大學(xué)一年級(jí)高數(shù)期末考試題及答案

1、 第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試卷答案 卷答案第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試 道小題，每道小題 7 分），一計(jì)算題（本題滿分 35 分，共有 5 xx?2?cosx?1? lim 求極限 1 3xsin 0?x 解： x?xcos1? ? ? x x?cos1? ? 2x1? ? xx? 1?2?cosx?1? ? 2? ? 2 lim ? ? lim lim? 3 33 xsin xx 0?x0x?0x? x ? cos 1? cos x1 ?cos ? 11?cosx x ? ?lnlnx ? ln?xxln? 1? e1? e?2 ?2 ? 22 lim? lim limlim? ? ? 3 x

2、1 ? cos x23 xx0x? 0x?0x?0?xlnx 2 1xsin ? lim ? ? ? ? ?4 12 ? cos xx 0?x 3 x2x ? ?kAdtAx kf 與時(shí)，設(shè)與窮與小，求常數(shù)等價(jià)無?xf ? 0 x2 t 小，是等價(jià)無窮 2 0 解： 3 x?dtf?t 3x ? Afdt與?klim 1 0? x ?等價(jià)無窮小，所以而時(shí)，由于當(dāng)t0 k Ax 0?x x x0? ? 3? f x? ? ?23f ?x?3x?x 2? ?x ?lim3? ? lim1 31x lim? ? dtf?2 2 ? 2233133 x3 ? lim? lim 1?k1kk?21?k1

3、k?Akxkx? 6 AxA kx 6 A 0x? 0x?Akx 0?x 0x? x ?0 ? 3x ? ? 2 lim 所以，? A1, 1? k? 因此， 6 6kx A 0x?11 1?k ?dx足的條件應(yīng)滿與中不含有對(duì)數(shù)函數(shù)，求常數(shù)ba? ? ? x?11?x 2 bax ? ? x 3分如果不定積 22 解： 頁 7 共 頁 1 第 第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試卷答案 2b ? ax x? 化為部分分式，有將 21 ? ? 2?1x?x? 2 DB Cx ? ax ? bAx? ? ， ? ?22?x? 1 1x ?1x?1 1?x? x22 2 ?dxb? ? ax x中不含有對(duì)數(shù)函

4、數(shù)的充分必要條件是上式中的待定系數(shù) ? ? ? xx?1?1 因此不定積分 2 2 0?A C ? ? 2 ?1x?BD1?x?22 DB ? bx ? ax ? 即 ? ? 22? 2x?x12? 22 ?x?1 ?1 x 1xx?1 1 ? 所以，有xxax?b?B? ? 2222xx?D?DB?1 D? B? 2Dx ? 1? D b D B ? ,a ? 2D, b ? B?1 ?比較上式兩端的系數(shù)，有所以，得 5 2? ?dxx?2 ?1, min 分積 計(jì)算定 5 0 解： 1 ? ? x ? 2x ?2 ? ?2x?1,min? 11 x ? 2 ? ? 1?x ? 2 ? x

5、1 21?x? ? ? ? 2?x3 ? 2 ? x ? ? ?1?x?2dx?12dx?x?2dx?dx?x? ? ? x ? 3 55 2 1 2132 1,min 所以， 8 2 0 10 ? 3 sinC r C ?a 的全方程線設(shè)曲的極坐標(biāo)為線，求曲長 5 3 解： ? ?3 ? r sin0 ? a C? 3? ? 0 一周的定義域?yàn)榍€的全長為，即因此曲線 33 ?33 3?3 22426222 sin a s ?asin?sind?acos? ? 3 2333 00 0 頁頁 共 7 第 2? ?rr?d ?ad ? ? ? 第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試卷答案 分）， 5 道小題

6、，每道小題 9二（本題滿分 45 分，共有 ?x sin ? ?lim?xf 斷點(diǎn)的類型間斷點(diǎn)，并指出這些間的所有 6求出函數(shù) n2? ?nx?2 1 解： 1 ? ?xsin ? x? ? 2 ? 1 1 ? x? ? ? xsin 2 2? ? lim?fx ? 1 n21? ?nx 1?2 ? ?x 22 ? ?1 0 ? x ?2 ? 11 ? ?與因此?xx的間斷點(diǎn)是函數(shù)x f 2122 1 ?x0?limfxxf?limsin?x?flim?x1?lim0 的第一類是函數(shù)，因此? ?21111 xx?x? x? ? 2222 可去型間斷點(diǎn) 1 ? ?lim0lim1f?limfxx

7、lim?sinxx0? ，因此，的第一類可去是函數(shù)x f? ?2 ?111 ?x?x?x?x 12222 型間斷點(diǎn) ? ? ? ，設(shè)值（拉格朗日）中是函數(shù)上使用值在區(qū)間定理中的中b0,arcsin f xx? ”“7Lagrange ? lim 求極限 b 0b? 解：? ? ? ? ，使得上應(yīng)用在區(qū)間中值定理，知存在b 0,0, bf ?x? arcsin xLagrange 1 ? arcsin 0arcsin b ? 0 b ? 2? ?1 2 b? 2?1?所以，? 因此，? barcsin? ? 2 b? ?1? ? ?barcsinb? arcsinb ?2 22 ? lim li

8、mlim? 2 ? ?22b 2 0b? bb barcsin 0?b0b? b t?arcsin ，則有令 頁 7 共 頁 3 第 第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試卷答案 22222?t ? sin? sin tt t lim lim?lim? 4222 tb tsin t 0b?0?0t?t sin 2 ? 11 ? cos 2t12 sin 2t12tt2 ? 2 cos 2t lim? lim lim?lim? 2233t662 t124tt 0t?0t? 00t?t ?1 ? lim所以， b3 0b? 1x1?dxdyfx，求? ? ? y 2?y設(shè)? fx e8 ? 00 解： 11?

