9章直梁彎曲強(qiáng)度計算

1、 第9章梁彎曲 強(qiáng)度計算 9.1 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力 9.2 梁的彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度計算 9.4提高 梁彎曲強(qiáng)度的措施 9.3梁的彎曲切應(yīng)力和強(qiáng)度條件 學(xué)習(xí)目標(biāo)與基本要求 1. 了解平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力的分析方法； 3.能熟練掌握彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件及應(yīng)用； 4.對彎曲切應(yīng)力有初步的了解； 2.理解與掌握彎曲正應(yīng)力沿截面高度的分布規(guī)律； 5. 通過“工程力學(xué)”中工程應(yīng)用案例的 了解，對 “提高彎曲強(qiáng)度的主要措施“有進(jìn)一步的認(rèn)識， 使學(xué)生看到科學(xué)知識對工程實(shí)踐的指導(dǎo)作用。 9.1梁純彎曲時橫截面上正應(yīng)力梁純彎曲時橫截面上正應(yīng)力 Q M AC、DB段 橫力彎曲 CD段 純彎曲（Q=0

2、） RA=P RB=P 一、梁的剪切變曲與純彎曲的概念 CD 一）觀察變形現(xiàn)象 1、變形現(xiàn)象 2、假設(shè) 1）平面假設(shè)：橫截面變形 前為平面，變形后仍為平 面，只不過繞中性軸轉(zhuǎn)過 了一個角度。 2）單向受力假設(shè)：假設(shè)各 縱向纖維層間無擠壓或拉 伸作用，各縱向纖維只承 受單向拉伸或壓縮。 二、梁純彎曲時橫截面上正應(yīng)力 ? OO 1)橫向線m-m,n-n 仍為直線，但轉(zhuǎn)過了 一個微小角度； 2)縱向線a-a,b-b彎成了曲線，但 仍與橫向線垂直，且縱向線a-a縮 短了，b-b則伸長了。 CD 3、中性層與中性軸的概念 中性層：既不伸長也不縮短的 一層纖維。 中性軸：中性層與橫截面的交線。 9.19.

3、1梁純彎曲時橫截面上正應(yīng)力 ? O O M M 4.結(jié)論1）根據(jù)平面假設(shè)， 梁變形后橫截面仍與各縱 線正交，即橫截面上各點(diǎn) 無切應(yīng)變，所以沒有切應(yīng) 力； 2）根據(jù)單向受力假設(shè)， 單根纖維只產(chǎn)生軸向拉伸 或壓縮，因此橫截面上只 有正應(yīng)力 二二.純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力 變形幾何關(guān)系（分析b-b層）： 。：梁中性層的曲率半徑 ? ? ? ?: )(y d ddy bb bbbb y ? ? ? ? ? ? 物理關(guān)系： ? ? ?EE y x y ? OO y 中性軸 橫截面正應(yīng)力布圖：橫截面正應(yīng)力布圖： 靜力學(xué)關(guān)系：靜力學(xué)關(guān)系： :0?X 中性軸通過截面形心）(0 0 ?

4、? ? ? AydAyS dAy E dA y EdAN c A Z AAA ? ? :0? Z M My dAM Z A ? ? ? dAy E dA y yE AA ? ? 2 M ? Z A IdAy? ? 2 令： ? ? y E? 中性軸 ,MI E Z ? ? ? ? y E? y I M Z ? y? 1 ? ? M EI Z ? ? ?M y I Z 條件： ? p1） 2）平面彎曲平面彎曲 為拉應(yīng)力 下邊緣各點(diǎn)下邊緣各點(diǎn) 為壓應(yīng)力 上邊緣各點(diǎn) y= 0中性軸上各點(diǎn)=0 ? max ? ? max ? 為壓應(yīng)力 下邊緣各點(diǎn) 為拉應(yīng)力 上邊緣各點(diǎn) 上邊緣各點(diǎn) y=0, 中性軸上各

5、點(diǎn)=0 ? max ? ? max ? M 0 時 MM M 5的細(xì)長梁的橫力彎曲 的正應(yīng)力計算公式可以近似使用上述 純彎曲的公式，計算精度能滿足一般 工程要求。 五、慣性矩、抗彎截面系數(shù)的計算 一）簡單截面慣性矩與抗彎截面系數(shù)的計算 1、矩形截面慣性矩與抗彎截面系數(shù)的計算 66 1212 22 33 hb W bh W hb I bh I yz yz ? ? x y h b 2、圓形截面慣性矩與抗彎截面系數(shù)的計算 x y D 32 64 3 4 D WW D II yz yz ? ? ? ? 3、圓環(huán)形截面慣性矩與抗彎截面系數(shù)的計算 D dD WW D II yz yz ? ? ? ? ?

