數(shù)學(xué)新導(dǎo)學(xué)同步人教A版選修2 3課件231離散型隨機(jī)變量的均值

1、 【課標(biāo)要求】 1.通過(guò)實(shí)例理解離散型隨機(jī)變量均值的概念，能計(jì)算簡(jiǎn)單離散 型隨機(jī)變量的均值. 2.理解離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì) . 3.會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值，反映離散型隨機(jī)變量取值水 平，解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題 . 自主學(xué)習(xí) 基礎(chǔ)認(rèn)識(shí) 1離散型隨機(jī)變量的均值及其性質(zhì) (1)離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望 一般地，若離散型隨機(jī)變量 X的分布列為 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 數(shù)學(xué)期望 E(X)x1p1x2p2xipixnpn. 數(shù)學(xué)期望的含義：反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平 (2)均值的性質(zhì) 若 YaXb，其中 a，b 為常數(shù)，X是隨機(jī)變量， Y也是隨機(jī)變量；

2、 E(aXb)aE(X)b. 2兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的均值 (1)兩點(diǎn)分布：若 X服從兩點(diǎn)分布，則 E(X)p. (2)二項(xiàng)分布：若 XB(n，p)，則 E(X)np. |自我嘗試自我嘗試| 1 判斷下列命題是否正確 (正確的打“”， 錯(cuò)誤的打“”) (1)隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望 E(X)是個(gè)變量，其隨 X 的變化而變 化( ) (2)隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值相同 ( ) (3)若隨機(jī)變量 X的數(shù)學(xué)期望 E(X)2，則 E(2X) 4.( ) 2已知 的分布列為 1 0 1 2 P 1 4 3 8 1 4 1 8 則 的均值為( ) A0 B1 C.1 8 D. 1 4 解析：E()11

3、40 3 81 1 42 1 8 1 4. 答案：D 3同時(shí)拋擲 5 枚均勻的硬幣 80 次，設(shè) 5 枚硬幣正好出現(xiàn) 2 枚 正面向上，3 枚反面向上的次數(shù)為 X，則 X的均值是( ) A20 B25 C30 D40 解析：拋擲一次正好出現(xiàn) 3 枚反面向上，2 枚正面向上的概率 為C 2 5 25 5 16.所以 XB? ? ? ? ? ? 80， 5 16 .故 E(X)80 5 1625. 答案：B 4口袋中有 5 個(gè)球，編號(hào)分別為 1,2,3,4,5，從中任取 3 個(gè)球， 以 X表示取出的球的最大號(hào)碼，則 E(X)( ) A4 B5 C4.5 D4.75 解析：X的取值為 5,4,3，P

4、(X5)C 2 4 C3 5 3 5， P(X4)C 2 3 C3 5 3 10，P(X3) 1 C3 5 1 10， E(X)53 54 3 103 1 104.5.故選 C. 答案：C 5已知隨機(jī)變量 的分布列為 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.3 x 0.1 則 x_，E()_. 解析：x1(0.10.20.30.1)0.3； E()00.110.220.330.340.12.1. 答案：0.3 2.1 課堂探究 互動(dòng)講練 類型一 求離散型隨機(jī)變量的期望 例 1 袋中有 4 個(gè)紅球， 3 個(gè)白球， 從袋中隨機(jī)取出 4 個(gè)球 設(shè) 取出一個(gè)紅球得 2 分，取出一個(gè)白球得 1 分，

5、試求得分 X的均值 【解析】 X 的所有可能取值為 5,6,7,8.X5 時(shí)，表示取出 1 個(gè)紅球 3 個(gè)白球， 此時(shí) P(X5)C 1 4C 3 3 C4 7 4 35； X6 時(shí)，表示取出 2 個(gè)紅球 2 個(gè)白球， 此時(shí) P(X6)C 2 4C 2 3 C4 7 18 35； X7 時(shí)，表示取出 3 個(gè)紅球 1 個(gè)白球， 此時(shí) P(X7)C 3 4C 1 3 C4 7 12 35； X8 時(shí)，表示取出 4 個(gè)紅球， 此時(shí) P(X8)C 4 4 C4 7 1 35. X的分布列為 X 5 6 7 8 P 4 35 18 35 12 35 1 35 E(X)5 4 356 18 357 12

