《數(shù)與形》研課稿

1、數(shù)與形研課稿教材分析湛：首先來談一談我們備課組為什么要選這一節(jié)課。姚：數(shù)與形是六年級上冊第八單元數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容，是人教版新教材新增的內(nèi)容。湛：“數(shù)形結(jié)合”一詞正式出現(xiàn)在華羅庚先生于1964年1月撰寫的談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題的科普小冊子中，書中有一首小詞“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非；切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離！”陳：數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)

2、范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的。“數(shù)”和“形”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的研究對象，也是貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)教材的兩條主線。姚：教材安排了兩個(gè)例題例1：連續(xù)奇數(shù)的等差數(shù)列之和等于某平方數(shù)。本例讓學(xué)生計(jì)算從1開始的連續(xù)若干奇數(shù)之和。在計(jì)算時(shí)，即使不借助圖形，也可以通過，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：從1開始，連續(xù)個(gè)奇數(shù)之和，就是的平方。但把圖形與算式對應(yīng)起來，更具直觀性，更能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)之美。圖中有的規(guī)律顯而易見（每個(gè)圖都是一個(gè)大的正方形，第個(gè)圖形中，大正方形的每行、每列都有個(gè)小正方形，因此，小正方形的總數(shù)是）,有的規(guī)律相對比較隱蔽(從左下角到右上角，每個(gè)“”形的小正方形的個(gè)數(shù)分別是1，3，5，7，)。每個(gè)

3、圖中都“隱藏”著一個(gè)等式，如第個(gè)圖中的等式就是。從圖形的角度直觀理解“正方形數(shù)”或“平方數(shù)”的特點(diǎn)，顯然，使學(xué)生通過數(shù)與形的對照，利用圖形直觀形象的特點(diǎn)得到關(guān)于數(shù)的規(guī)律。例2：等比數(shù)列之和等于1。本例讓學(xué)生計(jì)算的得數(shù)。學(xué)生在計(jì)算的過程中發(fā)現(xiàn)，加數(shù)有規(guī)律，即后一個(gè)加數(shù)是前一個(gè)加數(shù)的；和也有規(guī)律，每次相加所得的和都等于1減去最后一個(gè)加數(shù)；加數(shù)的項(xiàng)數(shù)越多，和越接近1。這些加數(shù)無限地加下去，最后的和無限接近于1。但這個(gè)無限接近于1的數(shù)到底是多少呢？教材利用“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”中的面積模型和長度模型，在圓上和線段上表示出這些加數(shù)，使學(xué)生借助圖理解：無限加下去，最終的得數(shù)為1。由此，教材借助圖形解決了比較抽象的

4、、復(fù)雜的、不好解決的問題。課時(shí)劃分宋：本單元包括兩個(gè)例題和兩題做一做及練習(xí)二十二的8道練習(xí)題，主要是通過特殊的算式與圖形的關(guān)系把抽象的數(shù)學(xué)形象化，旨在進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)滲透“極限”的數(shù)學(xué)思想。在本課的教學(xué)設(shè)計(jì)階段，組內(nèi)的老師們就課時(shí)劃分的問題有不同的看法。湛：一開始，我們根據(jù)教材的編排揣摩編者的意圖，認(rèn)為兩個(gè)例題均能很好地體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，一個(gè)課時(shí)講解內(nèi)容更為豐滿。例1為用數(shù)表示形的規(guī)律，即“以數(shù)輔形”；例2則用形解決了數(shù)的問題，即“以形助數(shù)”。兩個(gè)例題一起充分體現(xiàn)了數(shù)與形的緊密結(jié)合。后來經(jīng)過反復(fù)討論，老師們發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)例題是本單元教學(xué)內(nèi)容的兩個(gè)不同的層次