6、? ,1 32 1 64 4 3 4 4 x y d D 二）組合截面 的慣性矩、平行移軸公式 Zi n i Z II 1? ? AaII ZCZ 2 ? Zc c A a Z1、組合截面 的慣性矩 2、平行移軸公式 例 空心水泥板截面如圖示，已知b、h和d，試求 陰影線部分對y軸慣性矩。 4 h 4 h b h 解：分析 陰影線部分對y軸的慣性矩等于矩形面積對y軸 的慣性矩減去兩個圓形面積對y軸的慣性矩 圓形矩形 yyy III2? 12 3 bhI y ? 矩形 ) 4 () 4 ( 64 2 2 4 2 dhd AaII ycy ? ? 圓形圓形 )( 3212 ) 6464 (2 12

7、 22 232243 hd dbhdhdbh I y ? ? 9.2彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件及應(yīng)用彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件及應(yīng)用： 1 ）對塑性材料等截面梁： 2) 對塑性材料變截面梁： 3) 對脆性材料等截面梁： ? max max ? M W Z ? max max ? ? ? ? ? ? ? M W Z ? max max ? ? M W Z ? max max ? ? M W Z 中性軸 例 矩形等截面梁，L=3m，h=150mm，b=100mm， q=3kN/m ，y k=50mm ，=10MPa，求危險截面 上K點(diǎn)的正應(yīng)力 k，并校核梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。 2) 內(nèi)力分析(M圖)： 解：1) 外力分

8、析： RR qL kN AB ? 2 4 5 . 危險截面在L/2處。 3) 應(yīng)力分析： I bh Z ? 3 12 W bh Z ? 2 6 )(6 max 壓 MPa I yM Z K K ? )(9 6 8 2 2 max max 拉 MPa bh q W M Z ? ? ? 中性軸 4) 強(qiáng)度校核： 梁的強(qiáng)度足夠。 ?MPaMPa109 max ? 例討論：設(shè)h=2b，1）求將梁橫放時的最大正應(yīng)力。 2）梁怎樣擺放合理？ 解：梁橫放時橫截面上最大 正應(yīng)力 12 3 hb I y ? 6 2 hb W y ? 3 2 2 2 2 2 max max 8 3 24 3 6 8 b q bb

9、 q hb q W M y ? ? ? ? ? 橫放 ? b h y 3 2 2 2 max max 16 3 6 8 b q bh q W M Z ? ? ? 豎放 ? 答：梁豎放比橫放合理。 2 ）比較橫放與豎放時的合理性 中性軸 c 已知鑄鐵外伸梁(T形)，F(xiàn) 1=3kN，F(xiàn) 2=6.5kN，c為 截面形心，I z=800 10 4 mm 4 ,y 1 =50mm ，y2=82mm， +=35MPa ， - =80MPa, 試校核梁的正應(yīng)力強(qiáng)度 。 例例 A F1 F2 B 1m2m C C截面 ? c ? ? c ? B截面 ? B ? ? B ? M KNm 4 KNm 3 KNm

10、x 解：1）作彎矩圖確定危險截面 mKNFF mKNF B CA ? ? 413923M 31M, 0M 21 1 2）應(yīng)力分析確定危險點(diǎn) 根據(jù)彎矩圖畫C、B截面的應(yīng)力分布圖 c A F1 F2 B 1m2m C C截面 ? c ? ? c ? B截面 ? B ? ? B ? M KNm 4 KNm 3 KNm x 3）校梁的強(qiáng)度 （拉） 壓）：截面 MPa I yM MPa I yM Z c c Z c c 8.30 10800 82103 (8.18 10800 50103 C 4 6 2 m ax 4 6 1 m ax ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （拉

