2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪江蘇專用課件第二章 函數(shù) §23

1、2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性 大一輪復(fù)習(xí)講義 第二章 函 數(shù) KAOQINGKAOXIANGFENXI 考情考向分析 以理解函數(shù)的奇偶性、會(huì)用函數(shù)的奇偶性為主，常與函數(shù)的單調(diào)性、周期性 交匯命題，加強(qiáng)函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用意識(shí)，題型以填空 題為主，中等偏上難度 NEIRONGSUOYIN 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí) 題型分類 深度剖析 課時(shí)作業(yè) 1 基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí) PART ONE 知識(shí)梳理 1.函數(shù)的奇偶性 ZHISHISHULI 奇偶性 定義 圖象特點(diǎn) 偶函數(shù) 一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x， 都有 ，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù) 關(guān)于 對(duì)稱 奇函數(shù)

2、一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x， 都有 ，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù) 關(guān)于 對(duì)稱 f(x)f(x) y軸 f(x)f(x) 原點(diǎn) 2.周期性 (1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù) yf(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù) T，使得當(dāng)x取定義域 內(nèi)的任何值時(shí)，都有 ，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為 這個(gè)函數(shù)的周期. (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè) 的正數(shù)，那么 這個(gè) 就叫做f(x)的最小正周期. f(xT)f(x) 最小 最小正數(shù) 【概念方法微思考】 1.如果已知函數(shù) f(x)，g(x)的奇偶性，那么函數(shù) f(x)g(x)，f(x)g(x)的奇偶性有 什么

3、結(jié)論？ 提示 在函數(shù)f(x)，g(x)公共定義域內(nèi)有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇 偶，偶偶偶，奇偶奇. (2)f(xa) 1 f?x? (a0). 2.已知函數(shù)f(x)滿足下列條件，你能得到什么結(jié)論？ (1)f(xa)f(x)(a0). (3)f(xa)f(xb)(ab). 提示 T2|a| 提示 T|ab| 提示 T2|a| 基礎(chǔ)自測 JICHUZICE 題組一 思考辨析 1 2 3 4 5 6 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)函數(shù)yx2，x(0，)是偶函數(shù).( ) (2)偶函數(shù)的圖象不一定過原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn).( ) (3)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則函數(shù)y

4、f(x)關(guān)于直線xa對(duì)稱.( ) (4)若T是函數(shù)的一個(gè)周期，則nT(nZ，n0)也是函數(shù)的周期.( ) 題組二 教材改編 1 2 3 4 5 6 2.P45習(xí)題T11已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)x(1x)， 則f(1)_. 2 解析 f(1)122，又f(x)為奇函數(shù)， f(1)f(1)2. 1 2 3 4 5 6 3.P43練習(xí)T4函數(shù)yf(x)為(，)上的偶函數(shù)，且f(|a|)3，則f(a) _. 3 解析 若a0，則f(a)f(a)f(|a|)3； 若a0， |x2|2， 得定義域?yàn)?1,0)(0,1)， 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. x20，|x2|2x， f(x)l

5、n?1x 2? x . 函數(shù)f(x)為奇函數(shù). 解 顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，0)(0，)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 當(dāng)x0， 則f(x)(x)2xx2xf(x)； 當(dāng)x0時(shí)，x0， 則f(x)(x)2xx2xf(x)； 綜上可知，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，總有f(x)f(x)， 函數(shù)f(x)為奇函數(shù). (3)f(x) ? ? ? ? ? x 2x，x0. 思維升華 判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件： (1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先 考慮定義域； (2)判斷f(x)與f(x)是否具有等量關(guān)系. 在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)關(guān)系式f(x)f

6、(x)0 (奇函數(shù))或f(x)f(x)0(偶函數(shù))是否成立. 所以 f(x)3x 1 3x 為奇函數(shù)； 跟蹤訓(xùn)練1 (1)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是_.(填序號(hào)) f(x)xsin 2x; f(x)x2cos x；f(x)3x ；f(x)x 2tan x. 1 3x 解析 對(duì)于，函數(shù)的定義域?yàn)镽， f(x)xsin 2(x)(xsin 2x)f(x)，所以f(x)xsin 2x為奇函數(shù)； 對(duì)于，函數(shù)的定義域?yàn)镽，f(x)(x)2cos(x)x2cos xf(x)， 所以f(x)x2cos x為偶函數(shù)； 對(duì)于，函數(shù)的定義域?yàn)?R，f(x)3x 1 3x ? ? ? ? ? ? ?