6、358 1 35 44 7 . 方法歸納 求離散型隨機(jī)變量 X的均值的步驟： (1)理解 X的意義，寫(xiě)出 X可能取的全部值； (2)求 X取每個(gè)值的概率； (3)寫(xiě)出 X的分布列(有時(shí)可以省略)； (4)利用定義公式 E(X) x1p1x2p2xnpn求出均值. 跟蹤訓(xùn)練 1 盒中裝有 5 節(jié)同牌號(hào)的五號(hào)電池，其中混有兩節(jié) 廢電池 現(xiàn)在無(wú)放回地每次取一節(jié)電池檢驗(yàn)，直到取到好電池為止， 求抽取次數(shù) X的分布列及均值 解析：X可取的值為 1,2,3， 則 P(X1)3 5，P(X2) 2 5 3 4 3 10，P(X3) 2 5 1 41 1 10. 抽取次數(shù) X的分布列為 X 1 2 3 P 3

7、 5 3 10 1 10 E(X)13 52 3 103 1 10 3 2. 類型二 均值性質(zhì)的應(yīng)用 例 2 已知隨機(jī)變量 X的分布列為： X 2 1 0 1 2 P 1 4 1 3 1 5 m 1 20 試求：(1)E(X)；(2)若 Y2X3，求 E(Y) 【解析】 (1)由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得 1 4 1 3 1 5m 1 201，所以 m 1 6. E(X)(2)1 4(1) 1 30 1 51 1 62 1 20 17 30. (2)方法一：由公式 E(aXb)aE(X)b，得 E(Y)E(2X3)2E(X)32? ? ? ? ? ? 17 30 362 15. 方法二：由于 Y

8、2X3，所以 Y的分布列如下： Y 7 5 3 1 1 P 1 4 1 3 1 5 1 6 1 20 E(Y)(7) 1 4(5) 1 3 (3) 1 5 (1) 1 6 1 1 20 62 15. 方法歸納 (1)該類題目屬于已知離散型分布列求期望，求解方法是直接套 用公式，E(X) x1p1x2p2xnpn求解 (2)對(duì)于 aXb 型的隨機(jī)變量， 可利用均值的性質(zhì)求解， 即 E(aX b)aE(X)b；也可以先列出 aXb 的分布列，再用均值公式求 解，比較兩種方式顯然前者較方便 . 跟蹤訓(xùn)練 2 已知分布列 1 0 1 P 1 2 1 3 a 且設(shè) 23，則 的數(shù)學(xué)期望是_ 解析： 答案

9、： 7 3 類型三 兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的應(yīng)用 例 3 某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為 p0.6，求： (1)一次投籃時(shí)命中次數(shù) 的期望； (2)重復(fù) 5 次投籃時(shí)，命中次數(shù) 的期望 【解析】 (1)投籃一次，命中次數(shù) 的分布列為： 0 1 P 0.4 0.6 則 E()p0.6. (2)由題意， 重復(fù) 5 次投籃， 命中的次數(shù) 服從二項(xiàng)分布， 即 B(5,0.6)，則 E()np50.63. 方法歸納 常見(jiàn)的隨機(jī)變量的均值 (1)若 X服從兩點(diǎn)分布，則 E(X)p； (2)若 X服從二項(xiàng)分布，則 E(X)np. 特別提醒：二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望是求期望的一種常見(jiàn)的形式， 同學(xué)們?cè)诶斫獾幕A(chǔ)上應(yīng)熟練記住，因?yàn)?/p>

