高三數學極限、導數學科素質訓練

1、xx xx 學 年 度 上 學期高 中 學 生 學 科 素 質 訓 練高三數學第一輪復習單元測試（10） 極限、導數一、選擇題 : 本題共12 小題，每小題5 分，共60 分，在每小題給出的四個選項中只有一個選項正確1（理）若復數 z 滿足方程 z220 ，則 z3（）A 2 2B 2 2C 2 2 iD2 2 i(文 )曲線 y=4x x3 在點 (1, 3)處的切線方程是（）A y=7x+4B y=7x+2C y=x 4D y=x 22函數 y=x2 ( 1 x 1 )圖象上一點 P,以點 P 為切點的切線為直線l,則直線 l 的傾斜角22的范圍是（）A 0, 3,B 0,44C,3D 0

2、, (,34)44243（理）若 limx22ax2 3,則 a 的值為（）x2x44A 0B 1C 1D12（文）在曲線 y=x 2+1的圖象上取一點 （ 1,2）及鄰近一點（ 1+x,2+y）,則x 為（）yA x+1+2B x 1 2xxCx+21D 2+ xx152（）4曲線 y=x +3x +4 x 在 x= 1 處的切線的傾斜角是5A B3D54C4445函數 f(x)=x 3 ax2 bx+a2 在 x=1 時 ,有極值 10,則 a、 b 的值為（）A a 3, 或 a4B a4,或 a -4b3b 11b1b11a1D 以上皆錯C5b6（理）已知 f x2 x3,x12,x1

3、，下面結論正確的是（）A fx在 x1 處連續(xù)B fx5C limfx2D lim fx5x 1x1（文）設 f （ x） =ax3+3 x2+2,若 f（ 1） =4,則 a 的值等于191613D10A B C33337函數 f(x)=x3 3x+1,x 3,0的最大值、最小值分別是（）A 1, 1B 1, 17C 3, 17D 9, 198（理）數列 a n 中，a1=1,S n 是前 n 項和 .當 n 2 時，an=3Sn,則 limSn1的值是（）Sn 13n1B 2C 1D4A 35（文）曲線 y=x 3 3x2+1 在點（ 1， 1）處的切線方程為（）A y=3x 4B y=

4、3x+2C y= 4x+3D y=4x 59（理） 2+23 i 的平方根是（）A 3 +iB3 iC3 +iD (3+i)（文）已知 f （x）=2x36x2+m （m 為常數）在 2，2上有最大值3，那么此函數在 2，2上的最小值是（）A 37B 29C 5D以上都不對10已知函數yxf (x) 的圖象如右圖所示（其中f (x) 是函數f ( x) 的導函數），下面四個圖象中yf (x) 的圖象大致是11設 f(x) 、g(x) 分別是定義在R 上的奇函數和偶函數,當 x 0 時 , f ( x)g ( x)f ( x) g (x) 0.且 g(3)=0. 則不等式 f(x)g(x) 0的

5、解集是（）A （ 3,0) (3,+ )B (3,0) (0, 3)C( ,- 3) (3,+ )D ( , 3)(0, 3)12已知兩點 O（0,0），Q（ a ,b） ,點 P1 是線段 OQ 的中點，點P2 是線段 QP1 的中點，P3 是線段 P1P2 的中點，Pn 2 是線段 Pn Pn 1 的中點，則點Pn 的極限位置應是 （）A （ a , b ）B ( a , b )C( 2a , 2b )D ( 3a , 3b )22333344二、填空題 (本大題共 4 小題，每小題 4 分，共 16分.把答案填在題中橫線上)13 垂直于直線2x 6y+1=0 且與曲線y=x 3+3x 2

6、 1 相切的直線方程的一般式是_.143 ，則14 (理 ) （ xx 年安徽卷）設常數a 0， ax2展開式中 x3 的系數為x2lim( aa2an )_.n(文 )(xx 福建高考 ) 已知直線 xy10 與拋物線 yax2 相切，則 a_.15函數 f(x)=2x 3+3x 2 12x 5,則函數 f(x) 的單調增區(qū)間是 _.16（理）用數學歸納法證 111 111111(n N *)2 3 42n 1 2n n 1 n 22n的過程中，當n=k 到 n=k+1 時，左邊所增加的項為_.（文）若函數f （ x） =x 3+x 2+mx+1是 R 上的單調遞增函數，則m 的取值范圍是_

