電路原理清華大學(xué)課件207一階電路

1、第第7 7章章一階電路一階電路 7.1 動態(tài)電路概述 7.2 電路中起始條件的確定 7.3 一階電路的零輸入響應(yīng) 本章重點 7.7 脈沖序列作用下的RC電路 7.4 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng) 7.5 一階電路的全響應(yīng) 7.6 求解一階電路的三要素法 ?穩(wěn)態(tài)分量 暫態(tài)分量 本章重點 ?零輸入響應(yīng) ?初始值的確定 ?零狀態(tài)響應(yīng) ?全響應(yīng) 返回目錄 S未動作前（穩(wěn)態(tài)） S接通電源后很長時間（新穩(wěn)態(tài)） i = 0 , u C = 0 i= 0 , u C= US 一、電路的過渡過程 7.1 動態(tài)電路概述 + u C U S R C i 動態(tài)電路（dynamic circuit）: 用微分方程描述的電路 S

2、 u C US R C i + 初始狀態(tài) 過渡狀態(tài) 新穩(wěn)態(tài)t 1 U S uC t 0 ? 過渡過程（transient process）： 電路由一個穩(wěn)態(tài)過 渡到另一個穩(wěn)態(tài)需要經(jīng)歷的過程。 過渡狀態(tài)（瞬態(tài)、暫態(tài)） 二、過渡過程產(chǎn)生的原因 能量不能躍變 t w p d d ? 1. 電路內(nèi)部含有儲能元件 L ，M ， C。 S u C US R C i + 2. 電路結(jié)構(gòu)發(fā)生變化。 三、分析方法 時域分析法 復(fù)頻域分析法 時域分析法經(jīng)典法 拉普拉斯變換法 狀態(tài)變量法 四、一階電路（First-order Circuit） 由一個獨立儲能元件組成的電路,描述電路的方 程是一階微分方程。 開關(guān)閉合

3、 開關(guān)斷開 參數(shù)變化 換路 + - uS R 1 R 2 R 3 S 思考： 有無過渡過程？ 返回目錄 一、 t= 0 +與 t = 0 -的概念 換路在 t=0 時刻進行 0 - t= 0 的前一瞬間 0 + t= 0 的后一瞬間 7.2 電路中起始條件的確定 )(lim)0( 0 0 tff t t ? ? ? ? )(lim)0( 0 0 tff t t ? ? ? ? 初始條件（initial condition）為 t= 0 +時u ，i 及其各 階導(dǎo)數(shù)的值。 0 - 0 + 0 t f(t) 二、換路定則（switching law） ?d)( 1 ? ? ? t C i C u

4、?d)( 1 d)( 1 0 0 ? ? ? ? t i C i C ?d)( 1 )0( 0 ? ? ? t C i C u q=C u C ?d)()0( 0 ? ? ? t iqq 當(dāng)t = 0 +時 ?d)( 1 )0()0( 0 0 ? ? ? ? ? i C uu CC i(?)為有限值時0d)( 0 0 ? ? ? ? ?i q(0 +) = q(0- )+ 0d)( 0 0 ? ? ? ? ?i i uCC + - 1. 電容 q(0 +) = q(0 -) u C (0 +) = u C (0 -) 結(jié)論 ： 換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電 壓（電荷）換路前后保持

5、不變。 電荷守恒 t i Lu L d d ?d)( 1 ? ? ? t L u L i ?d)( 1 d)( 1 0 0 ? ? ? ? t L u L u L i ?du L i t L )( 1 )0( 0 ? ? ? ? 當(dāng)u為有限值時 ?d)()0( 0 ? ? ? t u L Li? ? L (0 +)= ? L (0 -) iL(0 +)= iL(0-) 磁鏈?zhǔn)睾?i u L + - L 2.電感 ?(0 +)= ?(0 -) iL(0 +)= iL(0-) q(0 +) = q(0-) uC(0 +) = u C (0 -) 結(jié)論： 換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電 感電