7、? 3x 1 3x f(x)， 對(duì)于，f(x)x 2tan x既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). (2)函數(shù)f(x)lg|sin x|是_.(填序號(hào)) 最小正周期為的奇函數(shù)； 最小正周期為2的奇函數(shù)； 最小正周期為的偶函數(shù)； 最小正周期為2的偶函數(shù). 解析 易知函數(shù)的定義域?yàn)閤|xk，kZ，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 又f(x)lg|sin(x)|lg|sin x|lg|sin x|f(x)， 所以f(x)是偶函數(shù)， 又函數(shù)y|sin x|的最小正周期為， 所以函數(shù)f(x)lg|sin x|是最小正周期為的偶函數(shù). 題型二 函數(shù)的周期性及其應(yīng)用 自主演練自主演練 1.若函數(shù) f(x)(xR)是周期為4 的奇函數(shù)，

8、且在0,2上的解析式為f(x) ? ? ? ? ? x?1x?，0 x1， sin x，1x2， 則 f ? ? ? ? ? ? ? ? 29 4 f ? ? ? ? ? ? ? ? 41 6 _. 5 16 解析 由于函數(shù)f(x)是周期為4的奇函數(shù)， 所以 f ? ? ? ? ? ? ? ? 29 4 f ? ? ? ? ? ? ? ? 41 6 f ? ? ? ? ? ? ? ? 243 4 f ? ? ? ? ? ? ? ? 247 6 f ? ? ? ? ? ? ? ? 3 4 f ? ? ? ? ? ? ? ? 7 6 f ? ? ? ? ? ? ? ? 3 4 f ? ? ? ?

9、? ? ? ? 7 6 3 16sin 6 5 16. 2.已知定義在 R 上的函數(shù) f(x)滿足 f(2)2 3，且對(duì)任意的 x 都有 f(x2) 1 f?x? ，則 f(2 020)_. 2 3 解析 由 f(x2) 1 f?x? ，得 f(x4) 1 f?x2? f(x)， 所以函數(shù)f(x)的周期為4，所以f(2 020)f(4). 因?yàn)?f(22) 1 f?2? ，所以 f(4) 1 f?2? 1 2 3 2 3. 故 f(2 020)2 3. 3.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且 f(x4)f(x2).若當(dāng)x3,0時(shí)，f(x) 6x，則f(919)_. 6 解析 f(x4)f(x

10、2)， f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)， f(x)是周期為6的周期函數(shù)， f(919)f(15361)f(1). 又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)， f(1)f(1)6，即f(919)6. 4.設(shè)定義在 R 上的函數(shù) f(x)同時(shí)滿足以下條件： f(x)f(x)0；f(x)f(x 2)；當(dāng) 0 x1 時(shí)，f(x)2 x1，則 f ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 f(1)f ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 f(2)f ? ? ? ? ? ? ? ? 5 2 _. 21 解析 依題意知：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且周期為2， 則f(1)f(1)0，f(1)f(1)，即f

11、(1)0. f ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 f(1)f ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 f(2)f ? ? ? ? ? ? ? ? 5 2 f ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 0f ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 f(0)f ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 f ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 f ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 f(0)f ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 f ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 f(0) 1201 1 2 2 21. 思維升華 利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問

12、題， 轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問題. 題型三 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 多維探究多維探究 例 2 (1)設(shè) f(x)是定義在 R 上周期為 4 的奇函數(shù)，若在區(qū)間2,0)(0,2上， f(x) ? ? ? ? ? axb，2x0， ax1，00 解析 當(dāng)x0時(shí)，x0. 例 3 (1)若函數(shù) f(x)xln(xax 2)為偶函數(shù)，則 a_. 命題點(diǎn)2 求參數(shù)問題 1 解析 f(x)f(x)， xln(ax 2x)xln(x ax 2)， ln(ax 2)2x20. ln a0，a1. (2)設(shè) f(x)是定義在R 上且周期為2 的函數(shù)，在區(qū)間 1，1上，f(x) ? ? ? ? ? ? ? ax1，

13、1x0時(shí)，f(x)x 2ax1a， 若函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是_. 1,0 解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)0， 若函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，且1a0， 此時(shí) ? ? ? ? ? ? ? a 2 a 20， 1a0， 即 ? ? ? ? ? a0， a1， 即1a0. 命題點(diǎn)3 利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式 例4 (1)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞增，若f(ln x)f(2)， 則x的取值范圍是_. (e2，e2) 解析 根據(jù)題意知，f(x)為偶函數(shù)且在0，)上單調(diào)遞增， 則f(ln x)f(2)? |ln x|

