風(fēng)險(xiǎn)中性過(guò)程的非參數(shù)估計(jì)二

1、風(fēng)險(xiǎn)中性過(guò)程的非參數(shù)估計(jì)（二）劉忠 茆詩(shī)松2012-9-27 10:07:01來(lái)源：應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)2003 年第 4 期二、衍生證券定價(jià)當(dāng)用連續(xù)模型描述基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格或收益過(guò)程時(shí)，一般能夠給出衍生證券的精確定價(jià)形式，但眾所周知，連續(xù)模型的參數(shù)估計(jì)相當(dāng)困難，而且衍生證券一般沒(méi)有解析形式，通常依賴于一定的數(shù)值求解方法。在應(yīng)用中通常是用離散模型描述基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格或收益過(guò)程，然而，在一般情況下，此時(shí)只能給出近似的衍生證券定價(jià)。劉忠(1998) 對(duì)此有較詳細(xì)的敘述。（一）近似的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)假設(shè)仍用一階滯后模型 (7) 描述基礎(chǔ)資產(chǎn)的收益，對(duì)于在中性定價(jià)理論，其在 t 時(shí)刻的價(jià)格為T(mén) 時(shí)刻到期，且到期時(shí)價(jià)格為

2、的歐式衍生證券，根據(jù)引言所述的風(fēng)險(xiǎn)（三） Black-Scholes公式定價(jià)還可以結(jié)合一定的參數(shù)定價(jià)模型來(lái)實(shí)現(xiàn)定價(jià)。比如，如果是對(duì)歐式期權(quán)定價(jià)或美式期權(quán)定價(jià)，可以將條件方差函數(shù)的非參數(shù)估計(jì)與 BS公式結(jié)合起來(lái)實(shí)現(xiàn)定價(jià)。我們知道，BS公式是假設(shè)基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的情形下得到的。盡管對(duì)于一般的離散模型(7) ， BS公式通常不再是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的結(jié)果，但是，在許多時(shí)候，比如收益的方差是時(shí)間的函數(shù)時(shí)，或者收益的方差是 It 過(guò)程時(shí)， BS公式仍然成立或者近似成立，但此時(shí) BS公式中的方差應(yīng)該是期權(quán)有效期內(nèi)中的平均方差。劉忠 (1998) 對(duì)此有較詳細(xì)的說(shuō)明。因而，即使是一般的離散模型 (7)

3、，對(duì)于歐式期權(quán)的定價(jià)采用BS公式仍然是合理的。顯然，采用 BS公式 (5) 對(duì)期權(quán)定價(jià)時(shí)，如果無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率已知，方差就是唯一需要估計(jì)的量，而且上述討論說(shuō)明，一般情況下應(yīng)該用期權(quán)有效期內(nèi)的平均方差的估計(jì)代替BS公式的。當(dāng)然，最簡(jiǎn)單的也是最為常用的是將基礎(chǔ)資產(chǎn)的歷史收益的樣本方差作為的估計(jì)，但這忽略了金融數(shù)據(jù)的條件異方差的個(gè)實(shí)。另外，歷史樣本段長(zhǎng)度的選取也是沒(méi)有合理的準(zhǔn)則的，也正因?yàn)闂l件異方差性，不同樣本段的樣本方差可能有較大的差異。這在許多文獻(xiàn)中都有說(shuō)明，比如 Rubinstein(1994) 。最后，如果是對(duì)美式期權(quán)定價(jià)的話，由于要估計(jì)各個(gè)時(shí)間段內(nèi)的平均方差，情況可能會(huì)更糟糕。由于參數(shù)化模型估計(jì)