6、流（磁鏈）換路前后保持不變。 小結(jié)： 換路定則 換路定則成立的條件。注意 ? L (0 +)= ? L (0 -) iL(0 +)= iL(0-) 磁鏈?zhǔn)睾?三、電路起始條件（initial condition）的確定 由換路定則u C (0 +) = u C (0 -) V8 4010 4010 )0(? ? ? ? ? C u 畫0 +電路，求iC(0+) mA2. 0 10 810 )0(? ? ? ? C i ? 求u C (0 +) 和iC(0 +) t= 0 時打開開關(guān)S 0)0()0(? ? CC ii ？ 解 由換路前電路得 例1 + - 10V i iC S 10k ? 40

7、k ? uC - + + - 10V i iC + 8V - 10k ? t = 0 時閉合開關(guān)S，求uL(0 +)。 對否 0)0( 0)0(? ? LL uu? ? iL(0 +)= iL(0 ?)= 2A V842)0(? ? L u 需由0 +電路求u L(0 +)。 0 +電路為 iL(0 +) + uL(0 +) - L10V 1 ?4 ? 解 例2 iL + uL - L10V S 1 ?4 ? 求起始值的一般步驟: （1）由換路前電路（一般為穩(wěn)定狀態(tài)）求 uC(0 -) 和 iL(0 -)。 （2） 由換路定則得 uC(0 +) 和 iL(0 +)。 （3） 畫0 +等值電路。

8、 （4） 由0 +電路求所需各變量的0+值。 b. t =0 +時刻電容電壓（電感電流）用電壓源（電流源） 替代。方向同原假定的電容電壓、 電感電流方向。 a. 換路后的電路 c. 獨立源取t=0 +時刻值。 )30sin( m ? ?t L E iL? ? L E t L E i t L ? ? ?2 )30sin()0( m 0 m ? ? ? ? 解 由換路定則得 L E ii LL ?2 )0()0( m ? ? L E I L ?j 60 m m ? ? ? ? 對開關(guān)S打開前的電路，用相量法計算： 計算t= 0 時iL的值 V)60sin( mS ? ?tEu? 。和求： )0()

9、0(,)0( ? RLL uui 已知： 例3 iL + uL - LS R + - uS 由 0 +電路求u R(0 +)和u L(0 +)。 + uL(0 +) - R + - 2 3 m E L E ?2 m ? L RE Riu LR ?2 )0()0( m ? ? ? L REE u m L ?22 3 )0( m ? ? ? L REEm ?22 3 m ? 返回目錄 7.3 一階電路的零輸入響應(yīng) 零輸入響應(yīng)（Zero-input response）：激勵（電源）為零， 由初始儲能引起的響應(yīng)。 一、 RC放電電路 解 t u Ci C d d ? 0 )0( 0 d d Uu u

10、t u RC C C C ? ? ? uC= u R= Ri 設(shè) pt C Aue? 0e d )ed( ? pt pt A t A RC 一階齊次常微分方程 已知 uC(0 -)=U 0 ，求 uC ，i 。 i S(t=0) + u R C + u C R RC p 1 ? 特征根（characteristic root）為 t RC A 1 e ? ? 特征方程（characteristic equation）為 RCp+ 1=0 pt C Aue?則 起始值 u C (0 +) = u C(0 -)=U 0 A=U0 0 1 0 e ? ? ? t t RC AU 0ee? ptpt

11、ARCAp 由起始值定待定系數(shù) 令 ?=RC , 稱?為一階電路的時間常數(shù)（time constant）。 t U0 uC 0 0 0 ee(0) tt C RCRC uU iIt RR ? ? 0 e(0) t RC C uUt ? ? ? ? ? ? 秒 伏 安秒 歐 伏 庫 歐法歐 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? RC? I 0 t i 0 時間常數(shù) ? 的大小反映了電路過渡過程時間的長短。 ?= RC ? 11 ? RC p ?大過渡過程時間的長 ?小過渡過程時間的短 定性討論（設(shè)電壓初值一定）： R大（C不變）i = u/R 放電電流小 放電時間長 U0

