動(dòng)量守恒和能量守恒定律

1、第三章第三章 動(dòng)量守恒定律和動(dòng)量守恒定律和 能量守恒定律能量守恒定律 牛頓第二定律力與運(yùn)動(dòng)的牛頓第二定律力與運(yùn)動(dòng)的 力作用于物體，維持一定的時(shí)間、空力作用于物體，維持一定的時(shí)間、空 間，物體運(yùn)動(dòng)情況如何？間，物體運(yùn)動(dòng)情況如何？ 引言引言 力與物體運(yùn)動(dòng)的過程關(guān)系 牛頓第二定律的積分形式 瞬時(shí)關(guān)系式： amF 微分形式 ： 2 2 dt rd m dt d mF 一、動(dòng)量定律，動(dòng)量守恒定律一、動(dòng)量定律，動(dòng)量守恒定律 1 1、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定律、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定律 牛頓第二定律的積分形式 由 dt md dt d mamF )( 設(shè) mp 2 1 2 1 p p t t pddtF pppdtF t t 1

2、2 2 1 mp 動(dòng)量： （方向： ） 沖量是力對時(shí)間的積累作用 力對時(shí)間的沖量 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定律質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定律: : 討論： （1 1）牛頓第二定律的一種積分形式）牛頓第二定律的一種積分形式 （方向： ） 2 1 t t dtFI p 質(zhì)點(diǎn)在 至 時(shí)間內(nèi)，外力作用 在質(zhì)點(diǎn)上的沖量等于質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)間 內(nèi)動(dòng)量的增量。 1 t 2 t （3 3）沖力，平均沖力）沖力，平均沖力 （2 2）直角坐標(biāo)系中，定理分量式）直角坐標(biāo)系中，定理分量式 量值大，變化快，作用時(shí)間短的變力沖力沖力: : 12 2 1 xx t t xx ppdtFI 12 2 1 yy t t yy ppdtFI 12 2 1 zz t

3、t zz ppdtFI 平均沖力 ： 12 2 1 tt Fdt F t t 2 2、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理 質(zhì)點(diǎn)系，外力，內(nèi)力質(zhì)點(diǎn)系，外力，內(nèi)力 設(shè) n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系 ，其中第 個(gè)質(zhì)點(diǎn)受外力 為 ，內(nèi)力為 ，由 第二定律得 外i F 內(nèi)i F i F F o 1 t 2 t t i m i v 外i F 內(nèi)i F 幾個(gè)概念幾個(gè)概念 對所有質(zhì)點(diǎn)求和 n i n i ii n i ii dt md FF 1 1 1 內(nèi)外 因內(nèi)力成對出現(xiàn)，則 n i i F 1 0 內(nèi) dt pd FF i ii 內(nèi)外 iii mp n i ii n i ii n i i t t mmdtF 1 0

4、 11 2 1 外 ；等式兩邊積分 n i ii n i ii t t i mmdtF 1 0 1 2 1 合 可寫成 0 PPI 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定律：作用于系統(tǒng)的合外質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定律：作用于系統(tǒng)的合外 力的沖量等于系統(tǒng)總動(dòng)量的增量。力的沖量等于系統(tǒng)總動(dòng)量的增量。 討論： (1)系統(tǒng)的內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量 。定理中不出現(xiàn)系統(tǒng)的內(nèi)力，因此研 究某些力學(xué)問題甚為方便。 （2）質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定律可寫成 即作用于質(zhì)點(diǎn)系的合外力（微分形式）等 于質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量隨時(shí)間的變化率。 或 pddtF i 合 dt pd F i 合 3 3、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律：、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律： 若 0 合i F 則 n i ii

5、 mP 1 恒矢量 （1）合外力為零或不受外力作用系統(tǒng)總 動(dòng)量保持不變。 動(dòng)量守恒定律：動(dòng)量守恒定律： 當(dāng)系統(tǒng)合外力為零時(shí)，系統(tǒng)的總動(dòng)量當(dāng)系統(tǒng)合外力為零時(shí)，系統(tǒng)的總動(dòng)量 保持不變。保持不變。 討論： （2）合外力不為零，但合力在某方向分 量為零，則系統(tǒng)在該方向上的動(dòng)量守恒 。（3）系統(tǒng)的內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，可忽略外 力，系統(tǒng)動(dòng)量可視為守恒。 取圖示坐標(biāo)系，則 例題例題1 1、質(zhì)量為 ，速率為 的鋼球，以與鋼板法線呈 角 的方向撞擊鋼板，并以相同的 速率和角度彈回。設(shè)球與鋼板 碰撞時(shí)間為 ，求鋼板受到 的平均沖力。 mv t x y o v v 解：由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定律，得鋼球 12 2 1 mmdtFI

