[理學(xué)]數(shù)理方程第二章.ppt

1、第二章第二章 分離變量法分離變量法 在微積分學(xué)中，多元函數(shù)的微分和在微積分學(xué)中，多元函數(shù)的微分和 重積分經(jīng)常要轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的相應(yīng)問(wèn)重積分經(jīng)常要轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的相應(yīng)問(wèn) 題來(lái)計(jì)算，例如偏導(dǎo)數(shù)、累次積分等。題來(lái)計(jì)算，例如偏導(dǎo)數(shù)、累次積分等。 類(lèi)似地，偏微分方程的定解問(wèn)題的常用類(lèi)似地，偏微分方程的定解問(wèn)題的常用 解法是設(shè)法轉(zhuǎn)化為常微分方程的定解問(wèn)解法是設(shè)法轉(zhuǎn)化為常微分方程的定解問(wèn) 題。下面介紹的題。下面介紹的分離變量法分離變量法就是這樣一就是這樣一 種轉(zhuǎn)化的方法。種轉(zhuǎn)化的方法。 理論基礎(chǔ)理論基礎(chǔ): 疊加原理疊加原理 設(shè)設(shè) L L 是線性微分算子，若是線性微分算子，若 滿足線性方程（或滿足線性方程（或

2、 線性定解條件）線性定解條件） i u , 1,2, , ii Lufin 則它們的線性組合則它們的線性組合 1 ii i uc u 必滿足方程（或定解條件）必滿足方程（或定解條件） 1 ii i Luc f 其中要求級(jí)數(shù)收斂，且滿足其中要求級(jí)數(shù)收斂，且滿足“L L 中出現(xiàn)的求導(dǎo)與求和可交中出現(xiàn)的求導(dǎo)與求和可交 換換”的條件。的條件。 ( )( )( )0()P x yq x yx yaxb 的特征值問(wèn)題的特征值問(wèn)題( (2.62.6) ) Sturm-Liouville 理論理論 對(duì)于對(duì)于,)0(ypyqqyp是是常常數(shù)數(shù) 2 0, x yepq 令令代代入入方方程程有有 22 12 44

3、, 22 ppqppq 二階線性齊次常系數(shù)常微分方程二階線性齊次常系數(shù)常微分方程 1 2 12 (2)40(); x pqyCC x e 時(shí)時(shí)， 2 12 (3)40,pqii時(shí)時(shí)，設(shè)設(shè)則則 12 (cossin). x yeCxCx 12 2 12 (1)40; xx pqyC eC e 時(shí)時(shí)， 2 0pq 2.1 有界弦的自由振動(dòng) 研究?jī)啥斯潭ㄑ芯績(jī)啥斯潭ㄏ蚁业淖杂烧駝?dòng)的自由振動(dòng). .定解問(wèn)題為： 22 2 22 0 0 0 0,0,0 0,0,0 (2.1) (2.2) ( ),( ), 02.3) xx l t t uu axlt tx uut u uxxxl t 特點(diǎn)特點(diǎn)：方程和邊界

4、條件都是線性齊次的：方程和邊界條件都是線性齊次的. . 思路：思路：運(yùn)用運(yùn)用疊加原理疊加原理。先尋找齊次方程。先尋找齊次方程(2.1)(2.1)的滿的滿 足邊界條件足邊界條件(2.2)(2.2)的足夠多個(gè)具有簡(jiǎn)單形式的足夠多個(gè)具有簡(jiǎn)單形式( (變量被變量被 分離分離) )的特解的特解, , 再對(duì)它們作線性組合使得線性組合再對(duì)它們作線性組合使得線性組合 滿足初始條件滿足初始條件(2.3)(2.3)。 思路的物理背景思路的物理背景：樂(lè)器發(fā)出的聲音可以分解成不同：樂(lè)器發(fā)出的聲音可以分解成不同 頻率的單音。每種單音在振動(dòng)時(shí)形成正弦曲線，其頻率的單音。每種單音在振動(dòng)時(shí)形成正弦曲線，其 振幅依賴于時(shí)間振幅