12、t uC 0?小 ?大 C大（R不變）w = 0.5 Cu 2 儲能大 工程上認為，經(jīng)過 3? 5?的時間過渡過程結(jié)束。 U0 0.368 U00.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 ? ：電容電壓衰減到原來電壓36.8%所需的時間。 t 0 ?2?3?5? ? t C Uu 0 e ? ?U 0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 t 1時刻曲線的斜率等于 )( 1 e d d 1 0 11 tu U t u Ct t t C ? ? ? ? U0 t uC 0 ? t 1 t 2 按此速率，經(jīng)過?秒后uC減為零。 )(368. 0)( 12 tutu

13、 CC ? 次切距的長度 t 2 -t 1 = ? 分析： 能量關(guān)系: tRiWRd 0 2 ? ? ? 電容C不斷釋放能量被R 吸收，直到全部消耗完畢。 設(shè)設(shè)uC(0 +)=U 0 電容放出能量 2 0 2 1CU 電阻吸收能量 tR R U RC t d)e( 2 0 0 ? ? ? 2 0 2 1 CU? t R U RC t de 2 0 2 0 ? ? ? uCR + - C 二、RL電路的零輸入響應(yīng) 特征方程 Lp+R= 0 L R ? 特征根 p= 由初始值 i(0 +)= I 0 定待定系數(shù)A A= i(0 +)= I 0 i(0 +) = i(0-) = 0 1 I RR U

14、 S ? ? d 0(0) d i LRit t ? pt Atie)(? 00 ( )ee(0) R t pt L itIIt ? ? 得 i S(t=0) USL + u L RR 1 Riu L ? 令 ?= L/ R , ?稱為一階RL電路時間常數(shù) / 0 e(0) t L R RIt ? ? ? t L R Ii 0e ? ? / 0 e(0) t L R It ? ? 設(shè)i(0)一定： L大 起始能量大 R小 放電過程消耗能量小 放電慢 ?大 I 0 t i 0 秒 歐安 秒伏 歐安 韋 歐 亨 ? ? ? ? ? ? R L ? 工程上認為，經(jīng)過 3? 5?的時間過渡過程結(jié)束。

15、-RI0 uL t 0 定性討論R、L對過渡過程的影響。 iL(0 +) = iL(0?) = 1 A u V (0 +)= - 10000V 造成V損壞。 / e(0 ) t L it ? ? t=0 時 打開開關(guān)S， 電壓表壞了,試分析其原因。 電壓表量程為50V / VV 1 00 0 0 e(0 ) t L uR it ? ? ? ? 分析 改進措施 例 iLS(t=0) + u V L=0.4H R=10 ? V R V 10k ? 10V iL S(t=0) L=0.4H R=10 ? 10V 續(xù)流 二極管 4. 一階電路的零輸入響應(yīng)和初始值成正比。 1. 一階電路的零輸入響應(yīng)是由

16、儲能元件的初始值引起的 響應(yīng)，都是一個指數(shù)衰減函數(shù)。 2. 衰減快慢取決于時間常數(shù)? RC電路?= RC RL電路?= L/R 3. 同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時間常數(shù)。 小結(jié) 返回目錄 零狀態(tài)響應(yīng)（zero-state response）：儲能元件初始能量為零， 在激勵（電源）作用下產(chǎn)生的響應(yīng)。 一、直流激勵下的零狀態(tài)響應(yīng) 列方程 7.4 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng) 一階非齊次線性常微分方程 。 解答形式為： CCC uuu? ? 通解 特解 S d d Uu t u RC C C ? i S(t=0) US + -u R C + - uC R u C (0 -)=0 1. RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)