7、 三、解答題 (本大題共 6 小題，共74 分 .解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17（本小題滿分12 分）0( x0)x(0x1)（理）設函數f ( x)24x2(1 x 3)x4x( x3)（ 1）畫出函數的圖象；（ 2）在 x=0， x=3 處函數 f ( x) 是否連續(xù)；（ 3）求函數 f (x) 的連續(xù)區(qū)間 .（文）已知函數f ( x)ax33x 213 .a（ 1）討論函數f (x) 的單調性；（ 2）若曲線 yf ( x) 上兩點 A、 B 處的切線都與y 軸垂直，且線段AB 與 x 軸有公共點，求實數a 的取值范圍 .18（本題滿分12 分）（理）已知復數z1=cos

8、i ， z2=sin +i ，求 | z1z2|的最大值和最小值.（文） (xx 福建高考 )已知 f (x) 是二次函數， 不等式 f ( x)0 的解集是 (0,5), 且 f (x)在區(qū)間1,4 上的最大值是 12。（ 1）求 f (x) 的解析式；（ 2）是否存在實數 m, 使得方程 f ( x)370 在區(qū)間 ( m, m 1) 內有且只有兩個不等x的實數根？若存在，求出m 的取值范圍；若不存在，說明理由19（本小題滿分12 分）已知 f ( x)x3ax2bxc 有極大值f () 和極小值f () .（ 1）求 f ( ) + f ( ) 的值；（ 2）設曲線yf (x) 的極值點

9、為A 、 B，求證：線段AB 的中點在yf ( x) 上 .20（本小題滿分12 分）（理）函數 f ( x)1的定義域為 R，且 lim f ( n) 0(n N ).bx1a 2n（ 1）求證： a 0,b 0;（ 2）若 f (1)4 , 且 f ( x)在 0,1上的最小值為1 ，52求證： f (1)f (2)f ( n)n11 (nN ) .2n 12（文） (xx 安徽高考 )設函數 f xx3bx2cx(xR) ，已知 g( x) f ( x) f ( x)是奇函數。（ 1）求 b 、 c 的值 （ 2）求 g( x) 的單調區(qū)間與極值 21（本小題滿分12 分）（理）如圖，在

10、平面直角坐標系xOy 中，射線yx(x0)和 y2x( x0) 上依次有點列 A 1， A2 ， A n，； B1，B 2， Bn， .其中 A1 (1,1), B1 (1,2), B2 (2,4),且|OAn| |OAn 1 | 2 ，| Bn 1 Bn | 2 | Bn Bn 1 |,( n2,3,4).（ 1）用含有 n 的式子表示 | Bn Bn 1 |；（ 2）用含有 n 的式子表示點 A n、 Bn 的坐標；（ 3）求四邊形An An 1 Bn 1 Bn (n4) 面積的最大值 .（文） (xx 陜西高考 ) 已知函數f(x)=kx 3 3x2+1(k 0).（ 1）求函數f(x)

11、 的單調區(qū)間 ;（ 2）若函數f(x) 的極小值大于0, 求 k 的取值范圍 .22（本大題滿分14 分）自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響. 用 xn 表示某魚群在第 n 年年初的總量， n N x，且 x1 0.不考慮其它因素，設在第n 年內魚群的繁殖量及捕撈量都與xn 成正比，死亡量與 xn2 成正比，這些比例系數依次為正常數a， b， c.（ 1）求 xn+1 與 xn 的關系式；（ 2）猜測：當且僅當 x1，a，b，c 滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）（ 3）(只理科做 )設 a 2，b

12、1，為保證對任意 x1（ 0,2），都有 xn 0，n Nx，則捕撈強度 b 的最大允許值是多少？證明你的結論.參考答案（ 10）1（ 理）設 z a bi(a,bR) ，由 z22 0 ，得a 2b 22 0 ，得 z2i 。所以 z32 2i .ab0答案 :D223在點 (3x,所以 k=4 3 (1) =1,運用直線的點斜式方程得y=4x x（文） y = 4 -切1, 3)處的切線方程是y=x 2,所以應選 D.2 y =2x. 1 x 1, 1 y 1,即 1tan 1.又 0 , 0224或 3 .答案 :A43（理） limx2ax2 存在，而把x=2 代入分母時，分母為零，分

13、子、分母應x 2(x2)( x2)有 ( x2)這一公因式， 化簡以后，再求極限 .分子 x2+ax 2 可分解成 (x 2)(x+1)，即 x2 +ax 2=( x 2)(x+1)= x2 x 2.a= 1.答案 : C（文）x(1x) 21 (1 1)=x= x+2. 答案 :Cy4 y =x4+6x+4, y | x1 =( 1) 4+6( 1)+4= 1.由 tan = 1,0 ,得 =3 .4答案 :C5 f (x)=3x 2 2ax b.函數f(x) 在 x=132ab0,處有極值10, aba2解得110.a3, 或 a4, 答案 :Ab3b11.6（理）當 x=1時， 2x+3