4、的諸多缺點(diǎn)，采用一給出一些非參數(shù)估計(jì)是可取的。假設(shè)已經(jīng)得到了收益的條件方差函數(shù) v(x) 的估計(jì)。不妨假設(shè)期權(quán)的有效期是從n1 到 n T 這段時(shí)間，獲得期權(quán)有效期內(nèi)的平均方差的估計(jì)可以有多種方法。一種方法是逐步預(yù)測(cè)方法。首先對(duì)數(shù)會(huì)比較多，實(shí)現(xiàn)起來(lái)不太自然。進(jìn)行預(yù)測(cè)，然后再進(jìn)行方差的預(yù)測(cè)。如果期權(quán)有效期比較長(zhǎng)，這樣預(yù)測(cè)的步可以看到，基于歷史樣本方基的BS公式對(duì)三種執(zhí)行價(jià)的期權(quán)定價(jià)都有些偏高，非參數(shù)方差估計(jì)的定價(jià)對(duì)平值期權(quán)和虛值期權(quán)的定價(jià)偏低，而對(duì)實(shí)值期權(quán)的定價(jià)非參數(shù)方差估計(jì)的定價(jià)要比基于歷史樣本方差的定價(jià)要稍好些。從而非參數(shù)估計(jì)的定價(jià)區(qū)間看，都比理論結(jié)果（如果假設(shè)模擬的理論期權(quán)價(jià)格服從正態(tài)分布

5、）大。由于在模型 (27) 下用 BS公式定價(jià)本身就是近似的，所以兩種方法的定價(jià)有一定的偏差是可以理解的。另外，這里對(duì)模型(27) 設(shè)定的參數(shù)使條件異方差性表現(xiàn)得還不是很強(qiáng)烈，所以非參數(shù)方差函數(shù)估計(jì)的定價(jià)比基于歷史樣本方差的定價(jià)的優(yōu)越性還沒(méi)有充分體現(xiàn)出來(lái)。而且，由于計(jì)算速度的原因，這里進(jìn)行模擬的次數(shù)還比較少，更多的模擬結(jié)果可能會(huì)得到更有說(shuō)服力的結(jié)果。而非參數(shù)定價(jià)的置信區(qū)間一般較大，這是因?yàn)榉菂?shù)估計(jì)本身的方差就一般較大，況且這里是對(duì)條件方差函數(shù)的非參數(shù)估計(jì)。所以，從這里的模擬計(jì)算看，非參數(shù)方差估計(jì)的定價(jià)是可行的。當(dāng)然，對(duì)于這樣的非參數(shù)定價(jià)，條件方差函數(shù)的估計(jì)好壞定價(jià)結(jié)果有很關(guān)鍵的影響。然而，由

6、于條件方差函數(shù)的非參數(shù)估計(jì)還有許多問(wèn)題沒(méi)得到很好的解決，所以付諸實(shí)踐可能還有一段較長(zhǎng)的路。參考文獻(xiàn)：1Cleveland,W.S.andDevlin,S.J.,LocallyWeighted Regression:AnApproach toRegressionAnalysisby LocalFitting,J.A.S.A.,83(1988),596-610.2Duffie,D.,DynamicAsset PricingTheory,PrincetonUniversityPress,1992.3Fan,J.,Design-adaptiveNonparametricRegression,J.A.S

7、.A.,87(1992),998-1004.4Fan,J.,LocalLinearRegressionSmoothers and TheirMinimax Efficiencies,Ann.Statist.,21(1993),196-216.5Ghysels,E.,Harvey,A.C.andRenault,E.,StochasticVolatility,HandbookofStatistics.14,StatisticalMethod inFinance,Editedby G.S.Maddala and C.R.Rao,1996.6Hardle,W.andTsybakov,A.,Locall

8、yPolynomialEstimatesofVolatilityFunctioninNonparametricAutoregression,JournalofEconometrics,81(1997),223-242.7Hardle,W.,Lutkepohl,H.andChen,R.,AReview of NonparametricTime SeriesAnalysis,InternationalStatisticsReview,65(1)(1997).8Haste,T.andLoader,C.,LocallyWeighted Regression,StatisticalScience,8(2

9、)(1993).9Hull,J.,Options,Futuresand Other DerivativeSecurities,2ndEdition,Prentics-Hall,1993.（張?zhí)諅プg）10 劉忠 . 衍生證券定價(jià)的非參數(shù)方法，華東師范大學(xué)一九九八屆博士學(xué)位論文，1998.11Robinson,P.M.,Non-parametricEstimationforTime SeriesModels,JournalofTime SeriesAnalysis,4(1983),185-208.12Rubinstein,M.,ImpliedBinomialTrees,JournalofFinance,Vol.LXIX,1994(3