17、 與輸入激勵的變化規(guī)律有關(guān)，某些激勵時強制分量為 電路的穩(wěn)態(tài)解，此時強制分量稱為穩(wěn)態(tài)分量 RC t C Au ? ? ?e 全解 u C (0 +)=A+U S= 0A=-US 由起始條件 u C (0 +)=0 定積分常數(shù) A 齊次方程的解0 d d ? C C u t u RC ：特解（強制分量） C u? = U S C u? ：通解（自由分量，暫態(tài)分量）C u ? ? RC t CCC AUuuu ? ? ?e S i t R U S 0 S d e (0) d t C RC uU iCt tR ? ? ? US C u? 穩(wěn)態(tài)分量 -US C u? ? 暫態(tài)分量 uC t 0 全解

18、)0( )e1(e S SS ? ? tUUUu RC t RC t C 強制分量(穩(wěn)態(tài)) 自由分量(暫態(tài)) 能量關(guān)系：能量關(guān)系：電源提供能量一部分消耗在電阻上， 一部分儲存在電容中，且一部分儲存在電容中，且w C = wR 充電效率為50% tR R U tRiw RC t R d)e(d 2 00 S2 ? ? ? ? ? ? 0 22 S e 2 RC t R URC C w CU ? 2 2 S R C 開關(guān)S在t=0時閉合， 求uC的零狀態(tài)響應(yīng)。 解法1： t u C iu i C d d 1 2 ? ? ? C C u t u Cu ui ? ? d d 12 整理得 64 d d

19、 5? C C u t u C 64 d d 4? C C u t u 非齊次線性常微分方程 通解 特解 解答形式為CCC uuu? ? + - 4/5F i 1 ? 1 ?1 ? 2V 例 + - 2 i S + - - uC u V5. 13 A5. 024 ? ? iu ii C t C Au ? ?e5. 1 則 由初始值定系數(shù)A= ?1.5 1.5 1.5e V(0) t C ut ? ? t C Au ? ? ?e 通解 特征根 p= ?1 044?p 特征方程 特解(穩(wěn)態(tài)分量) 2V + - i 1 ? 1 ?1 ? + - 2 i + - C u 穩(wěn)態(tài)電路 由穩(wěn)態(tài)電路得 1 .

20、5 1 .5 e V (0) t C ut ? ? s1? RC? 解法2： （先對開關(guān)左邊電路進行戴維南等效） + - 4/5F i 1 ? 1 ?1 ? 2V+ - 2 i S + - - uC u + - 4/5F 1/4 ?1 ? 1.5V + - uC 2. RL電路的零狀態(tài)響應(yīng) 電路的零狀態(tài)響應(yīng) S d d UiR t i L L L ? S (1 e)(0) Rt L L U it R ? ? S d e(0) d R t L L L i uLUt t ? ? 解 iL(0 ?)=0 求: 電感電流iL(t)。已知 LLL iii? ? uL US t 0 t iL R US 0

21、 R U AiL S 0)0(? ? t L R A R U ? ?e S iL S(t= 0) U S + uR L + uL R 二、正弦電源激勵下的零狀態(tài)響應(yīng) Sm ( )sin() u u tUt? )sin( d d mu tU t i LRi? 強制分量（穩(wěn)態(tài)分量） 自由分量（暫態(tài)分量） ? t Ai e ? ? ? R L ? ? u ?t uS 接入相位角 iii? ? 一階齊次常微分方程 解答形式為 iL(0 ?)=0 uS + - iL S(t= 0) L + uL R 用相量法計算穩(wěn)態(tài)分量i? 22 m m )( LR U I ? ? R L? ?arctg? )sin(

22、 m ? u tIi ? ? t u AtIiii m e)sin( ? ? ? 定系數(shù) AIi u ? ? )sin(0)0( m ? )sin( m ? u IA ? ? ? ? ? u I LR U I m S j ? ? jX L L I ? + - R S U ? 相量模型 ? ? ? ? ? 0 0 m 0 e)sin( t t t u t AtIi ? ? ? ? t uu ItIi mm e)sin()sin( ? ? 解答為 討論幾種情況： （1）? u ? ?=0 ? 即合閘時? u = ? 合閘后，電路直接進入穩(wěn)態(tài)，不產(chǎn)生過渡過程。 （2） ? u-? = ?/2即? u