6、 t t cos2 12 mmmI xxx 0 12 yyy mmI imI cos2 鋼球平均沖力為 i t m t dtF F t t cos2 2 1 鋼板受平均沖力為 i t m FF cos2 本例題可以用矢量方法直接求得， 圖示矢量三角形，得 )( 12 mmI y o v v x immmI cos2 12 例題2、在光滑平面上一質(zhì)量為 速度為 的物體，突然炸裂成質(zhì)量為 和 兩塊物體。設(shè) 且 ，求 的速 度 。 0 m 0 v 01 3 1 mm 02 3 2 mm 01 vv 01 2vv 2 m 2 v y o x 2 vm 1 vm 2 vm 12 vmvm 同樣可用矢量方

7、法直 接求出（圖示） 解 ： 分析：合外力為零，動(dòng)量 守恒。 取oxy坐標(biāo)系，得分量式 221100 vmvmvm cos 3 2 2000 vmvm sin0 2211 vmvm 解得 02 8 . 1 vv 1433, 3 2 0 tg 0 m 1 m 2 m ox y 2 v 1 v 0 v 11v m 22v m 00v m 1022 vmvmvm 例題3、質(zhì)量為 的人手中拿 著一質(zhì)量為 的物體。此人用 與水平面成 角的速率 向前 跳去，當(dāng)他到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，他將物體以相 對于人為 的水平速率向后拋出，問由于 拋出物體，他跳躍的距離增加了多少？ M m 0 v u 解：分析在最高位置時(shí)，系

8、統(tǒng)水平方向 的動(dòng)量守恒 以地面為參考系 ，取圖示坐標(biāo) 0 v u x y o 0 v cosv0u x y o x x muMvvMmcos 0 設(shè)人向后拋出物體后水平速率 為 ，則（哪一式是正確的？）（哪一式是正確的？） v uvmMvvMm 00 cos uvmMvvMmcos 0 u mM m vv cos 0 u mM m v tvx u gmM mv g v v sinsin 00 則 例題4、系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)量移動(dòng)的問題 （變質(zhì)量問題） 飛行中噴出燃?xì)獾冗\(yùn)動(dòng)，由于質(zhì)量的改變 ，牛頓第二定律不再適用，而質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量 定理對這類問題的研究提供了方便 如柔軟繩子落到桌面上，火箭 火箭的運(yùn)動(dòng)： 火箭

9、是依 靠其內(nèi)部燃燒室中產(chǎn)生的氣體 來獲得向前的推力的。 設(shè)火箭在 時(shí)刻的質(zhì)量為 ，速度為 t m v 時(shí)間內(nèi)，有燃?xì)?以相對 火箭速度 噴出，速度增加 到 tdm u vdv 設(shè)系統(tǒng)合外力為 ，則由動(dòng)量定理得 F 時(shí)刻 m v t 時(shí)刻 dmm vdv dm u tt vmuvdvdmvdvdmmpddtF dmuvdmdtF dt dm u dt vd mF dt md u dt vd m v v m m m md uvd 00 0 0 ln m m uvv dt md dt dm 其中 0F 設(shè)火箭高空飛行時(shí)則 m m uvv 0 0 ln 選取 的方 向?yàn)檎?v 式中 稱為質(zhì)量比 為起

10、始時(shí)刻 火箭的質(zhì)量 為時(shí)刻 火箭的質(zhì)量 0 m 0t m t N m m 0 采用多級火箭，提高火箭速度 討論： uv m m v 0 ln 設(shè)0 0 v 11 ln Nuv 212 ln Nuvv nn NuNuNuvlnlnln 21 n NNNu 21 ln 四、功 在直角坐標(biāo)系中 1、功 復(fù)習(xí) ： sFWcos 質(zhì)點(diǎn)在變力作用下，沿曲線路 徑 BA rdFrdFdW cos drFrdFdWW B A B A B A cos kFjFiFF zyx kdzjdyidxrd dzFdyFdxFrdFW zyx B A F rd A B s F F （3）功是過程量：功總是和質(zhì)點(diǎn)的某個(gè)運(yùn)

