平面直角坐標(biāo)系中的距離公式課件北師大版必修二

1、 在初中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公在初中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公 式|AB|xBxA|.在平面直角坐標(biāo)系中，怎么求任意 兩點(diǎn)間的距離呢？ 問題1：若兩點(diǎn)A(5,1) ，B(6,1) ，它們的距 離是多少呢？ 提示：因?yàn)锳、B兩點(diǎn)所在直線與x軸平行，故 |AB|6(5)|11. 問題問題2：若：若A(x1，y1)，C(x2，y1)， B(x2，y2)，能否求出，能否求出|AC|，|BC|，|AB|? 提示：能，|AC|x2x1|，|BC|y2y1|. 由勾股定理得|AB| |AC|2|BC|2 ?x 2x1? 2?y 2y1? 2. 兩點(diǎn)間的距離公式 若A(x1，y1)，B(x

2、2，y2)，則有兩點(diǎn)A，B的距離公式 |AB| . ?x 2x1? 2?y 2y1? 2 在平面幾何中，求點(diǎn)P到直線l的距離的方法是：先 過(guò)點(diǎn)P作l的垂線PH，垂足為H，再求PH的長(zhǎng)度即可那么， 在平面直角坐標(biāo)系中，如何用坐標(biāo)法求出點(diǎn)P(x0，y0)到直 線AxByC0的距離呢？ 問題1：點(diǎn)(x0，y0)到x軸，y軸的距離怎樣用坐標(biāo)表 示？ 提示：點(diǎn)(x0，y0)到x軸的距離是|y0|，點(diǎn)(x0，y0) 到y(tǒng)軸的距離是|x0|. 提示：點(diǎn)(x0，y0)到x軸的距離是|y0|，點(diǎn)(x0，y0)到y(tǒng)軸的距 離是|x0|. 問題2：點(diǎn)(x0，y0)到直線xa，yb的距離是多少？ 提示：|x0a|，|

3、y0b|. 問題3：如何求點(diǎn)到直線的距離呢？ 提示：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距，即過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，點(diǎn)與垂足 的距離 點(diǎn)到直線的距離公式 點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離記為d， 則d . |Ax0By0C| A 2B2 1兩點(diǎn)間距離公式的理解 (1)此公式與兩點(diǎn)的先后順序無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)公式也 可寫成|P1P2| ?x 1x2? 2?y 1y2? 2. (2)當(dāng)直線P1P2平行于x軸時(shí)，|P1P2|x2x1|. 當(dāng)直線P1P2平行于y軸時(shí)，|P1P2|y2y1|. 2應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式的注意事項(xiàng) (1)特別地，當(dāng)點(diǎn)P0在直線上時(shí)，點(diǎn)P0到該直線 的距離為0. (2)在應(yīng)用此公式時(shí)，若給出的

4、直線方程不是一 般式，則應(yīng)先把方程化為一般式，再利用公式求距 離 例1 (1)求直線2xmy20(m0)與兩坐標(biāo)軸 的交點(diǎn)之間的距離；的交點(diǎn)之間的距離； (2)已知點(diǎn)A(a，5)與B(0,10) 間的距離是17，求a 的值； (3)求直線l：yx被兩條平行直線xy20和x y40所截得的線段的長(zhǎng)度 思路點(diǎn)撥 利用條件確定點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入兩點(diǎn) 精解詳析精解詳析 (1)直線2xmy20與x軸的交點(diǎn)為 (1,0)，與y軸的交點(diǎn)為 (0， 2 m )， 兩交點(diǎn)之間的距離為d ?10? 2?0 2 m ? 2 1 4 m 2. (2)由兩點(diǎn)間的距離公式可得d 2a2152172， a 8. (3)先求兩

5、直線的交點(diǎn)，由 ? ? ? ? ? yx， xy20， 解得交點(diǎn) 為(1,1)，由 ? ? ? ? ? yx， xy40， 解得交點(diǎn)為(2,2) 所求線段的長(zhǎng)度為 d ?21? 2?21?2 2. 一點(diǎn)通一點(diǎn)通 兩點(diǎn)間的距離公式是利用代數(shù)法研 究幾何問題的最基本的公式之一，利用代數(shù)法解決幾何 中的距離問題往往最后都要轉(zhuǎn)化為此公式解決中的距離問題往往最后都要轉(zhuǎn)化為此公式解決 1已知點(diǎn)A(1,2)，B(2，7 )，在x軸上求一點(diǎn) P，使得|PA|PB|，并求|PA|的值 解：設(shè)所求的點(diǎn)為P(x,0)，于是有 |PA| ?x1? 2?02?2 x22x5， |PB| ?x2? 2?0 7?2 x24

6、x11， 由|PA|PB|得x1，所以所求點(diǎn)為 P(1,0)，且 |PA| ?11? 2?02?22 2. 2已知ABC中，A(2,1)，B(3，3)，C(2,6)，試判斷 ABC的形狀 解：解：法一：法一： |AB| ?32? 2?31?2 41， |AC| ?22? 2?61?2 41， 又|BC| ?32? 2?36?2 82， 即AB2AC2BC2，且|AB|AC|， 因此ABC是等腰直角三角形 法二：kAC 61 2?2? 5 4， ， kAB 31 3?2? 4 5， ， kACkAB1，即ABAC. |AB| ?32? 2 ?31? 2 41， |AC| ?22? 2 ?61?

