和間接法。其中直接法包括：直譯法，定義法，待定系數(shù)法，公式法等。間接法包括：轉(zhuǎn)移法，參數(shù)法(k參數(shù)、t參數(shù)，參數(shù)及多個(gè)參數(shù))等。2本節(jié)解題時(shí)用到的主要數(shù)學(xué)思想方法有：（1）函數(shù)方程思想。求平面曲線的軌跡方程，其解決問題的最終落腳點(diǎn)就是將幾何條件(性質(zhì))表示為動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y的方程或函數(shù)關(guān)系（參數(shù)法）。（2）數(shù)形結(jié)合思想。解題時(shí)重視方程的幾何意義和圖形的輔助作用是非常必要的。即將對(duì)幾何圖形的研究，轉(zhuǎn)化為對(duì)代數(shù)式的研究，同時(shí)

7、又要理解代數(shù)問題的幾何意義。（3）等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。在解決問題的過程中往往需要將一個(gè)問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一個(gè)較為簡(jiǎn)單的問題去求解。3避免繁復(fù)運(yùn)算的基本方法可以概括為：回避，選擇，尋求。所謂回避，就是根據(jù)題設(shè)的幾何特征，靈活運(yùn)用曲線的有關(guān)定義、性質(zhì)等，從而避免化簡(jiǎn)方程、求交點(diǎn)、解方程等繁復(fù)的運(yùn)算。所謂選擇，就是選擇合適的公式，合適的參變量，合適的坐標(biāo)系等，一般以直接性和間接性為基本原則。因?yàn)閷?duì)普通方程運(yùn)算復(fù)雜的問題，用參數(shù)方程可能會(huì)簡(jiǎn)單；在某一直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問題，通過移軸可能會(huì)簡(jiǎn)單；在直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問題，在極坐標(biāo)系下可能會(huì)簡(jiǎn)單“所謂尋求”?！纠}解析】例1 設(shè)直線l：x=，定點(diǎn)a(,0)

8、，動(dòng)點(diǎn)p到直線l的距離為d，且=。求動(dòng)點(diǎn)p的軌跡c的方程。解 設(shè)動(dòng)點(diǎn)p(x,y)。由題意得=，由兩邊平方得，x2-2x+3+y2=(x2-x+)，即x2 - x+y2=。經(jīng)配方得(x-)2+y2=，即(x-)2+=1。例2 已知拋物線c的對(duì)稱軸與y軸平行，頂點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5。若將拋物線c向上平移3個(gè)單位，則在x軸上截得的線段長(zhǎng)為原拋物線c在x軸上截得的線段長(zhǎng)的一半；若將拋物線c向左平移1個(gè)單位，則所得拋物線過原點(diǎn)，求拋物線c的方程。解 設(shè)所求拋物線方程為(x-h)2=a(y-k)(ar,a0) 由的頂點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5，得=5在中，令y=0，得x2-2hx+h2+ak=0。設(shè)方程的二根為x1

9、,x2，則|x1-x2|=2。將拋物線向上平移3個(gè)單位，得拋物線的方程為(x-h)2=a(y-k-3)令y=0，得x2-2hx+h2+ak+3a=0。設(shè)方程的二根為x3,x4，則|x3-x4|=2。依題意得2=2，即 4(ak+3a)=ak 將拋物線向左平移1個(gè)單位，得(x-h+1)2=a(y-k),由拋物線過原點(diǎn)，得(1-h)2=-ak 由得a=1，h=3,k=-4或a=4，h=-3,k=-4。所求拋物線方程為(x-3)2=y+4，或(x+3)2=4(y+4)。例3 設(shè)橢圓+=1的兩焦點(diǎn)為f1、f2，長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)為a1、a2。（1）p是橢圓上一點(diǎn)，且f1pf2=60，求f1pf2的面積；（2）

10、若橢圓上存在一點(diǎn)q，使a1qa2=120，求橢圓離心率e的取值范圍。解 （1）設(shè)|pf1|=r1,|pf2|=r2,則r1+r2=2a。在f1pf2中，|f1f2|=2c, f1pf2=60,由余弦定理，得4c2=r12+r22 2r1r2cos60=(r1+r2)2 3r1r2,將r1+r2=2a代入，得r1r2=(a2-c2)= b2sfpf=r1r2sin60=b2=b2。（2）設(shè)點(diǎn)q的坐標(biāo)為(x0,y0)，則b2x02+a2y02=a2b2。a1qa2=120,又不妨設(shè)a1(a,0),a2(-a,0)，tan（-a1qa2）=將x02=a2 -y02代入得= 解得,y0=-by0b b