14、=52,故 A 、 B 錯誤；而 lim(2 x3) =5 ，故選 D.x 1（文） f（ x） =3ax2+6 x,f（ 1） =3a 6=4,所以 a=10.答案 :D37 f (x)=3x 2 3=3(x 1)(x+1). 令 f (x)=0 得 x= 1 或 x=1(舍去 ).列表如下 :x 3( 3, 1)1( 1,0)0f(x) 1731 f(x) maxmin= 17.答案 :C=3,f(x)8(理 )當 n 2 時， a =S S =3S , S =S.又 S =a =1， S 是以 1 為首項，nnn 1nn1 n111n21Sn1(1 )n 111. limlim2=答案

15、: A為公比的等比數列Sn 1=.2n3n(1n33)2(文 )y =3x2 6x, y |y+1= 3（x 1）.答案 :Bx=1 = 3.在（ 1, 1）處的切線方程為9 (理 )設 2+23 i 的平方根是 a+bi(a 、 b R ),則 (a+bi) 2=2+2 3 i,即 a2 b2+2abi=2+23 i.由復數相等的定義,得a2b22,2ab23.解得 a3, 或 a3, 即 2+23 i 的平方根是 (3 +i). 答案 :Db 1b1,(文 ) f （ x）=6x （ x 2）， f （ x）在（ 2， 0）上為增函數，在（ 0， 2）上為減函數的， x=0 時， f（ x

16、）=m 最大 . m=3 ，f（ 2） =37， f （ 2）= 5.答案： A10由函數 yxf( x) 的圖象可知：當x 1 時，xf (x) 0 ，此時f ( x) 增 ,當1x0 時， xf ( x) 0， f(x) 0 ，此時 f ( x) 減 ,當 0x 1時， xf( x) 0 ，f( x) 0， f(x) 0，此時 f ( x) 增 .答案 :C11當 x 0時, f( x)g( x)f (x) g ( x) 0，即 f (x)g( x) /0 ,當 x 0 時，f(x)g(x)為增函數，又 g(x)是偶函數且g(3)=0 ， g(-3)=0 ， f(-3)g(-3)=0,故當

17、 x3 時，f(x)g(x) 0,又 f(x)g(x) 是奇函數，當x0 時， f(x)g(x) 為減函數，且f(3)g(3)=0, 故當 0x 3時， f(x)g(x) 0,故選 D12.點 Pn 的位置應是 (aaaa, bbbb) , 點 Pn 的極限位置2a2b2481624816應是 (,).答案 :C33垂直， k= 3.又由 y=x 3+3x 2 1,得 y =3x2+6x= 3. x=13.所求直線與2x 6y+1=0 1,切點為 ( 1， 1).直線方程為 y 1= 3(x+1), 即 3x+y+2=0. 答案 : 3x+y+2=01r1rx3 , 得 r2, 由 C4r a

18、4 r = 3 知a=1 ，所14 (理 ) Tr 1 C4r a4 r x8 2r x 2，由 x8 2r x 2221以 lim( aa2an )21 ，所以為 1.n112( 文 ) 直線 xy 1 0與拋物線 yax2 相切 , 切線的斜率 ky2ax1,切點(1,1 2a) ,而切點又在拋物線yax2 上 ,1 2aa (1) 2故 a1.2a2a2a2a415分析 : 本題考查用導數求函數的單調區(qū)間,但要注意單調區(qū)間的寫法.解 :f (x)=6x 2+6x 12,令 f (x) 0,得 6x2 +6x 12 0,解得 x 2 或 x 1,即函數 f(x) 的單調增區(qū)間是( , 2)

19、或(1,+ ).答案 :( , 2)或 (1,+ )16（理 )當 n=k 到 n=k+ 1時，左邊增加了兩項11,減少了一項1,左邊所2k1,k2k21增加的項為11111112k 1=12k 2.答案 :2k22k 2k 12k2k 1(文 )f（x）=3x2+2x+m .f（ x）在 R 上是單調遞增函數, f （ x） 0 在 R 上恒成立，即 3x2+2x+m 0.由11=44 3m 0,得 m.答案 :m3317 (理 )圖略； limf ( x)0, lim f ( x) limx 0 ，x 0x 0x 0limf ( x)0且f (0)0，f ( x)在 x 0處連續(xù) ，同理

20、f ( x)在 x3 處連續(xù)；x 0連續(xù)區(qū)間為 (， + ).(文 )（ 1）由題設知 a0, f ( x)3ax26x3ax(x2 ) .a令 f ( x)0得x1 0, x22 .a當（ i ） a0 時，若 x(,0) ，則 f (x)0 ，所以 f ( x) 在區(qū)間 (,2 ) 上是增函數；a若 x(0,2 ) ，則 f ( x)0 ，所以 f ( x) 在區(qū)間 (0,2) 上是減函數；aa若 x( 2 ,) ，則 f ( x)0 ，所以 f (x) 在區(qū)間 ( 2 ,) 上是增函數；aa（ i i ）當 a 0 時，若 x(, 2 ) ，則 f ( x)0 ，所以 f (x) 在區(qū)間