11、） （壓）：截面 MPa I yM MPa I yM Z B B Z B B 25 10800 50104 41 10800 82104 B 4 6 1 m ax 4 6 2 m ax ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 41, 8 .30 maxmaxmaxmax ? ? ? ? ?MPaMPa Bc c 2 y 1 y C截面 ? c ? ? c ? B截面 ? B ? ? B ? 討論：若將T型倒置，梁內(nèi)最大拉應(yīng)力將如何變 化？梁是否安全 注意：1)對于脆性材料必須要同時校核拉、 壓正應(yīng)力強(qiáng)度。 2) 危險截面一般在峰值點(diǎn)或極值點(diǎn)，最好 把各點(diǎn)的拉壓最大應(yīng)力計

12、算出來，進(jìn)行校 核，不能遺漏。 梁的強(qiáng)度不夠。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 41 10800 82104 4 6 2 max ? ? MPa I yM Z B B 例.已知鑄鐵外伸梁 (槽形)，q=10kN/m ，P=20kN， I z=4.0 10 7 mm 4 ,y 1 =60mm,y 2=140mm, +=35MPa ， - =140MPa, 試校核梁的正應(yīng)力強(qiáng)度 。 1) 外力分析： 2) 內(nèi)力分析(M圖)： 解： MB?0 危險截面B、D。 RkN E ? 5( ) 2) 內(nèi)力分析(M圖)： 危險截面B、D。 3) 危險點(diǎn)的確定： MPa I yM Z bB b70 max

13、? ? ? ? ? 最大壓應(yīng)力點(diǎn)： b或c點(diǎn)。 最大拉應(yīng)力點(diǎn)：a或d點(diǎn)。 4) 應(yīng)力分析： ,30maxMPa I yM Z aB a? ? ? ? ? MPa35 I yM Z dD max ? ? ? ? d? 5) 強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核： ,maxmax ? ? ? ? b .max max ? ? ? ? d 強(qiáng)度滿足。 ,15maxMPa I yM Z cD c? ? ? ? ? B截面: D截面: 例. 鋼質(zhì)懸臂梁如圖所示，70MPa， 若橫截面為：圓形，正方形，h/b=2 的矩形，工字鋼；試分別選擇尺寸，并比 較耗費(fèi)的材料。 AB 2m 20kN/m x M 40kN.m 解：(1)

14、 內(nèi)力分析(作M圖) Mmax=40kN.m (2) 強(qiáng)度計算 W M z max max ? 33 max z mm10235 M W? 圓截面：圓截面： 32 3 d W z ? ? 2 1 14060,8 .133mmAmmd? 正方形：正方形： 6 3 a W z ? 2 2 12570,1 .112mmAmma? h/b=2的矩形的矩形: 3 2 6 32 bbh W z ? 2 9970mmA70.6mm,b 3 ? 工字鋼工字鋼: 查表，選查表，選20a號工字鋼號工字鋼 Wz237103mm3，A4=3550mm 2 A1:A2:A3:A4=1 : 0.894 : 0.709 :

15、 0.252 材料耗費(fèi)比：材料耗費(fèi)比： 討論： 1) 對于脆性材料必須要同時校核拉、壓正 應(yīng)力強(qiáng)度。 2) 危險截面一般在峰值點(diǎn)或極值點(diǎn)，最好 把各點(diǎn)的拉壓最大應(yīng)力計算出來，進(jìn)行校 核，不能遺漏。 9.3彎曲切應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件： 一) 矩形截面梁的剪應(yīng)力： 剪應(yīng)力的兩個假設(shè)： / Q , 方向相同； 沿寬度均勻分布。 取微段dx，兩側(cè)面彎矩M、和M+dM， 距中性軸為y的下面部分兩側(cè)面的正應(yīng)力合力為： ydA I dMM N 1 A Z 2? ? ? ? ? ? ? ? ? MdM I ydA MdM I S Z A Z Z 1 * * z z A z A z 1 S I M ydA I