11、2+2ab -a20即()2+2()-0，解得，e2=1-，且e21。eb0)待添加的隱藏文字內(nèi)容2其中b=1。又設(shè)右焦點(diǎn)為(c,0)，則=3，解得c=,a=。橢圓方程為+y2=1。（2）設(shè)p為mn的中點(diǎn)，解方程組得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0= -12m2+36k2+120，得m2m2,解得0m0，解得m。m0 (1)又pq的中點(diǎn)m(xm,ym)在l上，且將xm、ym代入l的方程得=-1，即b=,代入（1）式解得：k(-,-1)（-，0）(0, )(1,+)。k（-，-1）（-，0）(0, )(1,+)時(shí)，c與c有不在l上的公共點(diǎn)。由于與中，k的解集的并集為實(shí)數(shù)集r，不論

12、實(shí)數(shù)k為何值，c與c恒有公共點(diǎn)。例7 已知橢圓c的方程為x2+=1，點(diǎn)p(a,b)的坐標(biāo)滿足a2+1。過點(diǎn)p的直線l與橢圓交于a、b兩點(diǎn)，點(diǎn)q為線段ab的中點(diǎn)，求：（1）點(diǎn)q的軌跡方程；（2）點(diǎn)q的軌跡與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。解 （1）設(shè)點(diǎn)a、b的坐標(biāo)分別為a(x1,y1)、b(x2,y2)，點(diǎn)q的坐標(biāo)為（x,y）。當(dāng)x1x2時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為y=k(x-a)+b。又已知x12+=1,x22+=1 y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b 由得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 由得y1+ y2=k(x1+x2)-2ak+2b 由、及x=，

13、y=,k=得點(diǎn)q的坐標(biāo)滿足方程2x2+y2-2ax-by=0當(dāng)x1=x2時(shí)，k不存在，此時(shí)l平行于y軸，因此ab的中點(diǎn)q一定落在x軸上，即q的坐標(biāo)為(a,0)。顯然點(diǎn)q的坐標(biāo)滿足方程。綜上所述，點(diǎn)q的坐標(biāo)滿足方程2x2+y2-2ax-by=0設(shè)方程所表示的曲線為l，則由得(2a2+b2)x2-4ax+2-b2=0因?yàn)?8b2(a2+-1),又已知a2+1,所以當(dāng)a2+=1時(shí)，=0，曲線l與橢圓c有且只有一個(gè)交點(diǎn)p(a,b)。當(dāng)a2+1時(shí)，0，曲線l與橢圓沒有交點(diǎn)。因?yàn)?0,0)在橢圓c內(nèi)，又在曲線l上，所以曲線l在橢圓內(nèi)。故點(diǎn)q的軌跡方程為2x2+y2-2ax-by=0（-1x1）。（2）由解

14、得曲線l與y軸交于點(diǎn)(0,0),(0,b)。由解得曲線l與x軸交于點(diǎn)(0,0),(a,0)。當(dāng)a=0，b=0，即點(diǎn)p(a,b)為原點(diǎn)時(shí)，(a,0)、（0,b）與(0,0)重合，曲線l與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)(0,0)。當(dāng)a=0，且0|b|1，即點(diǎn)p(a,b)不在橢圓c外且在除去原點(diǎn)的y軸上時(shí)，曲線l與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)(0，b)與(0,0)。同理，當(dāng)b=0且0|a|1時(shí)，曲線成坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)（a,0）,（0,0）。當(dāng)0|a|1，00)s()= |pq|d=2當(dāng)且僅當(dāng)sin=時(shí)，即sin=,=arcsin時(shí)，等號(hào)成立。s()的最大值為2。例9 設(shè)拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為f，經(jīng)過點(diǎn)f的直線交拋物線于a、b兩點(diǎn)，點(diǎn)c在拋物線的準(zhǔn)線上，且bcx軸。證明直線ac經(jīng)過原點(diǎn)o（2001年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題）證明一 如圖10-4，因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為f（，0），所以經(jīng)過點(diǎn)f的直線ab的方程可設(shè)為x=my+;代入拋物線方程得y2-2pmy-p2=0。若記a(x1,y1),b(x2,y2)，則y1,y2是該