5、依賴于時(shí)間 t ，即每個(gè)單音可表示為，即每個(gè)單音可表示為 ,sinu x tA tx 設(shè)設(shè) 且且 不恒為零不恒為零，代入，代入 方程得方程得 )()(),(tTxXtxu ),(txu 2 ( )( ) -( ) ( )0X x Tta Xx T t 由 不恒為零，有： ),(txu )( )( )( )( 2 tTa tT xX xX 2 ( )( ) ( )( ) TtXx a T tX x 取取參參數(shù)數(shù) 使使得得 這個(gè)式子的左端是這個(gè)式子的左端是x的函數(shù)的函數(shù), 右端是右端是t的函數(shù)，何時(shí)恒等？的函數(shù)，何時(shí)恒等？ 0)(0,(0) lXX成成立立 0)()( 0)()0( tTlX tT

6、X 利用邊界條件 ( )( )0XxX x . . . 2 ( )( )0Tta T t 思考：先解哪一個(gè)方程？思考：先解哪一個(gè)方程？ ( )T t 不不恒恒等等于于零零 則 0)(, 0)0( 0 lXX XX 特征值問(wèn)題 分三種情形討論特征值問(wèn)題的求解：分三種情形討論特征值問(wèn)題的求解： 相應(yīng)的非零解相應(yīng)的非零解 X(x) 稱(chēng)為稱(chēng)為特征函數(shù)特征函數(shù)； 參參數(shù)數(shù)稱(chēng)稱(chēng)為為特特征征值值； 0 0 21 21 ll eCeC CC 由邊值條件 0 0 21 2 ClC C (i) 方程通解為 xx eCeCxX 21 )(0 (ii) 時(shí)，通解 21 )(CxCxX 0 由邊值條件得： 0)( xX

7、C C1 1 = =C C 2 2=0=0 從而 ， 無(wú)意義. 0 , 0)(0 21 xXCC 無(wú)意義0 由邊值條件： 0sin 0 2 1 lC C 從而 0 l sin (iii） 時(shí)，通解 xCxCxX sincos)( 21 0 即： 22 2 ,12,3, n n n l ， nl 故 n ( )sin,1,2, n n XxCx n l 而 , 0 2 C得 再求解T： 0)()( 2 22 2 tT l n atT nn 其解為 ( )cossin n atn at nnn ll TtAB 所以 ( , )(cossin)sin 1,2,3, n atn atn x nnn l

8、ll ux tAB n 兩端兩端 固定固定 弦的弦的 特征特征 振動(dòng)振動(dòng) 未必滿足初始條件未必滿足初始條件(2.3)(2.3) 受疊加原理啟發(fā)，受疊加原理啟發(fā)， 代入初始條件得： 1 1 sin() sin() nx n l n nanx n ll n Ax Bx 1 (, )(cossin)sin natnatnx nn lll n u x tAB . 補(bǔ)充：傅立葉補(bǔ)充：傅立葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,cos,sin, , xxxxnxnx 三角函數(shù)系 在上正交： 1 cos1 sin0, 1,2, cossincoscos sinsin0,

9、 . nxdxnxdxn nxmxdxnxmxdx nxmxdxnm ( ) , 2 f x 為 上可積的以為周期的函數(shù)。 0 1 ( ) ( )(cossin), 2 nn n f x a f xanxbnx 若滿足一定條件，則 1 ( )cos, 0,1,2, 1 ( )sin, 1,2,. n n af xnxdxn bf xnxdxn 其中 兩種推廣兩種推廣 1. ( ) , () 2 f xl lll為上可積的以為周期的函數(shù)。 , .yxy l ： 做變量代換， 則方法 0 1 ( )(cossin), 2 nn n ann f xaxbx ll 計(jì)算可得 1 ( )cos, 0,1