23、 = ? ?/2 A = 0 無暫態(tài)分量 )sin( m ? u tIi m IA? ? t Ii me ? ? ? ? ? t u ItIi mm e)sin( ? ? ? ? t u ItIi mm e)sin( ? ? 當(dāng)? u=? +?/2 時 mmax 2Ii? i? -Im I m i? ?/2 i t 0 i 波形為 ? ? t ItIi mm e)2/sin( ? ? 小結(jié)：小結(jié)： 1. 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)是儲能元件無初始儲能時 由輸入激勵引起的響應(yīng)。 2. 時間常數(shù)與激勵源無關(guān)。 3. 線性一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)與激勵成正比。線性一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)與激勵成正比。 返回目錄返

24、回目錄 7.5 一階電路的全響應(yīng) 全響應(yīng)全響應(yīng)（complete response）：非零起始狀態(tài)的電路受到 外加 激勵所引起的響應(yīng)。 S d d Uu t u RC C C ? 非齊次線性常微分方程 ?= RC ? t C AUu S e ? ? 暫態(tài)解 ? t C Au ? ? ?e 解答形式為 CCC uuu? ? 穩(wěn)態(tài)解 S Uu C ? i S(t=0) US + uR C + uC R u C (0 -)=U 0 強制分量(穩(wěn)態(tài)分量) 自由分量(暫態(tài)分量) S0S ()e(0 ) t C uUUUt ? ? ? （1） 全響應(yīng) = 強制分量（穩(wěn)態(tài)分量）+自由分量（暫態(tài)分量） u C

25、 (0 +) = A+U S=U0 A = U 0 ?US 由起始值定A： U0 uC 全響應(yīng) t uC 0 穩(wěn)態(tài)分量 US C u? ?U S U0 暫態(tài)分量C u? ? 一、一階電路的全響應(yīng)及其兩種分解方式 （2） 全響應(yīng)= 零狀態(tài)響應(yīng) + 零輸入響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng) 零輸入響應(yīng) S0 (1 e)e(0 ) tt C uUUt ? ? ? S0S ()e(0 ) t C uUUUt ? ? ? 可表示為 = + i S(t=0) USC + uC R u C (0 -)=U 0 i S(t=0) USC + u C R u C (0 -)=0 u C (0 -)=U 0 i S(t=0) C

26、+ u C R t uC 0 US 零狀態(tài)響應(yīng) 零輸入響應(yīng) U0 零狀態(tài)響應(yīng) 零輸入響應(yīng) S0 (1 e)e(0 ) tt C uUUt ? ? ? 全響應(yīng) S 1 0 ,2H,1 2 V,RLU? 已知例 如圖所示電路中， 求iL,uL的全響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)。 S 2A,(0)1 A L Ii? 。 S R LUS iL + ? 12 I S 解 換路后可利用疊加定理將iL,uL的求解分解為下面三個電路。 2H R L iLf f (0 )1 A L i? (a) 10 ? + ? uLf R L U S + ? (b) 2H 10 ? 12V e(0) 0 L i? eL i +

27、 ? eL u R LI S e(0) 0 L i? (c) 2A eL i 2H 10 ? + ? eL u 2H R L iLf f (0 )1 A L i? (a) 10 ? + ? uLf R L U S + ? (b) 2H 10 ? 12V e(0) 0 L i? eL i + ? eL u R LIS e(0) 0 L i? (c) 2A eL i 2H 10 ? + ? eL u 各響應(yīng)分量為 /5 f 5 f ee A 10e V tt L t L i u ? ? ? ? ? 5 e 5 e 1.2(1e) A 12e V t L t L i u ? ? ? ? ? ? ?