5、。杜：例1是使學(xué)生通過數(shù)與形的對照，利用圖形直觀形象的特點(diǎn)表示出數(shù)的規(guī)律。利用正方形直觀地理解“正方形數(shù)”或“平方數(shù)”的特點(diǎn)。例2是借助圖形解決一些比較抽象的、復(fù)雜的、不好解釋的問題。根據(jù)分?jǐn)?shù)意義，利用圓的模型，使學(xué)生直觀地理解“無限”的抽象概念。宋：于是我們組內(nèi)決定將兩個(gè)例題分開新授，這次是新授的例1以及相關(guān)的練習(xí)。將例1單獨(dú)設(shè)計(jì)為一課時(shí)更符合學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際，能有效幫助他們通過數(shù)形結(jié)合探索規(guī)律并應(yīng)用規(guī)律。目標(biāo)定位：陳：根據(jù)教材編排的特點(diǎn)：突出探索規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律。不管是數(shù)還是形，都突出對其規(guī)律的探索。例如：通過觀察算式和計(jì)算1、1+3、1+3+5既能發(fā)現(xiàn)加數(shù)規(guī)律又能發(fā)現(xiàn)和的規(guī)律，也可以通過圖形

6、觀察每次的變化規(guī)律與小正方形個(gè)數(shù)的規(guī)律。在利用數(shù)形結(jié)合解決問題的過程中積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)基本的數(shù)學(xué)思想。我們將目標(biāo)定位為： 1.讓學(xué)生通過自主探究發(fā)現(xiàn)圖形中隱藏著數(shù)的規(guī)律，并會(huì)應(yīng)用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。2.在學(xué)生動(dòng)手操作、自主探究和合作交流的過程中，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。 3.學(xué)生在解決數(shù)行結(jié)合問題的過程中，體會(huì)和掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。培養(yǎng)學(xué)生用“數(shù)形結(jié)合”的思想解決問題。饒：有時(shí)，僅僅通過算式本身去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，對于學(xué)生來說有一定的困難。因此，我們要給學(xué)生提供一種橋梁，而圖形正是一種有效的橋梁。引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜想、操作、驗(yàn)證等學(xué)習(xí)手段來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律解決生活中實(shí)際問題的能力。陳：要想突出本

7、節(jié)課的重點(diǎn)、突破難點(diǎn)。我們組研討后確定了這樣的步驟，由拼圖開始，先拼出如例一中的正方形，再根據(jù)圖形得出算式，讓學(xué)生結(jié)合自己所拼的圖體會(huì)算式中加數(shù)的規(guī)律以及和的規(guī)律點(diǎn)。讓學(xué)生感受到圖形與算式的是緊密結(jié)合的。教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)江：為了實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，突破重難點(diǎn)，我們經(jīng)過商議，設(shè)計(jì)了四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課；二、發(fā)現(xiàn)問題，探究規(guī)律；三、鞏固練習(xí)；四、歸納小結(jié)，拓展延伸。第一個(gè)環(huán)節(jié)是創(chuàng)設(shè)情境，引入新課最開始，我們設(shè)計(jì)了通過計(jì)算長方形中小正方形的個(gè)數(shù)，回憶長方形面積公式的推導(dǎo)過程引入本課，第一次試教后，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生只是單純的回答出如何計(jì)算小正方形個(gè)數(shù)。 姚：學(xué)生在學(xué)習(xí)長方形面積公式時(shí)，已經(jīng)完成了由形