11、動(dòng)過程相聯(lián)系 功的性質(zhì)功的性質(zhì) （1）功是力對空間的積累作用 ，是標(biāo)量 （2）合力的功等于各分力的功的代數(shù)和 rdFrdFrdFW 21合 21 WWW r cosF o 1 r 2 r dr 重力作功，只與運(yùn)動(dòng)物體起 點(diǎn)、終點(diǎn)的位置有關(guān)，與路 徑無關(guān) 2 2、重力、引力、彈性力的功、重力、引力、彈性力的功 （1）重力作功 （2）萬有引力作功 物體 沿路徑 過程中 重力的功 mBA 2 1 y y B A B A mgdyrdgmdWW 12 mgymgyW y x o 2 y 1 y dy dr gm A B drFrdFdWWcos 圖示物體 在另一物體 固 定不動(dòng)）的引力作用下，沿路 徑

12、 過程中引力的功 mm BA rde r mm GrdFW r B A B A 2 式中 （請注意（請注意 ！ ） drcosrderde rr drrd dr r mm Gdr r mm GW B A r r B A 22 AB r mm G r mm GW m B A B r A r r rdr rd m rdr r rd rd 萬有引力做功只與物體起點(diǎn) 、終點(diǎn)位置有關(guān)，而與經(jīng)歷 的路徑無關(guān) （3 3）彈性力作功）彈性力作功 設(shè)彈簧原長為坐標(biāo)原點(diǎn) ，物體由 運(yùn) 動(dòng)到 的過程中彈性力作功 oA B 2 1 x x B A kxdxrdFW 2 1 2 2 2 1 2 1 kxkxW o 1

13、x 2 x AB x 力作功的大小只與物體始末位置有 關(guān)，而與所經(jīng)歷的路徑無關(guān)，這類力稱 為保守力 彈性力作功也是與物體起點(diǎn)、終 點(diǎn)位置有關(guān)，而與經(jīng)歷的路徑無 關(guān) 3 3、保守力、保守力 如：重力，彈性力，萬有引力，靜電力. 因此，保守力有 0rdFW 4 4、勢能、勢能 （1）勢能引入 保守力的功可以用兩項(xiàng)之差 的形式表示，每項(xiàng)都是與相互作用物體的 位置有關(guān)，因此引入一個(gè)與物體位置有關(guān) 的能量。 引力勢能 r Mm GE p 重力勢能 mghE p 彈性勢能 2 2 1 kxE p 勢能值的相對性與勢能差的絕對值。 勢能是屬于存在保守內(nèi)力的系統(tǒng)的， 具有保守力才能引入勢能的概念。 勢能是狀態(tài)

14、的函數(shù)。 （2）勢能的討論 因此可以得到保守力的功與勢 能的關(guān)系式 ppp EEEW 12 由勢能曲線或勢能函數(shù)可以 研究分析物體間的保守力和物體的運(yùn)動(dòng)情況 （3）勢能曲線：勢能隨物體間 相對位置變化的曲線 mghEp p E o h 2 2 1 kxEp p E o x r Mm GEp p E o r p EW p dEdWrdFdW F 由此可分析 的大小和方向 五、功能關(guān)系五、功能關(guān)系 合外力對質(zhì)點(diǎn)所作的功，等于質(zhì) 點(diǎn)動(dòng)能的增量。 1 1、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理 由牛頓第二定律 rdcosFrdFdW A B F 1 v 2 v rd dt dv mmacosF mvdvrd dt

15、 dv mdW 12 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 kk v v EEmvmvmvdvdWW （2）動(dòng)能定理反映了過程量與狀態(tài)量動(dòng)能 的關(guān)系 討論： （1）動(dòng)能定理是牛頓第二定律 的另一種積分形式 2 2、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理 系統(tǒng)內(nèi)有 個(gè)質(zhì)點(diǎn)，作用于各質(zhì)點(diǎn)的 力作功分別為 ，各質(zhì)點(diǎn)初動(dòng) 能 改變?yōu)?n n WW,W 21 2010 kk E,E 21 kk E,E 作用在質(zhì)點(diǎn)系的力所作的功，等于質(zhì)點(diǎn) 系的動(dòng)能增量 101 1kk EEW 202 2kk EEW n i k n i k n i i ii EEW 111 0 作用于系統(tǒng)的力由內(nèi)力和外力，則 n i k n i