16、M ydA I M N 11 ? ? 性軸的靜距處以外的部分截面對中 YS Z ? * X ? ?00NN 12 ?bdx? )y 4 h ( 2I Q bI QS 2 2 ZZ * Z ? N 1 N 2 ? ?() * QS bI Q I h y Z ZZ 24 2 2討論： 1) 沿截面高度按拋物線變化。 2) b 為所求的點(diǎn)作水平線的實(shí)體寬度。 bh Q y5 . 1, 0 max ? 中性軸上 , max yy? 上、下邊緣 0? 矩型截面 max 二二) 工字形截面梁的剪應(yīng)力：工字形截面梁的剪應(yīng)力： 腹板上的剪應(yīng)力計算： 腹板 A Q S I b Q bI QS Z Z Z ? )

17、( * * max ? 上式中，d和A分別為腹板的寬度和面積， Iz為 工字形截面對中性軸的慣性矩，為中性軸 一側(cè)半個工 字型截面面積對中性軸的靜矩。對 于軋制的工字鋼，式中可由型鋼規(guī)格表中 查得 * Z S * Z z S I 三三) 圓形截面梁的剪應(yīng)力：圓形截面梁的剪應(yīng)力： A Q 3 4 max ? 五五) 剪應(yīng)力強(qiáng)度條件：剪應(yīng)力強(qiáng)度條件： * maxmax max ? Z Z bI SQ 四) 圓環(huán)形截面梁的剪應(yīng)力： A Q 2 max ? x y d D Q max x y D Q max 注：一般來說，梁的強(qiáng)度是由正應(yīng)力強(qiáng)度條件來控注：一般來說，梁的強(qiáng)度是由正應(yīng)力強(qiáng)度條件來控 制，

18、只有在下述幾種情況才需要進(jìn)行剪制，只有在下述幾種情況才需要進(jìn)行剪 應(yīng)力強(qiáng)度校應(yīng)力強(qiáng)度校 核核 ： 梁的跨度較短，或在支座附近有較大的載荷作用。在這種 情況下，梁的彎矩較小，而剪力較大； 鉚接或焊接的工字型截面梁，當(dāng)其腹板寬度與其高度的比 值小于型鋼的相應(yīng)比值，這時應(yīng)對腹板的剪應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校 核； 經(jīng)鉚接、焊接或膠合而成的梁，應(yīng)對鉚釘、焊縫或膠合面 等一般要進(jìn)行剪切強(qiáng)度計算； 木梁。因木梁沿順紋方向的抗剪能力很低，一般要進(jìn)行剪 切強(qiáng)度計算。 例 由三塊某種材料的長條膠合而成的懸臂梁，尺寸 如圖所示。膠合層的拉剪強(qiáng)度較小， =3.4MPa, 試求其許用載荷P，并在此載荷作用下梁中的 max 和相應(yīng)

19、的 max 。 1) 外力分析： 2) 內(nèi)力分析(Q、M圖)： 解： 3) 求 P ： ? 膠膠 ? QS bI Z Z * . ()PkN ? 383 4) 求最大剪應(yīng)力 ?max.? 3 2 383 Q bh MPa Sz*=1005050=25000mm3 4) 求最大正應(yīng)力 3 M )(M max Newmax ? 注：若疊梁的板間接觸面光滑無約束，則 每層板承受的彎矩相等。 MPa3063)( maxNewmax ? 9 W )(W z Newz ? MPa W PL Z 102 max ? 例 外伸梁受載及等截面形狀如圖所示。當(dāng)梁內(nèi)最大拉應(yīng)力 max =50MPa ，求梁中最大剪應(yīng)

20、力及所在位置。 1) 外力分析： 2) 內(nèi)力分析(Q、M圖)： 解： 3) 求形心位置： y A y A mm c ici i ? ? ? 317 . 4) 求對中性軸的Iz： 44 z mm1034I? RP B ? 4 3 () RP A ? ? 1 3 () z 5) 求P ? ? ? maxmaxmax 1 y I P y I M zz ? NP600? 6) 求SZa * 、 SZmax * Smm Za * ? 7950 3 Smm Zmax * ? 8009 3 7) 求 ?max MPa Ib SQ Za Za a 81. 2 * max ? MPa Ib SQ Zc Z c