7、2 41， |AB|AC|， 因此ABC是等腰直角三角形 例2 用解析法證明：ABCD為矩形，M是任一 點(diǎn)求證：|AM|2|CM|2|BM|2|DM|2. 思路點(diǎn)撥 建立坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入已 知化簡(jiǎn)得 精解詳析 分別以AB、AD所在直線 為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖)，設(shè)M(x， y)，B(a,0)，C(a，b)，則D(0，b)，又A(0,0) 則|AM|2|CM|2x2y 2(xa)2(yb)2， |BM|2|DM|2(xa)2y2x2(yb)2. |AM|2|CM|2|BM|2|DM|2. 一點(diǎn)通 (1)解析法證明幾何問題的步驟： 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示幾何條件； 進(jìn)行有

8、關(guān)的代數(shù)運(yùn)算； 把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“ 翻譯” 成幾何關(guān)系 (2)重點(diǎn)提示：坐標(biāo)法證明幾何問題，如果題目中 沒有坐標(biāo)系，則需要先建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系的原則 是：盡量利用圖形中的對(duì)稱關(guān)系 3用解析法證明：等腰梯形的對(duì)角線相等 解：已知等腰梯形ABCD，ABDC，AD BC，求證：ACBD. 證明：以AB所在直線為x軸，以AB的中 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系 設(shè)A(a,0)、D(b，c)，由等腰梯形的性質(zhì)知 B(a,0)，C(b，c)， 則|AC| ?ba? 2?c0?2 ?ab? 2c2， |BD| ?ba? 2?c0?2 ?ab? 2c2. |AC|BD|. 即等腰梯形的對(duì)角線相等 4

9、已知AO是ABC邊BC的中線 求證：|AB|2|AC|22(|AO|2|OC|2) 證明：以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸 建立直角坐標(biāo)系，建立直角坐標(biāo)系， 設(shè)B(a,0)，C(a,0)，A(x，y)， 由兩點(diǎn)間距離公式得 |AB|2(xa)2y2， |AC|2(xa)2y2， |AB|2|AC|22x22y22a2， |AO|2x2y2， |OC|2a2， |AO|2|OC|2x2y2a2， |AB|2|AC|22(|AO|2|OC|2). 例3 求點(diǎn)P0(1,2) 到下列直線的距離 (1)2xy100；(2)x2；(3)y10. 思路點(diǎn)撥 解答本題可先將直線方程化為一 般式，然后直接利用點(diǎn)

10、到直線的距離公式求解，對(duì)于 (2)(3)題中的特殊直線，也可以借助圖像求解 精解詳析 (1)由點(diǎn)到直線的距離公式知 d |2?1?210| 221 10 52 5. (2)法一：直線方程化為一般式x20. 由點(diǎn)到直線的距離公式知 d|1022| 1202 3. 法二：直線x2與y軸平行， 由圖(1)知d|12|3. (3)法一：由點(diǎn)到直線的距離公式，得 d|1021| 01 1. 法二：直線y10與x軸平行 由圖(2)知d|21|1. 一點(diǎn)通一點(diǎn)通 使用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)應(yīng)注意以 下幾點(diǎn) (1)若所給的直線方程不是一般式，則應(yīng)先把方 程化為一般式，再利用公式求距離 (2)若點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)P

11、到直線的距離為零，此 公式仍然適用 (3)若該直線是幾種特殊直線中的一種，可不套公式而 直接求出，如： 點(diǎn)P(x0，y0)到x軸的距離d|y0|； 點(diǎn)P(x0，y0)到y(tǒng)軸的距離d|x0|； 點(diǎn)P(x0，y0)到與x軸平行的直線ya的距離d|y0 a|； 點(diǎn)P(x0，y0)到與y軸平行的直線xb的距離d|x0 b|. 5求點(diǎn)P(3，2)到下列直線的距離d. (1)3x4y10；(2)y4；(3)x0. 解：(1)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得 d |334?2?1| 32?4? 2 18 5 . (2)直線y4平行于x軸， d|4(2)|6. (3)d|30|3. 6已知點(diǎn)(a,2)(a0) 到直線

12、xy3的距離為1，求a的 值 解：由點(diǎn)到直線的距離公式得 d|a23| 2 1. 即|a1| 2. 解得a 21或a 21. a0， a 21. 例例4 已知直線l1與l2的方程分別為7x8y90,7x 8y30，直線l平行于l1，直線l與l1的距離為d1，與l2的 距離為d2，且d1 d2 1 2，求直線l的方程 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥 設(shè)P為l上任一點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離 公式求出d1，d2，代入d22d1，化簡(jiǎn)求解 精解詳析精解詳析 設(shè)P(x，y)為l上任一點(diǎn) 則d1|7x8y9| 7282 ，d2 |7x8y3| 7282 . 由d1 d2 1 2，即d22d1，得 |7x8y3|2|7x8

13、y9| 7x8y32(7x8y9)或7x8y3 2(7x8y9) 化簡(jiǎn)得l的方程為7x8y210或7x8y50. 一點(diǎn)通一點(diǎn)通 求兩條平行直線間的距離有兩種思路： (1)轉(zhuǎn)化為其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的 距離； (2)利用公式d |C1C2| A 2B2 求解，但需注意兩直線方程 都化為一般式，且 x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等 7兩條平行直線3x4y0與3x4y50間的距離等 于 _ 解：由兩平行線間的距離公式 d|0?5?| 3242 1. 答案：1 8已知直線l1與l2：xy10平行，且l1與l2的距離 為 2，求l1的方程 解：法一：因?yàn)閘1l2， 所以可設(shè)l1的方程為xyc0. 在直線l2上取一個(gè)點(diǎn)，如(1,0)， 則(1,0)到直線l1的距離為2，從而 |1c| 11 2，