直線的點向式參數(shù)式一般式方程之間的互化

1、 以以下下任任何何一一種種情情形形,都都唯唯一一確確定定一一條條直直線線： （1）作作為為兩兩個個相相交交平平面面的的交交線線與與 21 ； （2） 21 , MM經經過過兩兩點點； （3） M 經經過過一一點點，且且平平行行于于一一個個非非零零向向量量。 7 7. .3 3. .2 2 直直線線的的方方程程 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 就表示交線就表示交線L的方程，式稱為空間直線的的方程，式稱為空間直線的一般方程一般方程。 一一、直直線線的的方方程程 （一一）直直線線的的一一般般方方程程 當當空空間間直直線線 L 作作為為兩兩個個相相交交平平面面 1 ：0 1

2、111 DzCyBxA， 2 ：0 2222 DzCyBxA， 的的交交線線時時，方方程程組組 x y z o 1 2 L 設直線設直線 L 過點過點) , , ( zyxM， 方向向量為方向向量為 , ,nmla ， ) , , (zyxM是是 L 上任意一點，上任意一點， 則則 , , zzyyxxMM ， （二二）直直線線的的標標準準方方程程（或或點點向向式式方方程程） 與與 直直 線線 平平 行行 的的 非非 零零 向向 量量 稱稱 為為 直直 線線 的的方方 向向 向向 量量。 例如：方程組例如：方程組 0 0 z y ， 0 0 z x ， 0 0 y x 分別表示分別表示軸軸 x

3、、軸軸軸和軸和 zy。 M ML y x z o a 直直線線的的任任一一方方向向nmla , , 的的三三個個坐坐標標向向量量 稱稱為為直直線線的的 一一組組方方向向數(shù)數(shù)。 由由MM a ，得得： n zz m yy l xx ， 式式稱稱為為直直線線的的標標準準方方程程或或點點向向式式方方程程。 （三三）直直線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程 ntzz mtyy ltxx ， 方方程程組組稱稱為為直直線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程。 當當nml , ,中中有有兩兩個個為為零零，例例如如0 ml，而而0 n， 則則應應理理解解為為 . 0 , 0 yy xx 在在直直線線方方程程中中，設設t n zz m

4、yy l xx ，則則有有 直線的點向式、參數(shù)式、一般式方程之間的互化直線的點向式、參數(shù)式、一般式方程之間的互化 由直線的點向式方程容易得出參數(shù)式方程。由直線的點向式方程容易得出參數(shù)式方程。反之，由反之，由 參數(shù)式方程顯然能直接寫出點向式方程。參數(shù)式方程顯然能直接寫出點向式方程。 把把點點向向式式方方程程的的連連等等式式 n zz m yy l xx 寫寫成成 兩個方程兩個方程 n zz m yy m yy l xx ，即，即 . 0)()( , 0)()( zzmyyn yylxxm 便便是是直直線線的的一一般般方方程程。 把把一一般般式式方方程程化化為為點點向向式式方方程程，歸歸結結為為在

5、在直直線線上上找找出出 一一確確定定點點和和求求出出直直線線的的方方向向向向量量。 再再求求直直線線的的a 方方向向向向量量。由由于于兩兩平平面面的的交交線線與與這這兩兩平平面面 的的法法向向量量1 , 1 , 1 1 n 和和3 , 1 , 2 2 n 都都垂垂直直， 故故取取3 1, , 4 312 111 21 kji nna ， 直直線線的的點點向向式式方方程程為為 314 2 zyx 。 例例 6用用點點向向式式方方程程及及參參數(shù)數(shù)方方程程表表示示直直線線 0432 02 zyx zyx 。 解解： （方方法法 1）先先在在直直線線上上找找一一點點),( zyxM，0 z令令 代代入

6、入原原方方程程組組得得2 x，0 y，則則點點0) 0, , 2( M在在直直線線上上。 （方法方法 2）在直線上取兩點）在直線上取兩點0) 0, , 2( M，) 2 3 , 2 1 , 0( 1 M， 則直線的方向向量為則直線的方向向量為 2 3 , 2 1 , 2 1 MM。 直直線線的的點點向向式式方方程程為為 2 3 2 1 2 2 zyx ， 即即 314 2 zyx ， t 令上式比值為令上式比值為，得得直直線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程： 3 42 tz ty tx 。 （四四）直直線線的的向向量量式式方方程程 在在直直線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程 ntzz mtyy ltxx 中中，