16、 k n i i ii EEWWW 111 0 內(nèi)外 作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力和非保守內(nèi)力所 作的功，等于系統(tǒng)的機(jī)械能的增量。 3 3、質(zhì)點(diǎn)系的功能原理、質(zhì)點(diǎn)系的功能原理 系統(tǒng)的內(nèi)力有保守內(nèi)力和非 保守內(nèi)力，則 內(nèi)非內(nèi)保內(nèi) WWW 前面討論知 n i p n i p EEW i 11 0 內(nèi)保 將質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理寫成 n i p n i k n i p n i k iiii EEEEWW 1111 00 內(nèi)非外 0 EEWW 內(nèi)非外 4 4、機(jī)械能守恒定律、機(jī)械能守恒定律 0 內(nèi)非外 WW若則 0 EE 5 5、能量守恒定律、能量守恒定律 一半徑為 的四分之一圓弧 垂直固定與地面上，質(zhì)量為 的小物體從最

17、高點(diǎn) 由靜止下 滑至 點(diǎn)處的速度為 ，求 摩擦力所作的功 例題1、 B m D D v RB D m R 解：方法一： 應(yīng)用牛頓第二定律，由功 的定義求解 gm t e n e N F r F B D m R D v C 在 點(diǎn)處物體受力如圖 ，取自然坐標(biāo)系得切向分 量式 C dt dv mmaFmg tr cos dt dv mcosmgF r rdcosmgrd dt dv mrdFdW rr Rdcosmgmvdv 所以 D B r dWW 2 00 0 dcosmgRmvdv v mgRmvD 2 2 1 0 2 1 2 Drp mvWWmgRW p mgRmvW Dr 2 2 1 方

18、法二：應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理求解 支持力 不作功，則 N F gm t e n e N F r F B D m R D v C 方法三：應(yīng)用功能原理求解 系統(tǒng)：物體圓軌道，地球 0 外 W r WW 內(nèi)非 取 點(diǎn)處為重力勢能零點(diǎn)，由功能原理得D mgRmvW Dr 2 2 1 討論：試比較上述三種方法討論：試比較上述三種方法 B D m R 第一宇宙速度：由地面處第一宇宙速度：由地面處 發(fā)射使物體環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)，所發(fā)射使物體環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)，所 需的最小速度。需的最小速度。 例題2、宇宙速度的計(jì)算 設(shè)于地球表面處 發(fā)射速 度為 的物體，到達(dá)距地面高 度為 處，以速度 繞地球作 勻速圓周運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)機(jī)械能守

19、恒（為什么？）（為什么？） E R 1 v h v h m E m E R hRR EE 設(shè)地球質(zhì)量為 E m hR mm Gmv R mm Gmv E E E E 22 1 2 1 2 1 又由第二定律，得 2 2 hR mGm hR v m E E E 解得 hR Gm R Gm v E E E E 2 1 2 E E R mGm mg hR R gRv E E E 2 1 則 物體脫離地球引力時(shí)，引力勢能為零 ，所以由機(jī)械能守恒得 當(dāng) (或 ） hR E 0h 13 1 1097 sm.gRv E 第二宇宙速度(逃逸速度)：使物體脫 離地球引力范圍所需的最小速度 0 2 1 2 2 E

20、E kp R mm GmvEE 13 2 102 .112 2 smgR R Gm v E E E m E m 2 v 則任何物體都不可能從該星 球中逃逸出來。 黑洞的討論黑洞的討論 對任一星球，若要脫離其 引力范圍的最小速度。 若 （光速 ） Cv 為該星球質(zhì)量 為星球半徑 r GM v 2 M r 例題例題3 3、完全彈性碰撞，完全 非彈性碰撞 取ox軸，沿x軸方向 動(dòng)量守恒 解 ： 機(jī)械能守恒定律有 2211202101 vmvmvmvm 2 22 2 11 2 202 2 101 2 1 2 1 2 1 2 1 vmvmvmvm 設(shè)質(zhì)量為 ，速度為 和 的彈性小球，沿直線運(yùn)動(dòng)，求兩球完 全彈性碰撞后的速度 和 21 m,m 10 v 20 v 1 v 2 v 10 v 20 v 1 v 2 v 1 m 2 m 1 m 2 m 討論