10、在有些二項(xiàng)分布的解答 中，如果采用 E(X)np，會(huì)使問(wèn)題的解答大大減少運(yùn)算量 . 跟蹤訓(xùn)練 3 某電視臺(tái)開(kāi)展有獎(jiǎng)答題活動(dòng)，每次要求答 30 個(gè) 選擇題，每個(gè)選擇題有 4 個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)正確答案，每 一題選對(duì)得 5 分，選錯(cuò)或不選得 0 分，滿分 150 分，規(guī)定滿 100 分 拿三等獎(jiǎng)，滿 120 分拿二等獎(jiǎng)，滿 140 分拿一等獎(jiǎng)，有一選手選對(duì) 任意一題的概率是 0.8，則該選手有望能拿到幾等獎(jiǎng)？ 解析：選對(duì)題的個(gè)數(shù) XB(30,0.8)， 故 E(X) 300.8 24， 由于 245120(分)， 所以該選手有望能拿到二等獎(jiǎng). 類型四 均值問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用 例 4 某公司計(jì)劃購(gòu)

11、買(mǎi) 2 臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被 淘汰機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件 作為備件，每個(gè) 200 元在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買(mǎi)， 則每個(gè) 500 元現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件， 為此搜集并整理了 100 臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件 數(shù)，得下面柱狀圖： 以這 100 臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替 1 臺(tái)機(jī)器更換的 易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記 X表示 2 臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損 零件數(shù)，n 表示購(gòu)買(mǎi) 2 臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù) (1)求 X的分布列； (2)若要求 P(Xn)0.5，確定 n 的最小值； (3)以購(gòu)買(mǎi)易損零件所

12、需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在 n19 與 n20 之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？ 【解析】 (1)由柱狀圖及以頻率代替概率可得，1 臺(tái)機(jī)器在三 年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為 8,9,10,11 的概率分別為 0.2,0.4,0.2,0.2， 從而 P(X16)0.20.20.04； P(X17)20.20.40.16； P(X18)20.20.20.40.40.24； P(X19)20.20.220.40.20.24； P(X20)20.20.40.20.20.2； P(X21)20.20.20.08； P(X22)0.20.20.04. 所以 X的分布列為 X 16 17 18 19 20 21 22

13、 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)由(1)知 P(X18)0.44，P(X19)0.68，故 n 的最小值為 19. (3)記 Y表示 2 臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需的費(fèi)用 (單位： 元) 當(dāng) n19 時(shí)， E(Y) 192000.68 (19200 500)0.2 (19200 2500)0.08(192003500)0.044 040. 當(dāng) n20 時(shí)， E(Y)202000.88 (20200 500)0.08 (20200 2500)0.044 080. 可知當(dāng) n19 時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于當(dāng) n20 時(shí)所需費(fèi)用的 期望值，故應(yīng)選 n19

14、. 方法歸納 解答此類題目時(shí)，首先應(yīng)把實(shí)際問(wèn)題概率模型化，然后利用有 關(guān)概率的知識(shí)去分析相應(yīng)各事件可能性的大小，并列出分布列，最 后利用公式求出相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望 . 跟蹤訓(xùn)練 4 某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品 成功的概率分別為 2 3和 3 5，現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品 A，乙組研發(fā)新產(chǎn) 品 B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立 (1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率； (2)若新產(chǎn)品 A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn) 120 萬(wàn)元；若新產(chǎn) 品 B 研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn) 100 萬(wàn)元求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的 分布列和數(shù)學(xué)期望 解析：記 E甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功，F(xiàn)乙組研發(fā)新產(chǎn)品成 功由題設(shè)知 P(E

15、)2 3，P( E )1 3，P(F) 3 5，P( F )2 5，且事件 E 與 F，E 與 F ， E與 F， E與 F都相互獨(dú)立 (1)記 H至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功)， 則H E F， 于是 P(H )P( E)P( F)1 3 2 5 2 15， 故所求的概率為 P(H)1P(H )1 2 15 13 15. (2)設(shè)企業(yè)可獲利潤(rùn)為 X萬(wàn)元， 則 X的可能取值為 0,100,120,220. 因?yàn)?P(X0)P(E F)1 3 2 5 2 15，P(X100)P(E F)1 3 3 5 3 15， P(X120)P(E F )2 3 2 5 4 15， P(X220)P(EF) 2