7、若若記記,zyxr ， , , zyxr ， , ,nmla ，則則有有 t arr 上上式式稱稱為為直直線線的的向向量量式式方方程程。 （五五）直直線線的的兩兩點點式式方方程程 故故所所求求直直線線方方程程為為 12 1 12 1 12 1 zz zz yy yy xx xx 。 方方程程稱稱為為直直線線的的兩兩點點式式方方程程。 解：解： 21 , MM直線過點直線過點， 取取作為方向向量作為方向向量 , , 12121221 zzyyxxMM ， 求求過過點點) , , ( 1111 zyxM，) , , ( 2222 zyxM的的直直線線的的方方程程。 二二、空空間間兩兩直直線線的的夾

8、夾角角 兩兩直直線線方方向向向向量量的的夾夾角角（通通常常指指銳銳角角）稱稱為為兩兩直直線線的的夾夾角角。 設兩直線設兩直線 1 L和和 2 L的方向向量分別為的方向向量分別為 , , 1111 nmla ， , , 2222 nmla ，則它們的，則它們的 夾夾角角 應是應是),( 21 aa 或或),(),( 2121 aaaa 兩者中的銳角，故兩者中的銳角，故 ),cos(cos 21 aa ，即，即 . cos 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 21 21 nmlnml nnmmll aa aa 三三、空空間間兩兩直直線線的的位位置置關關系系 設設有有兩兩直

9、直線線 1 1 1 1 1 1 1 : n zz m yy l xx L ， 2 2 2 2 2 2 2 : n zz m yy l xx L ， 11111 ),(LzyxM ， 22222 ),(LzyxM ， , 1111 nmla 為為的的 1 L方方向向向向量量， , 2222 nmla 為為的的 2 L方方向向向向量量。 （1） 1 L 2 L 1 a 2 a 2 1 2 1 2 1 n n m m l l ， （2） 1 L 2 L 1 a 2 a 0 212121 nnmmll； （3）共共面面向向量量共共面面與與 , , 212121 aaMMLL ; 0 2121 aaMM

10、 （4）0 212121 aaMMLL異異面面與與； （5） 212121 aaLLLL不不平平行行于于共共面面且且與與相相交交與與 0 0 212121 aaaaMM且且。 例例 7直直線線 L 過過點點)1 , 1 , 1(A且且與與直直線線 321 : 1 zyx L 和和 4 3 1 2 2 1 : 2 zyx L都都相相交交，求求直直線線 L 的的方方程程。 1 )0 , 0 , 0(LB ， 2 )3 , 2 , 1(LC ， 1 , 1 , 1 AB，2 , 1 , 0 AC， 解解：設設 L 的的方方程程為為 n z m y l x111 ， 2121 , , , ,aaaLL

11、L 的的方方向向向向量量分分別別為為， 則則 , ,nmla ，3 , 2 , 1 1 a ，4 , 1 , 2 2 a 。 解解得得m nl2 , 0 ， 故故 L 的的方方程程為為 m z m yx 2 11 0 1 ，即即 2 1 1 1 0 1 zyx 。 0242 210 412 0 22 nml nml ACaaLL 共共面面與與， 02 111 321 0 11 nml nml ABaaLL 共共面面與與， 四四、直直線線與與平平面面的的夾夾角角 當當直直線線與與平平面面不不垂垂直直時時，直直線線與與它它在在平平面面上上的的投投影影 直直線線的的夾夾角角) 2 0( ，稱稱為為直

12、直線線與與平平面面的的夾夾角角。 當當直直線線與與平平面面垂垂直直時時，規(guī)規(guī)定定直直線線與與平平面面的的夾夾角角 2 。 故故),cos(sinna ，即即 .sin 222222 CBAnml CnBmAl 設直線的方向向量為設直線的方向向量為,nmla ， 平面的法向量為平面的法向量為,CBAn ， 直線與平面的夾角為直線與平面的夾角為 ， 則則 2 ),(na 或或 2 ),(na ，),( 2 na ， n L L 直線直線L與平面與平面 的位置關系如下的位置關系如下： （1）L )(上上不不在在 L . 0 , 0 000 DCzByAx CnBmAl （2）上上在在 L . 0 ,