21、 (, 2 ) 上是減函數；aa若 x(0,2 ) ，則 f ( x)0 ，所以 f ( x) 在區(qū)間 (0,2) 上是減函數；aa若 x(2 ,0) ，則 f ( x)0 ，所以 f ( x) 在區(qū)間 (2,0) 上是增函數；aa若 x(0,) ，則 f (x)0 ，所以 f ( x) 在區(qū)間 (0,) 上是減函數 .（）由（）的討論及題設知，曲線y f (x) 上的兩點 A 、B 的縱坐標為函數的極值，且函數 yf ( x) 在 x0, x2 處分別是取得極值f (0) 13 ， f ( 2 )43 1 .aaaa2a因為線段 AB與 x 軸有公共點，所以f (0) f ( 2 )0.a即

22、 (431)(13 )0.所以 (a1)(a 3)(a4)0 .a 2aaa2故 ( a 1)(a 3)( a4)0, 且a 0.解得 1 a0 或 3 a 4.即所求實數 a 的取值范圍是 -1， 0 3， 4.18 (理 )| z1z2| 1sincos(cossin)i |(1sincos) 2(cossin ) 22sin 2cos221sin 2 2 .4故 | z1z2| 的最大值為3 , 最小值為2 .2(文 )（ 1）Q f ( x) 是二次函數，且f ( x)0 的解集是 (0,5),可設 f ( x)ax(x5)( a0).f ( x) 在區(qū)間1,4上的最大值是f ( 1)

23、6a.由已知，得6a12,a2,f ( x)2x(x 5)2x210x( xR).（ 2）方程 f ( x)370 等價于方程 2x3 10 x2370.x設 h( x)2x310x237, 則 h (x)6x220 x2x(3 x10).當 x(0, 10) 時， h ( x) 0, h( x) 是減函數；3當 x(10 ,) 時， h ( x)0, h( x) 是增函數。30, h(10)1Q h(3)10, h(4) 50,3271010, 4) 內分別有惟一實數根， 而在區(qū)間 (0,3),(4,)方程 h(x) 0 在區(qū)間 (3,3),(3內沒有實數根，所以存在惟一的自然數m3, 使得

24、方程 f (x)370 在區(qū)間(m, m1) 內有且只x有兩個不同的實數根 .19（ 1） f( x)3 x22axb ，由于 f ( x) 有極大值和極小值，、為3x 22axb0 的兩根，則2a ,b ,f ( ) f () ( 3a 2bc) ( 3a 2bc)333322b()2c()3()a(22()a()3)b()2c (2a)33b(2a )a(2a )22(b)b(2a)2c4 a32ab2c333333273（ 2）設 A(, f (), B(,f (), 由f (2)(2) 3a(2) 3b2c( a )3a ( a )2b ( a ) c2 a 31 ab c1 f (

25、) f ( )3332732知 AB 的中點在 yf (x) 上20 (理 )解： Q f ( x) 定義域為 R，1a2bx0,即 a2 bx 而 xR,a0.若a0, 則f ( x)1與 limf (n)0矛盾,a0n1(02 b1)limf (n)lim1bx1(2b1) 2b即0,故a0,b01a21a1bnn0(2 b1)由知 f (x)在0,1上為增函數 ,f (0)1 ,即 11 ,a1, f (1)21a214 , 2b1 , b2. f ( x)14x111 a 2b541 2 2 x1 4x1 4x當 kN時 f (k ) 11 k121k .14211111f (1)f

26、(2)f (3)Lf (n)n(n )n22n 1.2 ? 2 2 ? 2 2 ? 22(文 )（ 1） fxx3bx2cx， fx3x22bxc .從而g ( x)f ( x)f(x)x3bx2cx(3x22bxc) x3(b3) x2(c2b) xc是一個奇函數，所以g(0)0 得 c0 ，由奇函數定義得b3 ；（ 2）由（）知 g(x)x36x ，從而 g ( x)3x26 ，由此可知，(,2)和 (2,) 是函數 g( x) 是單調遞增區(qū)間；(2,2)是函數 g ( x) 是單調遞減區(qū)間；g(x) 在 x2 時，取得極大值，極大值為42 ， g( x) 在 x2時，取得極小值，極小值為4 2.21 (理 )由已知得 | B1B2|5，| Bn Bn 1 |1 , (n2,3,)| Bn 1 Bn |2所以， | Bn Bn 1 |是首項為5 ，公比為1 的等比數列，2