10、,2, 1 ( )sin, 1,2,. l n l l n l n af xxdxn ll n bf xxdxn ll 其中 2. 正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)。 ( ) , ( ) , f xl l f xl l 若是上的奇函數(shù)， 則其傅立葉級(jí)數(shù) 只含正弦函數(shù)項(xiàng)；若是上的偶函數(shù)， 則其傅立葉級(jí)數(shù)只含余弦函數(shù)項(xiàng)。 0, ( ) lf x： 如何求定義在上的函數(shù)的 傅 問(wèn)題 里葉級(jí)數(shù)？ ( ) , : 0, f xl l l ： 根據(jù)需要，將 的定義域拓展到 若展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)，進(jìn)行奇延拓；若展開(kāi)成余弦 級(jí)數(shù)，進(jìn)行偶延拓。然后將延拓后函數(shù)的傅里葉 級(jí)數(shù)限制到 方法 即可。 將 展開(kāi)為Fourier正弦級(jí)數(shù)，

11、比較系數(shù) 得 )(),(xx 2 0 2 0 ()sin ()sin l n n ll l n n nal Ad Bd sin, 1,2,. n l x n 或或直直接接根根據(jù)據(jù) 的的正正交交性性去去計(jì)計(jì)算算 00 sinsinsinsind l n xm x ll l dxntmt t 0, ,. 2 nm l nm ,m n 為為自自然然數(shù)數(shù) l xn l atn n l atn n n BAtxu sin)sincos(),( 1 由疊加原理，如果上式右端的無(wú)窮級(jí)數(shù)是收斂的，由疊加原理，如果上式右端的無(wú)窮級(jí)數(shù)是收斂的， 并且關(guān)于并且關(guān)于 x，t 能逐項(xiàng)微分兩次，則和式能逐項(xiàng)微分兩次，則和

12、式 u(x,t) 確確 實(shí)是問(wèn)題實(shí)是問(wèn)題(2.1)(2.1)- -(2.3)(2.3)的解的解（經(jīng)典解）（經(jīng)典解）。 其中其中 和和 由上頁(yè)給出。由上頁(yè)給出。 n A n B 如果如果(*)定義的函數(shù)定義的函數(shù) u(x,t)不具備經(jīng)典解的要求，則不具備經(jīng)典解的要求，則 稱(chēng)為問(wèn)題稱(chēng)為問(wèn)題(2.1)-(2.3)的的形式解形式解。 0)()0(, 0)()0()()0( lll 則無(wú)窮級(jí)數(shù)解 1 ( , )(cossin)si(n*) nn n n atn atn x u x tAB lll 上， ，且 23 )(,)(CxCx ,l0條件條件：若在區(qū)間 為混合問(wèn)題(2.1)-(2.3)的經(jīng)典解,

13、其中其中 , nn AB 如如前前定定義義。 本書(shū)不討論所求形式解是否滿足經(jīng)典解要求本書(shū)不討論所求形式解是否滿足經(jīng)典解要求 的條件，只要求得了的條件，只要求得了形式解形式解，就認(rèn)為定解問(wèn)題得，就認(rèn)為定解問(wèn)題得 到了解決。到了解決。 用分離變量法求解定解問(wèn)題的關(guān)鍵是用分離變量法求解定解問(wèn)題的關(guān)鍵是確定確定 特征函數(shù)特征函數(shù)和和運(yùn)用疊加原理運(yùn)用疊加原理，這些運(yùn)算能夠進(jìn)行，這些運(yùn)算能夠進(jìn)行, , 是因?yàn)榉匠桃约斑吔鐥l件是因?yàn)榉匠桃约斑吔鐥l件都是都是齊次齊次的。的。 l xn nnn StN sin)sin( 弦上各點(diǎn)振幅 因點(diǎn)而異 |sin| l xn n N 在 處，振幅永遠(yuǎn)為0 lx n ln