13、 0 000 DCzByAx CnBmAl （3）L n C m B l A na /. 直線直線 L： n zz m yy l xx ， 平面平面 ：0 DCzByAx， （4） L交交點點 P0 CnBmAl. 例例 8設有設有L 直線直線： 03102 0123 zyx zyx 及及 平平面面：0224 zyx，則則L 直直線線（ ） （A） 平行于平行于； （B）上上在在 ； （C） 垂垂直直于于； （D）斜斜交交與與 。 1 , 2 , 47 7 , 41 ,28 10 , 1 , 2 2 , 3 , 1 a， 平平面面的的法法向向量量為為 1 , 2 , 4 n ， a n ，從從

14、而而 平平面面直直線線 L，故故應應選選（C） 。 C 解解：L 直直線線的的方方向向向向量量為為 例例 9求求直直線線 tz ty tx 23 2 1 與與平平面面052 zyx的的交交點點。 五五、直直線線與與平平面面的的交交點點 05) 23()2()1(2 ttt， 解解出出4t， 再再把把4 t代代入入直直線線方方程程，得得3 x，6 y，5 z， 即即交交點點為為)5 6, , 3( P。 設設) , ,( zyxM為為直直線線L 外外一一點點，L 的的a 方方向向向向量量為為， 求求dLM 的的距距離離到到 。 則則 a aMM d 1 。 六六、點點到到直直線線的的距距離離 M

15、 1 M d a L 解解：在在 L 上上任任取取一一點點),( 1111 zyxM，以以 MM1a 和和為為邊邊 的的平平行行四四邊邊形形的的面面積積為為aMM 1 ， 上上的的兩兩點點，則則，分分別別為為 ，方方向向向向量量分分別別為為為為兩兩異異面面直直線線，設設 2121 2121 , LLMM aaLL 七七、兩兩異異面面直直線線的的距距離離 21 2121 21 2121 )( aa aaMM aa aaMM d 1 L 1 M 2 M 2 L 2 a 1 a 例例 10求求兩兩異異面面直直線線 L1： 1 1 1 3 4 3 zyx ， L2： 1 2 02 zyx 間間及及的的

16、距距離離 d公公垂垂線線 L 的的方方程程。 解解：1 , 0 , 2 ,1 , 1 , 4 , 2121 aaLL 的的方方向向向向量量為為， 2 , 2 , 11, 0 , 21 , 1 , 4 21 aa ， 12 , 2 , 11 , 3 , 3)( 2121 aaMM ， . 3 1 3 1 )( 21 2121 aa aaMM d 11 )1 , 3 , 3(LM ， 22 )2 , 0 , 0(LM ，1 , 3 , 3 21 MM， 公公垂垂線線 L 的的2 , 2 , 1 21 aaa 方方向向向向量量， 11 所所確確定定的的平平面面記記為為與與 LL， 22 所所確確定定

17、的的平平面面記記為為與與 LL， 設設 2121 nn 和和的的法法向向量量分分別別為為和和平平面面 ，則則 1 , 1 , 099, 9, 01, 1 , 42, 2 , 1 11 aan ， 4, 5, 21 , 0 , 22, 2 , 1 22 aan ， 0)1(1)3(1)3(0 1 zyx的的方方程程為為， 即即02 zy。 又又 11 )1 , 3 , 3( M， 22 )2 , 0 , 0( M， 0)2(4)0(5)0(2 2 zyx的的方方程程為為， 即即08452 zyx。 或或把把 L2化化為為參參數(shù)數(shù)方方程程 tz y tx 2 0 2 ，代代入入的的方方程程平平面面

18、 1 ， )2 , 0 , 8( 12 AL ， 故公垂線方程為故公垂線方程為 2 2 21 8 zyx 。 21 L，公公垂垂線線L L的的方方程程為為 . 08452 , 02 zyx zy 八八、過過直直線線的的平平面面束束 設設直直線線L L的的方方程程為為 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA ) ( 21 L， 通通過過定定直直線線的的所所有有平平面面的的集集合合稱稱為為平平面面束束。 則則過過 L 的的平平面面束束為為 0)()( 22221111 DzCyBxADzCyBxA， 其其中中0 22 。 若若0 , 1 ，即為，即為的方程的方程平面平面 1 ； 若若1 , 0 ，即為，即為的方程的方程平面平面 2 。 表示缺少一個平面表示缺少一