8、到數(shù)的過程，學(xué)生看到圖形條件反射般的由面積計(jì)算公式。再硬生生的讓學(xué)生從數(shù)回到形上去很牽強(qiáng)。江：在第一次試講后，我們選擇了更為直觀的統(tǒng)計(jì)圖來導(dǎo)入。并設(shè)計(jì)了通過對圖形移多補(bǔ)少來解決數(shù)學(xué)問題這一過程，更直接的感受用“形”來解決“數(shù)”的問題簡單方便。湛：二次試教時(shí)，學(xué)生并沒能如我們所想的提到“移多補(bǔ)少”方案，這個(gè)設(shè)計(jì)是否不可行呢？饒：學(xué)生說不出這有什么關(guān)系呢？老師可以提出來，比如說一句：“老師有更好的辦法，不用計(jì)算都能估算，你們信嗎？”然后展示出移多補(bǔ)少的過程，通過兩種方法的對比，學(xué)生能感受到用“形”來解決“數(shù)”的問題更直觀更簡單！江：第二個(gè)環(huán)節(jié)是發(fā)現(xiàn)問題，探究規(guī)律首先是探究例1，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。按照要求用

9、小正方形拼出更大的正方形，通過拼圖親歷由“形”到“數(shù)”得出過程。再結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)算式中的特點(diǎn)。接著是驗(yàn)證規(guī)律：結(jié)合圖形總結(jié)得出規(guī)律。最后是應(yīng)用規(guī)律寫寫填填。在一次試教時(shí)，我們都有一個(gè)感覺，那就是“數(shù)”與“形”的結(jié)合不夠緊密。老師讓學(xué)生展示拼圖時(shí)，并沒能體現(xiàn)由“形”得到“數(shù)”的過程。于是我們在活動(dòng)要求中設(shè)計(jì)，結(jié)合圖形說一說算式中每個(gè)數(shù)的含義？ 同時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生操作學(xué)具時(shí)很不方便，如何更好的設(shè)計(jì)學(xué)具成了一個(gè)問題？ 學(xué)具設(shè)計(jì)杜：我們團(tuán)隊(duì)在開始設(shè)計(jì)這節(jié)課的學(xué)具時(shí)，用卡紙剪出了大小相同，顏色不一樣的小正方形，在小正方形后用雙面膠貼上，我們還設(shè)計(jì)了學(xué)習(xí)單，為上課做準(zhǔn)備。在第一次試講中，每個(gè)小組的學(xué)生用老師

10、事先裁剪的小正方形在學(xué)習(xí)單上拼圖。雖然學(xué)生們都動(dòng)手操作，也達(dá)到一定教學(xué)效果?？墒窃谄磮D過程中也出現(xiàn)了一些問題，由于小正方形是用雙面膠來固定的，一旦貼上去，就不能移動(dòng)或更改；學(xué)生在學(xué)習(xí)單上拼圖，由于小正方形太小，拼完后不方便展示給大家看。陳：在出現(xiàn)這些問題后，我們小組經(jīng)過了第二次的研課，最后，我們充分利用我們現(xiàn)有的資源小黑板來代替學(xué)習(xí)單上的拼圖，我們小組又剪了大一些的正方形代替小的正方形，用吸鐵石來代替雙面膠來解決第一次試講出現(xiàn)的問題。第二次的試講很成功，學(xué)生不僅在小組內(nèi)拼圖，還在黑板上重現(xiàn)自己的拼圖過程，通過想一想、拼一拼、寫一寫、議一議，完整再現(xiàn)學(xué)生的思維過程。既提高了學(xué)生的動(dòng)手操作能力，又

11、培養(yǎng)和建立學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想。江：進(jìn)行了以上的改動(dòng)后，動(dòng)手操作環(huán)節(jié)在二次試教時(shí)十分順利。但是在尋找規(guī)律時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生往往忽略了“從1開始”這一必要條件，因此在接下來的環(huán)節(jié)中我們進(jìn)行了一次有關(guān)習(xí)題設(shè)計(jì)的討論：練習(xí)設(shè)計(jì)湛：在第三個(gè)鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)。我們最開始選擇了課本上的三個(gè)練習(xí)：練習(xí)一：p107利用規(guī)律直接寫一寫。練習(xí)二：p108做一做1請你根據(jù)例1的結(jié)論算一算。練習(xí)三p108做一做2下面每個(gè)圖中各有多少個(gè)紅色小正方形和多少個(gè)藍(lán)色小正方形？照這樣接著畫下去，第6 個(gè)圖形有多少個(gè)紅色小正方形和多少個(gè)藍(lán)色小正方形？第10 個(gè)圖形呢？你能解釋這其中的道理嗎？這三個(gè)練習(xí)是課本上的原題，在最開始研究教學(xué)設(shè)計(jì)

