【金學案】高中數(shù)學（北師大版）選修1-2精品學案：第三章 推理與證明 第3課時 綜合法與分析法

1、第3課時綜合法與分析法1.結合已經(jīng)學過的實例,了解直接證明的方法綜合法與分析法,知道綜合法與分析法的思考過程和特點.2.通過對綜合法與分析法的學習,體會數(shù)學思維的嚴密性、抽象性、科學性,養(yǎng)成縝密思維的習慣.3.通過綜合法和分析法的學習,體會這兩種方法相輔相成、辯證統(tǒng)一的關系.重點:會用綜合法、分析法證明問題,了解綜合法、分析法的思考過程.難點:根據(jù)問題的特點,結合綜合法、分析法的思考過程及特點,選擇適當?shù)淖C明方法.我們都學過韋達定理.若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0,b2-4ac0)的兩個根,則有x1+x2=-,x1x2=.那么韋達定理要如何證明呢?問題1:綜合法一般地,從

2、已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等出發(fā),經(jīng)過一系列推理論證,推導出所要證明的結論成立,這種證明方法叫綜合法.綜合法是中學數(shù)學證明中最常用的方法,它是從已知到未知,從題設到結論的邏輯推理方法,即從題設中的已知條件或已證的真實判斷出發(fā),經(jīng)過一系列的中間推理,最后導出所要求證的命題.問題2:分析法的特點分析法的思維特點是執(zhí)果索因,即從結論逐步挖掘已知.問題3:用框圖表示綜合法與分析法的證明過程(1)綜合法可用框圖表示為:(用P表示已知條件,已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結論)PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ.(2)若用Q表示要證明的結論,分析法可用框圖表示為:QP1P1P2P2P3得到一個

3、明顯成立的條件.問題4:分析法與綜合法的聯(lián)系與區(qū)別分析法與綜合法是兩種思路相反的推理方法.分析法是倒溯,綜合法是順推,二者各有優(yōu)缺點,分析法容易探路,且探路與表述合一,缺點是表述過程容易出錯.綜合法條理清晰,易于表述,但思路不太好想.因此將二者交互使用,互補優(yōu)缺點形成分析綜合法,其邏輯基礎是充分條件與必要條件,也就是用分析法尋找解題思路,用綜合法加以表述.費馬大定理,又被稱為“費馬最后的定理”,由法國數(shù)學家費馬提出.他斷言:當整數(shù)n 2時,關于x,y,z的方程xn+yn=zn 沒有正整數(shù)解.該定理被提出后,歷經(jīng)三百多年的歷史,最終在1995年被英國數(shù)學家安德魯懷爾斯證明.1.下列說法不正確的是

4、().A.綜合法是由因?qū)Ч捻樛谱C法B.分析法是執(zhí)果索因的逆推證法C.綜合法與分析法都是直接證法D.綜合法與分析法在同一題的證明中不可能同時采用【答案】D2.已知m1,a=-,b=-,則以下結論正確的是().A.abB.abC.a=bD.a,b的大小不定【解析】要比較a,b的大小,即比較-與-的大小,即比較+與2的大小,即比較2m+2與4m的大小,因為2m+22m+2m=4m,所以a=x2,即xy.【答案】x0,f(x)=+是R上的偶函數(shù),求a的值.【解析】f(x)是R上的偶函數(shù),f(-x)=f(x),(a-)(ex-)=0對于一切xR成立,由此得a-=0,即a2=1,又a0,a=1.綜合法的

5、應用如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中點.(1)證明:CDAE,(2)證明:PD平面ABE.【方法指導】解答本題可先明確線線、線面垂直的判定及性質(zhì)定理,再用定理進行證明.【解析】(1)在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,CD平面ABCD,PACD,ACCD,PAAC=A,CD平面PAC,而AE平面PAC,CDAE.(2)由PA=AB=BC,ABC=60,可得AC=PA,E是PC的中點,AEPC.由(1)知AECD,且PCCD=C,AE平面PCD.而PD平面PCD,AEPD,PA底面ABCD,PAAB,又ABAD

6、,PAAD=A,AB平面PAD,ABPD,又ABAE=A,PD平面ABE.【小結】綜合法是“由因?qū)Ч?它是中學數(shù)學證明中常用的一種方法,它是一種從已知到未知的邏輯推理方法,即從題設中的已知條件或已證的真實判斷(命題)出發(fā),經(jīng)過一系列的中間推理,最后導出所要求證結論的真實性.分析法的應用已知a0,b0,且a+b=1,試用分析法證明不等式(a+)(b+).【方法指導】化簡不等式可運用分析法證明得出結論.【解析】要證(a+)(b+),只需證ab+,只需證4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+40,只需證4(ab)2+4(1-2ab)-25ab+40,只需證4(ab)2-33ab+80,即證ab

7、8或ab,只需證ab,而由1=a+b2,知ab顯然成立,即原不等式(a+)(b+)成立.【小結】對于較復雜的不等式,可用分析法使其轉(zhuǎn)化成為簡單的不等式或顯而易見的不等式,從而使命題得證.綜合法與分析法的綜合應用已知a,b,c是正實數(shù),且a+b+c=1,求證:+.【方法指導】要證明結論成立,可以證明其對應的平方式成立,可以以此為入手點進行展開.【解析】(法一)分析法要證+,只證a+b+c+2+2+23,即證2+2+22,也就是證+1=a+b+c.a,b,c是正實數(shù),2(a+b+c)2(+),a+b+c+,不等式顯然成立.+.(法二)綜合法a,b,c是正實數(shù),2(a+b+c)2(+),a+b+c+