14、2，即2ln x2，解得e2xf(2x1)成立的 x 的取值范圍為 _. ? ? ? ? ? ? ? ? 1 3，1 思維升華 解決周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合的問題，通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所 在的區(qū)間，再利用奇偶性和單調(diào)性求解. 跟蹤訓(xùn)練 2 (1)設(shè) f(x)是周期為 2 的奇函數(shù)，當(dāng) 0 x1 時(shí)，f(x)2x(1x)， 則 f ? ? ? ? ? ? ? ? 5 2 _. 1 2 解析 由題意可知，f ? ? ? ? ? ? ? ? 5 2 f ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 f ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 21 2? ? ? ? ? ? ? ? 11 2 1 2

15、. 解析 因?yàn)閒(x)滿足f(x4)f(x)， 所以f(x8)f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)， 則f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3). 由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)且滿足f(x4)f(x)， 得f(11)f(3)f(1)f(1). 因?yàn)閒(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)， 所以f(x)在區(qū)間2,2上是增函數(shù)， 所以f(1)f(0)f(1). 所以f(25)f(80)f(11). (2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)， 則f(25)，f(11)，f(80)的大小關(guān)系為_. f(25)f

16、(80)0時(shí)，xf(x)，可得6x 2x， 即x2x60，3x2. (3)已知函數(shù) g(x)是 R 上的奇函數(shù)，且當(dāng) x0， 若 f(6x 2)f(x)，則實(shí)數(shù) x 的取值范圍是_. (3,2) 函數(shù)的奇偶性、周期性及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中常常將它 們綜合在一起命題，解題時(shí)，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另 一區(qū)間上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題. 高頻小考點(diǎn) GAOPINXIAOKAODIAN 函數(shù)的性質(zhì) 例 1 (1)已知函數(shù) f(x)ax 21 x，其中 aR.討論函數(shù) f(x)的奇偶性，并證明你 的結(jié)論. 一、函數(shù)性質(zhì)的判斷 解析 易知中函數(shù)在(

17、0,1)上為增函數(shù)； 中函數(shù)不是奇函數(shù)； 滿足條件的函數(shù)為. ysin3x3sin x; y 1 ex1 1 2； ylg1x 1x ； y ? ? ? ? ? x1，x0， x1，x0. (2)下列函數(shù)： 其中是奇函數(shù)且在(0,1)上是減函數(shù)的是_.(填序號(hào)) f(3)0； 直線x6是函數(shù)yf(x)的圖象的一條對(duì)稱軸； 函數(shù)yf(x)在9，6上為增函數(shù)； 函數(shù)yf(x)在9,9上有四個(gè)零點(diǎn). 其中所有正確命題的序號(hào)為_. (3)已知函數(shù) yf(x)是 R 上的偶函數(shù)，對(duì)于任意 xR， 都有 f(x6)f(x)f(3) 成立，當(dāng) x1，x20,3，且 x1x2時(shí)，都有 f?x1?f?x2? x

18、1x2 0.給出下列命題： 因?yàn)閒(x)是R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)yf(x)在3,0上為減函數(shù)， 而f(x)的周期為6，所以函數(shù)yf(x)在9，6上為減函數(shù).故錯(cuò)誤； f(3)0，f(x)的周期為6，所以f(9)f(3)f(3)f(9)0， 所以函數(shù)yf(x)在9,9上有四個(gè)零點(diǎn).故正確. 二、函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 例2 (1)(2018全國改編)已知f(x)是定義域?yàn)?，)的奇函數(shù)，滿足 f(1x)f(1x).若f(1)2，則f(1)f(2)f(3)f(50)_. 2 解析 f(ln t)f ? ? ? ? ? ? ? ? ln 1 t f(ln t)f(ln t)2f(ln t)2f(|ln

19、t|)， (2)(2018南京、鹽城模擬)若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0，) 上是單調(diào)增函數(shù).如果實(shí)數(shù)t滿足f(ln t) 2f(1)，那么t的取值范圍是_. f ? ? ? ? ? ? ? ? ln 1 t ? ? ? ? ? ? ? ? 1 e ，e 于是 f(ln t)f ? ? ? ? ? ? ? ? ln 1 t 2f(1)，所以 f(|ln t|)f(1)， 所以|ln t|1，所以1ln t1，所以 1 ete. 解析 因?yàn)?f(x)sin(x)x14 x 2x sin xx4 x 1 2x f(x)， (3)(2018揚(yáng)州期末)已知函數(shù)f(x)sin xx ，則

20、關(guān)于x的不等式f(1x 2) f(5x7)0的解集為_. 14x 2x (2,3) 所以f(x)為奇函數(shù). 又因?yàn)?f(x)sin xx 1 2x2 x， 所以易判斷f(x)在R上單調(diào)遞減， 所以f(1x2)f(5x7)0， 即f(1x 2)75x，即x 25x60，解得2x0， 0，x0， x 22x3，x0時(shí)，x0，f(x)(x)22(x)3(x 22x3)f(x)； (3)當(dāng)x0，f(x)(x)22(x)3(x 22x3)f(x). 由(1)(2)(3)可知，當(dāng)xR時(shí)，都有f(x)f(x)， f(x)為奇函數(shù). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