12、的時(shí)候，我們并沒有花時(shí)間去設(shè)計(jì)練習(xí)。因?yàn)槿齻€(gè)練習(xí)的層次很清楚，第一個(gè)練習(xí)只是鞏固例1中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第二個(gè)練習(xí)是運(yùn)用規(guī)律解決計(jì)算問題，第三個(gè)練習(xí)是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決新問題，發(fā)現(xiàn)新規(guī)律。而且兩次試講也和我們預(yù)設(shè)的一樣，學(xué)生完成的很好。但是在兩次試講中我們也發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題，學(xué)生在總結(jié)和描述例1的規(guī)律“從1開始連續(xù)的奇數(shù)的和等于奇數(shù)個(gè)數(shù)的平方”時(shí)總是漏掉了“從1開始”這一條件。可見學(xué)生還對這一條件的認(rèn)識(shí)還不夠深刻。如果在練習(xí)中設(shè)計(jì)一道不從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和會(huì)不會(huì)引起學(xué)生的重視呢？增加這一個(gè)練習(xí)，會(huì)不會(huì)讓我們的練習(xí)設(shè)計(jì)更有層次感呢？在第三次研課中，我們圍繞這個(gè)問題展開了討論。最開始我們同意增加一

13、道“3+5+7+9+11+13+15”，目的僅僅是引起學(xué)生對“從1開始”這一條件的重視。可是增加了這樣的練習(xí)后，學(xué)生還能不能運(yùn)用例1的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算？如果學(xué)生出現(xiàn)了困難，我們?nèi)绾螒?yīng)對？饒：如果學(xué)生有困難，我們可以讓學(xué)生根據(jù)算式擺一個(gè)圖形，例題是由形到數(shù)，現(xiàn)在來個(gè)由數(shù)到形，用圖形先呈現(xiàn)出算式，學(xué)生會(huì)注意到缺少一個(gè)正方形，可以先添上一個(gè)讓算式符合例1的規(guī)律，算出結(jié)果后再把添上的一個(gè)小正方形減掉，總之一句話，把學(xué)生引向圖形，堅(jiān)持?jǐn)?shù)形結(jié)合。宋：那我們干脆再增加一道，把前面的數(shù)再省掉幾個(gè)，看學(xué)生還能不能靈活解決。湛：最后我們把練習(xí)增加到四個(gè)。這樣既鞏固了例1的規(guī)律，又讓學(xué)生更深刻認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合的重要性了。江：第四個(gè)環(huán)節(jié)是：歸納小結(jié)，拓展延伸我們最開始設(shè)計(jì)的是拓展知識(shí)面：為了豐富學(xué)習(xí)內(nèi)容，介紹 “正方形數(shù)” 和 “三角形數(shù)”，以及兩者之間的關(guān)系。陳：但經(jīng)過第一次試講后我們發(fā)現(xiàn)這一環(huán)節(jié)還顯得比較單薄。正好饒校長主持的“數(shù)學(xué)思想方法研訓(xùn)班”有一期就是專門講“數(shù)形結(jié)合”這一數(shù)學(xué)思想的。經(jīng)過學(xué)習(xí)，我們深刻的感受到數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想在整個(gè)小學(xué)階段其實(shí)是普遍存在的，并不僅僅只是這一節(jié)課里才有數(shù)形結(jié)合。我們是不是需要對這一數(shù)學(xué)思想來一個(gè)縱向的串聯(lián)呢？姚：基于這個(gè)考慮，我們經(jīng)過研討后