8、2(+)3(a+b+c)=3,(+)23,+.【小結】分析法和綜合法是直接證明中的“姊妹”證明方法.兩種方法各有優(yōu)缺點,分析法利于思考,綜合法易于表述.因此,在實際解題中,常常把分析法和綜合法結合起來運用,先以分析法為主尋求解題思路,再用綜合法有條理地表述解題過程.設a1,a2,a3均為正數(shù),且a1+a2+a3=m,求證:+.【解析】+=(a1+a2+a3)(+)=3+(+)+(+)+(+)(3+2+2+2)=,當且僅當a1=a2=a3=時,等號成立.已知a0,b0,用分析法證明+.【解析】要證+,只需證a+b(+)=a+b,即證a(-)b(-),即證(-)(a-b)0,整理得(-)2(+)0

9、.a0,b0,+0,即證(-)20,該式顯然成立,原不等式+成立.已知a、b、c(0,+),且a+b+c=1,求證:(-1)(-1)(-1)8.【解析】(法一)綜合法(-1)(-1)(-1)=(-1)(-1)(-1)=8,當且僅當a=b=c時取等號,所以不等式成立.(法二)分析法要證(-1)(-1)(-1)8成立,只需證8成立.因為a+b+c=1,所以只需證8成立,即8.只需證8成立,而8顯然成立,所以(-1)(-1)(-1)8.1.設集合A=x|0,B=x|0x3,那么“mA”是“mB”的().A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】由0得0x4,A=

10、x|0x4,所以BA,可知若“mA”則推不出“mB”;若“mB”則推得出“mA”,所以“mA”是“mB”的必要不充分條件.【答案】B2.已知函數(shù)f(x)=-2x+1對于任意正數(shù),要使得|f(x1)-f(x2)|成立,只需保證().A.|x1-x2|C.|x1-x2|【解析】要使得|f(x1)-f(x2)|成立,只需證明|(-2x1+1)-(-2x2+1)|=2|x1-x2|,即證|x1-x2|,顯然|x1-x2|能保證|x1-x2|成立.【答案】C3.已知a,b,c滿足cba,且ac0,那么下列選項中一定成立的是.cb2ab2;c(b-a)bc;ac(a-c)c,ac0,cb0,求證:-.(用

11、分析法證明)【解析】要證-,只需證(-)2()2,即a+b-2a-b,只需證b,即證ba,顯然ba成立,因此不等式成立.(2012年福建卷)某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù).(1)sin213+cos217-sin 13cos 17,(2)sin215+cos215-sin 15cos 15,(3)sin218+cos212-sin 18cos 12,(4)sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48,(5)sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55.()試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù);()根據(jù)()的計算結果,將該同

12、學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結論.【解析】()選擇(2)式,計算如下:sin215+cos215-sin15cos15=1-sin30=1-=.()結論:sin2+cos2(30-)-sincos(30-)=.證明如下:sin2+cos2(30-)-sincos(30-)=sin2+(cos30cos+sin30sin)2-sin(cos30cos+sin30sin)=sin2+cos2+sincos+sin2-sincos-sin2=sin2+cos2=.1.在不等邊三角形中,a為最大邊,要想得到A為鈍角的結論,三邊a、b、c應滿足的條件是().A.a2b2+c2D.a2b2+c2【

13、解析】由cosA=0知b2+c2-a2b2+c2.【答案】C2.要證a2+b2-1-a2b20,只需證().A.2ab-1-a2b20B.a2+b2-1-0C.()2-1-a2b20D.(a2-1)(b2-1)0【解析】a2b2-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1)0,a2+b2-1-a2b20,故選D.【答案】D3.+2+(用“”或“2,+2+.【答案】4.求證:當一個圓與一個正方形的周長相等時,這個圓的面積比正方形的面積大.【解析】設圓和正方形的周長為L(L0),依題意知圓的面積為()2,正方形的面積為()2,因此只需證明()2()2,為了證明()2()2成立,只需證明,兩邊同時乘以正

14、數(shù)得,因此,只需證明4,上式顯然是成立的,所以()2()2,即命題成立.5.設a、b是實數(shù),且a+b=3,則2a+2b的最小值是().A.6B.4C.2D.8【解析】2a+2b2=2=2=4,當且僅當a=b=時等號成立.【答案】B6.若log2log3(log4x)=log3log4(log2y)=log4log2(log3z)=0,則x+y+z等于().A.123B.105C.89D.58【解析】log2log3(log4x)=0,log3(log4x)=1,log4x=3,x=43=64,log3log4(log2y)=0,log4(log2y)=1,log2y=4,y=16,log4lo

15、g2(log3z)=0,log2(log3z)=1,log3z=2,z=9,所以x+y+z=89.【答案】C7.函數(shù)y=loga(x+3)-1(a0,a1)的圖像恒過定點A,若點A在直線mx+ny+1=0上,其中mn0,則+的最小值為.【解析】函數(shù)y=loga(x+3)-1(a0,a1)的圖像恒過定點A(-2,-1),而A在直線mx+ny+1=0上,(-2)m+(-1)n+1=0,即2m+n=1,mn0,+=(+)(2m+n)=4+4+2=8,當且僅當=,即m=,n=時取等號.【答案】88.當a2時,求證:-.【解析】要證-,只需證+,只需證(+)2(+)2,只需證a+1+a-2+2a+a-1+2,只需證,只需證(a+1)(a-2)a(a-1),只需證a2-a-2a2-a,只需證-20,上式顯然成立,所以-0,且a+bc,設M=+,N=,則M與N的大小關系是.【解析】a,b,c0,a+bc,M=+=N.【答案】MN10.設f(x)=ax2+bx+c(a0),若函數(shù)f(x+1)與f(x)的圖像關于y軸對稱.求證:f(x+)為偶函數(shù).【解析】(法一)要證f(x+)為偶函數(shù)