21、707. 0 * maxmax ? ? max .? a MPa281 28.3mm)(y max ? ? 9.4提高梁彎曲能力的措施 （工程應(yīng)用案例工程應(yīng)用案例） ? max max ? M W Z 控制條件： 1.合理安排梁的受力情況 1). 合理安排支座 b)圖的最大彎矩只有a)圖的1/5 ? max max ? M W Z a) b) 利用這個原理，工程中如設(shè)利用這個原理，工程中如設(shè) 計鍋爐筒體及吊裝長構(gòu)件時，其 支承點(diǎn)不設(shè)在兩端，而將支承向 里移0.2L，龍門吊就是按此原理按此原理 設(shè)計的。 2). 合理安排載荷合理安排載荷 a)圖的最大彎矩是b)圖的2倍 圖a) 圖b) 2. 梁的

22、合理截面形狀 1 ）梁的合理擺放 P 圖b)豎放 P 圖a)橫放 因?yàn)閔b, Wz2Wz1, 所以圖b)豎放比圖a)橫放來的合理 6 2 )( hb w a z ? 6 2 )( bh w bz ? ? max max ? M W Z 2 ）根據(jù)截面 的幾何特性選擇截面的幾何形狀 （增大單位面積的抗彎截面系數(shù)WZ/A） ? max max ? M W Z 上圖表說明，槽鋼、工字鋼上圖表說明，槽鋼、工字鋼WZ/A的值最大，的值最大， 而圓形截面的而圓形截面的WZ/A最小，由此表明，實(shí)心圓最小，由此表明，實(shí)心圓 截面梁最不經(jīng)濟(jì)，槽鋼、工字鋼截面較為合截面梁最不經(jīng)濟(jì)，槽鋼、工字鋼截面較為合 理。理。

23、由橫截面應(yīng)力分布圖可知，為了充分利用由橫截面應(yīng)力分布圖可知，為了充分利用 材料，應(yīng)盡量減小中性軸附近的面積，而使更材料，應(yīng)盡量減小中性軸附近的面積，而使更 多的面積分布在離中性軸較遠(yuǎn)的位置。多的面積分布在離中性軸較遠(yuǎn)的位置。例如工 程中的鐵軌、起重機(jī)大梁、內(nèi)燃機(jī)連桿等截面 的設(shè)計就是運(yùn)用了這一原理。的設(shè)計就是運(yùn)用了這一原理。 中性軸 a).對塑性材料 ? ? z y 箱型截面矩型截面 工字型截面 2 ）根據(jù)材料的特性選擇截面的形狀 中性軸 b).對脆性材料 對脆性材料 ? ? ? max max max max ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y y , maxmax maxmax

24、 max ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Z mim Z I yM I yM max + max - M 3. 等強(qiáng)度梁的概念等強(qiáng)度梁的概念 )( )( m ax ? xW xM Z )( )( ? xM xWZ? 2 2 6)( )( , )( )( 6 h xM xb xM xb h ? ? ? ? ? ? 3. 等強(qiáng)度梁的概念等強(qiáng)度梁的概念 )( )( m ax ? xW xM Z )( )( ? xM xWZ? b xM xh xM b xh ? ? ? 6)( )(, )( 6 )( 2 ? c) 2 2 6)( )(, )( )( 6h xM xb xM xb h ? ?

25、? ? 通過以上“工程力學(xué)”中工程應(yīng)用案例的 了解，了解， 對“提高彎曲強(qiáng)度的主要措施” 有進(jìn)一步的認(rèn)識， 使同學(xué)們看到科學(xué)知識對工程實(shí)踐的指導(dǎo)作用。使同學(xué)們看到科學(xué)知識對工程實(shí)踐的指導(dǎo)作用。 提高彎曲強(qiáng)度的主要措施， 從彎矩圖和截面形狀從彎矩圖和截面形狀 兩個方面來說明問題，前者從整體來看，后者是從兩個方面來說明問題，前者從整體來看，后者是從 梁的一個截面來看，并在這里提出了等強(qiáng)度梁的概 念，這又是一個啟示， 這一節(jié)有總結(jié)前一階段所學(xué) 內(nèi)容的意義。 彎曲應(yīng)力習(xí)題課 1 ）三關(guān)系推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力公式 2 ）彎曲剪應(yīng)力公式 3 ）正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件 y I M Z ? ? QS bI Z Z * max max ? Z W M ? max ? ? ? max ? ? max max * ? QS bI Z Z 塑性材料脆性材料 例 AD梁由兩根8