16、3 3 5 6 15， 故所求的分布列為 X 0 100 120 220 P 2 15 3 15 4 15 6 15 數(shù)學(xué)期望為E(X)0 2 15 100 3 15 120 4 15 220 6 15 3004801 320 15 2 100 15 140. |素養(yǎng)提升素養(yǎng)提升| 1對(duì)離散型隨機(jī)變量均值的四點(diǎn)說(shuō)明 (1)含義：均值是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征數(shù)，反映或刻 畫(huà)的是隨機(jī)變量取值的平均水平 (2)來(lái)源：均值不是通過(guò)一次或多次實(shí)驗(yàn)就可以得到的，而是在 大量的重復(fù)試驗(yàn)中表現(xiàn)出來(lái)的相對(duì)穩(wěn)定的值 (3)單位：隨機(jī)變量的均值與隨機(jī)變量本身具有相同的單位 (4)與平均數(shù)的區(qū)別：均值是概率意義

17、下的平均值，不同于相應(yīng) 數(shù)值的平均數(shù) 2對(duì)公式 E(aXb)aE(X)b 的四點(diǎn)說(shuō)明 (1)當(dāng) a0 時(shí)，E(b)b，即常數(shù)的均值就是這個(gè)常數(shù)本身 (2)當(dāng) a1 時(shí)，E(Xb)E(X)b，即隨機(jī)變量 X 與常數(shù)之和 的均值等于 X的均值與這個(gè)常數(shù)的和 (3)當(dāng) b0 時(shí)，E(aX)aE(X)，即常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的均值 等于這個(gè)常數(shù)與隨機(jī)變量均值的乘積 (4)E(X 1X2)E(X1)E(X2)，即兩個(gè)隨機(jī)變量和的均值等于均 值的和 特別提醒：(1)離散型隨機(jī)變量的均值的計(jì)算離不開(kāi)分布列 (2)注意特別的分布列，計(jì)算對(duì)應(yīng)均值時(shí)要直觀運(yùn)用公式，以減 少運(yùn)算量 |鞏固提升鞏固提升| 1已知 Y5

18、X1，E(Y)6，則 E(X)的值為( ) A6 B5 C1 D7 解析：E(Y)E(5X1)5E(X)16， E(X)1. 答案：C 2設(shè) X 為隨機(jī)變量，XB(n，1 3)，若隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望 E(X)2，則 P(X2)等于( ) A.13 16 B. 4 243 C. 13 243 D. 80 243 解析：XB(n，1 3)，E(X) n 32， n6，P(X2)C2 6(1 3) 2(2 3) 4 80 243. 答案：D 3某射手射擊所得環(huán)數(shù) 的分布列如下： 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知 的均值 E()8.9，則 y 的值為_(kāi) 解析：依題意得 ? ? ? ? ? x0.10.3y1， 7x0.82.710y8.9， 即 ? ? ? ? ? xy0.6， 7x10y5.4， 解得 y0.4. 答案：0.4 2019/7/9 最新中小學(xué)教學(xué)課件 38 編后語(yǔ) ? 聽(tīng)課對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有著非常重要的作用。課聽(tīng)得好好，直接關(guān)系到大家最終的學(xué)習(xí)成績(jī)。如何聽(tīng)好課，同學(xué)們可以參考如下建議： ? 一、聽(tīng)要點(diǎn)。 ? 一般來(lái)說(shuō)，一節(jié)課的要點(diǎn)就是老師們?cè)趥湔n中準(zhǔn)備的講課大綱。許多老師在講課正式開(kāi)始之前會(huì)告訴大家，同學(xué)們對(duì)此要格