14、n l n l ,.,0 )1( 2 l xn l tna n l tna nn BAtxu sin)sincos(),( 二、解的物理意義二、解的物理意義 節(jié)點(diǎn) 腹點(diǎn) 1 2 22 () , n n Ana nnnnnBl NABSarctg 其中其中 角頻率角頻率初位相初位相 在 處，振幅最大,為 n ln n l n l x 2 )12( 2 3 2 ,., n N 弦上各點(diǎn)的角頻率 和初位相 都相同，因而沒(méi) 有波形的傳播現(xiàn)象。 n n S 特點(diǎn)特點(diǎn) n1 1的駐波稱(chēng)為基波, n11的駐波叫做n次諧波。 1n n txutxu),(),( u( (x, ,t ) )是由無(wú)窮多個(gè)振幅、角頻

15、率、初位相各不 相同的駐波疊加而成。 程程方方 偏微分偏微分 分分離離 變變量量 ）解解特征解（解特征解（解12 分分離離 變變量量 （特征值問(wèn)題）（特征值問(wèn)題） 1 2 程程方方 常微分常微分 程程方方 常微分常微分 齊次邊齊次邊 界條件界條件 件件條條 2解解 1解解 （特征函數(shù)）（特征函數(shù)） 特特征征值值 特特征征解解所所求求解解 分離變量法圖解分離變量法圖解 例例1 1 設(shè)有一根長(zhǎng)為10個(gè)單位的弦，兩端固定，初速 為零，初位移為 ，求弦做微小橫向振 動(dòng)時(shí)的位移，其中 與弦的材料和張力 有關(guān) . 1000 10 xx x 10000 2 a 解解 設(shè)位移函數(shù)為 ，則需要求解下列定解問(wèn)題t

16、xu, 22 22 010 0 10000,010,0; |0; 10 |,|0. 1000 xx t ot uu xt tx uu xxu u t 10 0 33 1 10sin 500010 2 1cos 5 n n Cxxxdx n n 代入公式計(jì)算 ,10000,10 2 al 10 0 105000 1 0sin0 dD n nn 因此，所求的解為：因此，所求的解為： 33 0 2141 ( , )sincos10 21 10 5 21 n n u x txnt n 為奇數(shù)。當(dāng) 為偶數(shù)，當(dāng) , 5 4 , 0 33 n n n 解：令 , 得 )()(),(tTxXtxu 0)()(

17、 0)(0) 0 2 tTlX tTX TXaXT 化簡(jiǎn): 00 2 )()( lXX X X Ta T 引入?yún)?shù) 得 X X Ta T 2 例2：研究?jī)啥藶樽杂啥说陌舻淖杂烧駝?dòng)問(wèn)題。 )()(xuxu uu uau t t t lx x x x xxtt 00 0 2 00 0 第二類(lèi)邊界條件第二類(lèi)邊界條件 得C1 =C 2=0 從而 ，無(wú)意義 0)( xX 分離變量： 0)()0( 0 lXX XX (i) 時(shí)， 0 xx eCeCxX 21 )( 0)( 0)( 21 21 ll eCeC CC 由邊值條件 0 2 TaT (ii) 時(shí), , 0 xDCxX 00 )( 0 00CxXl

18、XX )()()( (iii) 時(shí), 0 xCxCxX sincos)( 21 0sin 0 1 2 lC C 則 而 , 0 1 C .), 2 , 1(0sin nnll l xn CxX l n cos)( 1 2 22 由邊值條件 由邊值條件 從而 特征值特征值 22 2 0,1, 2, n n n l 特特征函數(shù)征函數(shù) ()cos,0,1, nn nx XxCn l T 的方程的方程 0 0T 222 2 00 nn na TTn l 其解為其解為 000 ( )T tAB t ( )cossin1,2, nnn n atn at T tABn ll 0 0 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng) 所以 tBAtxu 000 ),( ,cos)sincos(),(21 n l xn l atn B l atn Atxu nnn 代入初始條件: 0 1 0 1 cos( ) cos( ) n n n n n x AAx l n an x BBx ll 1 00 n nn l xn l atn B l atn AtBAtxu cos)sincos(),( 故 將 展開(kāi)為傅立葉余弦級(jí)數(shù)，比較系數(shù)得 )(),(xx 00 0 00 0 1 ( ), 1 ( ), l l Ad l Bd l l n l nn d l n an B d l n l A 0 0 cos)( 2