28、5 e 5 e 2(1 e) A 20e V t L t L i u ? ? ? ? ? 零輸入響應(yīng)為 /5 f 5 f ee A 10e V tt L t L i u ? ? ? ? ? 零狀態(tài)響應(yīng)為5 eee 5 eee 3 .2 (1 e) A 3 2 e V t LLL t LLL iii uuu ? ? ? ? ? ? 零輸入響應(yīng) /5 f 5 f ee A 10e V tt L t L i u ? ? ? ? ? 零狀態(tài)響應(yīng) 5 eee 5 eee 3 .2 (1 e) A 3 2 e V t LLL t LLL iii uuu ? ? ? ? ? ? 全響應(yīng)為 5 fe 5 fe

29、 3 .2 2 .2 eA 2 2 e V t LLL t LLL iii uuu ? ? ? ? 返回目錄返回目錄 7.6 求解一階電路的三要素法 0 ( )( ) ( 0 )( )e t r trrr ? ? ? ? ? ( ) (0 ) r r ? ? ? ? ? ? ? 穩(wěn)態(tài)解 三要素起始值 時間常數(shù) 線性非時變一階電路的時域數(shù)學(xué)描述是一階微分方程 。 ( )( )e t r trA ? ? ? 令 t = 0 + 0 (0)( )rrA ? ? ? 0 (0)( )Arr ? ? ? 對于換路后有穩(wěn)態(tài)的情況，一階電路響應(yīng)的一般形式為 I S R a R b C 21 21 )( RR

30、 LRR ? ? CRR)( ba ? 例1 求?的簡便方法： u S L R 2 R 1 例2 R 等 L CR等 （1） 獨立電源置零。 等 等 電路：電路： R L RLCRRC? （2） 從L或 C兩端求入端等效電阻，則 思考： + - - R1 R 2 C1 C2 E?(t) ?？ )( 21 21 21 CC RR RR ? ? ? R 1 R 2 C1 C2 獨立電源置零后電路 則 例1 已知： t=0 時合開關(guān)S，求 換路后的uC(t) 。 V2)0()0(? ? CC uu V 3 2 1 12 2 )(? ? ? C u s23 3 2 ?CR 等 ? 0.5 0 .6 6

31、 7 1 .3 3 3 eV(0 ) t C ut ? ? 解 1A 2 ? 1 ? 3F + - uC S t/s uC 2 /V 667. 0 0 已知：電感無初始儲能 t = 0 時合 S 1 , t =0.2s 時合S2 求兩次換路后的電感電流i(t)。 解 0 t 0.2s A2)( s2. 0 0)0( 1 ? ? ? ? i i ? A5)( s5. 0 A26. 1)2. 0( 2 ? ? ? ? i i ? A26. 1e22)2. 0( 2. 05 ? ? i Ae74. 35)( )2. 0(2 ? ? t ti 例2 i 10V 1H S 1 (t=0) S 2 (t=

32、0.2s) 3 ? 2 ? Ae74. 35 )2. 0(2 ? ? t i Ae22 5t i ? ?(0 t? 0.2s) (t? 0.2s) i t/s 0.2 5 /A 1.26 2 0 例3 求圖示電路中電流 iC(t)。 10k ? 10k ? uS + - iC 100 ?F uC(0 -)=0 0.5 10 t/s uS/V 0 0 t 0.5s s5. 010510100 36 ? ? RC? mA1 10000 10 )0(? ? C i 0)(? C i mA e 2t C i ? ? t = 0.5s 時第2次換路 5. 02 e)5. 0()5. 0( ? ? CC

33、ii ? )5. 0()5. 0( ? ? CC uu 解10k ? 10k ? uS + - iC 100 ?F uC(0 -)=0 用三要素法求iC 要先求出uC(0.5 +)，畫出0.5+ 電路，再求iC(0.5 +) s5. 0V5)(0)0(? ? ? CC uu V e55 2t C u ? ? 0 t 0.5s s5. 0 0)( ? ? ? C i mAe632. 0 )5. 0(2 ? ? t C i 10k ? 10k ? iC 3.16V t=0.5 +s時刻電路 + - mA e 2t C i ? ? mAe632. 0 )5. 0(2 ? ? t C i (t 0.5s) (0 t 0