9、 ?dxxfxxffxx?dx? 1 ? 0 00 x?1 ? ?y?2 y在方程?x fe?1dy x ? 得中，令， 0 10?1?y?y2e?1f0?edydy? ? ? yy2? 00 x?1 ? ?2?x?1?再在方程?fx y2? ye，兩端對(duì)求導(dǎo)，得e?xdyx f ? 0 11 1 1?dxdxf?xxfdx?xx?xfxfx 因此，? 0 0 00 111 11? 22 x?1?xx? xe?xedx?e? ?ee?1edx? ? ? 22? 0 00 ? 2x根的個(gè)數(shù)在區(qū)間內(nèi)實(shí)? ?,? 0? e ?a x a研究方程 9 解： ? x?x2?x? ?，設(shè)函數(shù)e x axe

10、? ax2 1? f? x? 2axe ?eaxx ? f x? 2 ? ?，得函數(shù)令的駐點(diǎn)2?0f0,f?xxxx? 21 0? a ，所以由于 ? x?2，?1?xlim?axeflim? x x 2? 2xx2? ? ?1?lim?1?a?alim11?alim?1ex?limaxflimx ?2 xxx ee e ?xx ?xx?x? 頁 7 共 頁 4 第 第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試卷答案 ? 的性態(tài)因此，得函數(shù)x f 20 ? ? ?11 ? 2?xf? 1 ? 4ae x?2 2 0 ? ? 1 a，即 ae4 若2 e ? ? ? ?時(shí)，函數(shù)e?f axx 內(nèi)在、? 00,?

11、122,? , 4 ?2x個(gè)實(shí)根內(nèi)有? ?3 ? 在各有一個(gè)零點(diǎn)，即方程,? x ? e ? a 2e ? ? ?2? x2 ?ae4 ? ? 1 ? 0 a內(nèi)各有一個(gè)在若、，即? 0? ?,? 1 0, ? ? ?時(shí)，函數(shù)e? xax f 4 ?2x個(gè)實(shí)根內(nèi)有? ?2 ? 在零點(diǎn)，即方程,? e ? a x 2e ? ?2x?2 ? ae4 ? ? 1 ? 0 a有一個(gè)零點(diǎn)，即方程若在，即0, ? ? 1 ? 時(shí)，函數(shù)e f? xax 4 ?2x內(nèi)有在個(gè)實(shí)根? ? e ? a x?,1 ?可導(dǎo)設(shè)函數(shù)，且滿足xf 10 ? ?，0fx ? f 1? x0? xf ?的極值試求函數(shù)x f 解：

12、? ? ?，即在方程，得中令1 ? f ? ? f x? ? xtf txf? 1x t ? ? t ?1? ? x ? xxf f ? ?，得中消去x ? f ?x?xfxx?f? ?xx?xxf?f?在方程組 ? 2x ? x ? ? xf 21 ? x x ? ? ?即dt，得積分，注意2? x ff0 ?0 f0? t t ? 2 t?1 0 頁 7 共 頁 5 第 第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試卷答案 2x1? tt ? ? ?fx? 2 xarctan?1?dt?x?lnx 22t? 1 0 22x? 2x x ? x1 ? ? ?而得函數(shù)的駐點(diǎn)?fx0,xf?x1?x由所以， ? f

13、 x 21? ? 222x? 1 x?1 1 ?，0 ? f 1 0? 1 ? 0 f 2 ?1 ? ? ? ?極大值是函數(shù)x f極小值；所以，是函數(shù) ? ? x? f1 f1?00? f?ln 2 24 三應(yīng)用題與證明題（本題滿分 20分，共有 2 道小題，每道小題 10， 分） x2 ?x 0 x l y ?x旋所圍成的和圖軸該曲線與切線線線求曲及直形繞的一條切線，使得 11 轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)最小體的體積為 解： ? ? ? ?1 ttt在處的切線方程為，由設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 xty?, , ? y ，可知曲線 t2 11 ? ? ?t y ? ，或tx yt ? x ? t t22 因此所求旋轉(zhuǎn)體的體

14、積為 ? ? 2? 2 ? t2x?4dx? ? ?1 ?V2 ? tx? ? ? ? 38t 4 t2 ? ? ? ?0 ?8dV? 22 ? ? t ，舍去 所以， 由于?2t?0?得駐點(diǎn)? ? 2 dt33 ? 4 ?16 t3 2 2Vd ? 0V t ?在處達(dá)到極小值，而且也是最小值因此所求 ，因而函數(shù) 2 2 dt 3 2 t34 2 ?t?t 33 13 ? y?x 切線方程為 24 ? ? ? ，內(nèi)可間連續(xù)，在開區(qū)導(dǎo)，且間函數(shù)設(shè)在閉區(qū)上1 00 112xf 2 ?1 ? xf? arctanxdx，0? f1 e ? 2 0 頁 7 共 頁 6 第 第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試卷答案 1? ? ? ?，? 證明：至少存在一點(diǎn)，使得? f 1 ? 0 ? 2?arctan?1 解： ?2 ?f0,x0,1? 上連續(xù)，所以由積分中值定理，知存在在閉區(qū)間因?yàn)?? ? ，使得 ? ? 2 ?2 ? ?f?xf?xdx arctan arctane e ? ? ? 0 2 ?211 ? ? ? ?fxf?xdx arctan e，得再由0 f ?1 ? ?arctan e 由于 ，所以， ? 22 0 ?f? arctane? ? ? f1e arctan1? 4? ? xf作函數(shù)e? g x ? ?內(nèi)可導(dǎo)所以由，則函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，