21、 4.已知函數(shù) f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，其最小正周期為 4， 且當(dāng) x ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2，0 時(shí)，f(x)log2(3x1)，則 f(2 021)_. 2 解析 函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其最小正周期為4， f(2 021)f(45051)f(1)f(1). 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2，0 ，且當(dāng) x? ? ? ? ? ? ? ? 3 2，0 時(shí)，f(x)log2(3x1)， f(1)log23(1)12， f(2 021)f(1)2. 解析 f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(，0上是減函數(shù)， 所以f(x)在0，)上是增函數(shù)， 所以f(log

22、2x)2f(1)? f(|log2x|)f(1)? |log2x|1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ? log2x1 或 log2x2 或 0 x2的解集為_. ? ? ? ? ? ? ? ? 0，1 2 (2，) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知偶函數(shù)f(x)對(duì)于任意xR都有f(x1)f(x)，且f(x)在區(qū)間0,1上是單 調(diào)遞增的，則f(6.5)，f(1)，f(0)的大小關(guān)系是_.(用“” 連接) f(0)f(6.5)f(1) 解析 由f(x1)f(x)，得f(x2)f(x1)f(x)，函

23、數(shù)f(x)的周期是2. 函數(shù)f(x)為偶函數(shù)， f(6.5)f(0.5)f(0.5)，f(1)f(1). f(x)在區(qū)間0,1上是單調(diào)遞增的， f(0)f(0.5)f(1)，即f(0)f(6.5)0 時(shí)，f(x)ln x，則 f ? ? ? ? ? ? ? ? f ? ? ? ? ? ? ? ? 1 e2 的值為_. ln 2 解析 由已知可得 f ? ? ? ? ? ? ? ? 1 e2 ln 1 e22， 所以 f ? ? ? ? ? ? ? ? f ? ? ? ? ? ? ? ? 1 e2 f(2). 又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)， 所以 f ? ? ? ? ? ? ? ? f ? ? ? ?

24、 ? ? ? ? 1 e2 f(2)f(2)ln 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3,6上是增函數(shù)，且在區(qū)間 3,6上的最大值為 8，最小值 為1，則f(6)f(3)的值為_. 9 解析 由于f(x)在3,6上為增函數(shù)， 所以f(x)的最大值為f(6)8，f(x)的最小值為f(3)1， 因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(3)f(3)1， 所以f(6)f(3)819. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.設(shè) f(x)是定義在R 上且周期為2 的函數(shù)，在區(qū)間1,1)上， f(x)

25、 ? ? ? ? ? xa，1x0， ? ? ? ? ? ? ? ? 2 5x ，0 x0， 0，x0， x 2mx，x0 是奇函數(shù). (1)求實(shí)數(shù)m的值； 解 設(shè)x0，所以f(x)(x)22(x)x 22x. 又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)， 于是x1， a21， 所以 10，f(x2) 1 f?x? 對(duì)任意 xR 恒成立， 則 f(2 023)_. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(2018如東、豐縣聯(lián)考)已知函數(shù) f(x) 3xa 3x1b . (1)當(dāng)ab1時(shí)，求滿足f(x)3x的x的取值集合； 解 由題意得 3x1 3

26、x11 3x， 化簡得3(3x)223x10， 解得 3x1(舍去)或 3x1 3，從而 x1. 即滿足f(x)3x的x的取值集合是1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，存在tR，使得不等式f(t22t)f(2t2k) 有解，求k的取值范圍. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因?yàn)閤 1 所以f(x1)f(x2)， 因此f(x)在R上單調(diào)遞減. 因?yàn)閒(t22t)2t2k， 即t22tk0，解得k1. 所以k的取值范圍為(1，). 此時(shí)，只需 ? ? ? ? ?

27、h?2?0， h?2?0 即可，解得2x2 3. 解析 易知f(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，且f(x)為奇函數(shù)， 故f(mx2)f(x)0等價(jià)于f(mx2)f(x)f(x)，則mx2x， 即mxx20對(duì)所有m2,2恒成立， 令h(m)mxx2，m2,2， 拓展沖刺練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知函數(shù)f(x)sin xx，對(duì)任意的m2,2，f(mx2)f(x)0恒成立， 則 x的取值范圍為_. ? ? ? ? ? ? ? ? 2，2 3 16.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x1)是偶函數(shù)，當(dāng)x(2,4)時(shí)，f(x)|x3|， 求f(1)f(2)f(3)f(4)f(2 020)的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，f(x1)為偶函數(shù)，所以f(x1)f(x1)f(x1)， 所以f(x2)f(x)，所以