第10章 梁的彎曲變形[教育研究]

1、 主講 韓志型 西南科技大學(xué)土建學(xué)院力學(xué)教研室 1章節(jié)課堂 10101 1 概述概述 10102 2 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程 10103 3 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形 10104 4 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形 10105 5 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施梁的剛度條件及提高梁剛度的措施 第第10章章 梁的變形梁的變形 2章節(jié)課堂 3 ： 1 1、撓度、轉(zhuǎn)角的概念、撓度、轉(zhuǎn)角的概念 2 2、積分法求梁的撓度和轉(zhuǎn)角、積分法求梁的撓度和轉(zhuǎn)角 3 3、疊加法求梁指定截面的、疊加法求梁指定截面的 1 1、撓曲線微分方程的建立、撓曲線微分方程的建立 2 2、撓

2、度、轉(zhuǎn)角函數(shù)的確定、撓度、轉(zhuǎn)角函數(shù)的確定 3章節(jié)課堂 要求：要求： 1 1理解撓度曲線、撓度、轉(zhuǎn)角的概念以及它們之間的關(guān)理解撓度曲線、撓度、轉(zhuǎn)角的概念以及它們之間的關(guān) 系；系； 2 2、了解梁的撓曲線近似微分方程的應(yīng)用條件，掌握梁撓、了解梁的撓曲線近似微分方程的應(yīng)用條件，掌握梁撓 曲線的近似微分方程；曲線的近似微分方程； 3 3、掌握用積分法求梁的變形；、掌握用積分法求梁的變形； 4 4、熟練運(yùn)用疊加法求梁的變形。、熟練運(yùn)用疊加法求梁的變形。 5 5、熟練運(yùn)用剛度條件，解決剛度校核、截面設(shè)計(jì)和確定、熟練運(yùn)用剛度條件，解決剛度校核、截面設(shè)計(jì)和確定 容許荷載問(wèn)題。容許荷載問(wèn)題。 4章節(jié)課堂 10-

3、1 概概 述述 5章節(jié)課堂 6 彎曲變形彎曲變形 6章節(jié)課堂 高架橋高架橋 研究目的：對(duì)梁作剛度校核；研究目的：對(duì)梁作剛度校核； 解超靜定梁（變形幾何條件提供補(bǔ)充方程）。解超靜定梁（變形幾何條件提供補(bǔ)充方程）。 研究范圍：等直梁在平面彎曲時(shí)位移的計(jì)算。研究范圍：等直梁在平面彎曲時(shí)位移的計(jì)算。 7章節(jié)課堂 一、梁的變形特征一、梁的變形特征 8章節(jié)課堂 一、梁的變形特征一、梁的變形特征 9章節(jié)課堂 10章節(jié)課堂 2.2.轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn) 動(dòng)的角度動(dòng)的角度。用。用 表示，順時(shí)表示，順時(shí) 針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。反之為負(fù)。 3. 3.橫截面形心沿軸線方向的線位

4、移橫截面形心沿軸線方向的線位移x x。在小變形情況下，。在小變形情況下， x x很小，通常被忽略不計(jì)。很小，通常被忽略不計(jì)。 度量梁變形的兩個(gè)基本位移量：度量梁變形的兩個(gè)基本位移量： 二、度量梁變形的兩個(gè)基本位移量二、度量梁變形的兩個(gè)基本位移量 P x v C C v 1.1.撓度撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用用v v 表示。表示。 v v向下為正，反之為負(fù)。向下為正，反之為負(fù)。 x 11章節(jié)課堂 撓度曲線撓度曲線指梁在彈性范圍內(nèi)的荷載作用下，指梁在彈性范圍內(nèi)的荷載作用下， 梁的軸線將彎曲成一條連續(xù)光滑的曲線，該曲線稱梁的軸線將彎曲成一條連續(xù)

5、光滑的曲線，該曲線稱 為為撓度曲線撓度曲線，簡(jiǎn)稱為，簡(jiǎn)稱為撓曲線。撓曲線。 撓曲線方程撓曲線方程用來(lái)描述撓曲線的方程稱為撓曲用來(lái)描述撓曲線的方程稱為撓曲 線方程。線方程。 )(xvv P x v C C v 12章節(jié)課堂 撓曲線上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)撓曲線上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo) v（x）即為該點(diǎn)的即為該點(diǎn)的 橫截面的撓度。橫截面的撓度。 可見(jiàn)：可見(jiàn)：梁的任一橫截面的轉(zhuǎn)角，等于撓曲線在對(duì)梁的任一橫截面的轉(zhuǎn)角，等于撓曲線在對(duì) 應(yīng)點(diǎn)的切線的斜率。應(yīng)點(diǎn)的切線的斜率。 四、轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系四、轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系 d d tg x v 小變形小變形 d d tgv x v 轉(zhuǎn)角單位為弧度。轉(zhuǎn)角單位為弧度。 P x v

6、C C v d d tgv x v 13章節(jié)課堂 推導(dǎo)純彎梁橫截面正應(yīng)力時(shí)，得到撓曲線的曲推導(dǎo)純彎梁橫截面正應(yīng)力時(shí)，得到撓曲線的曲 率公式：率公式： z z EIEI M M 1 1 忽略剪力對(duì)變形的影響，也可忽略剪力對(duì)變形的影響，也可 用上式計(jì)算橫力彎曲梁的變形：用上式計(jì)算橫力彎曲梁的變形： z EI xM x )( )( 1 10-2 10-2 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程 以撓曲線的曲率來(lái)度量梁彎曲變形的程度。顯然，在以撓曲線的曲率來(lái)度量梁彎曲變形的程度。顯然，在 純彎曲時(shí)，曲率為常數(shù)，其撓曲線為一圓弧。在橫力純彎曲時(shí)，曲率為常數(shù)，其撓曲線為一圓弧。在橫力 彎曲時(shí)，曲率與彎矩

7、成正比。彎曲時(shí)，曲率與彎矩成正比。 P D 14章節(jié)課堂 由數(shù)學(xué)知識(shí)可知：平面曲線的曲率公式為由數(shù)學(xué)知識(shí)可知：平面曲線的曲率公式為 32 2 2 )(1 1 dx dv dx vd 略去高階小量，得略去高階小量，得 2 2 1 dx vd 所以所以 z EI xM dx vd)( 2 2 1 dv dx 在小變形（小撓度）在小變形（小撓度） z EI xM x )( )( 1 15章節(jié)課堂 其中的正負(fù)號(hào)與彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)則和其中的正負(fù)號(hào)與彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)則和v v坐標(biāo)的取坐標(biāo)的取 向有關(guān)。向有關(guān)。 v x M0 0)( x v v x M0 ( )0vx v x ( )0vx 16章節(jié)課堂 由彎矩

8、的正負(fù)號(hào)規(guī)定可得，彎矩的符號(hào)與撓曲由彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定可得，彎矩的符號(hào)與撓曲 線的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反，所以取負(fù)號(hào)，線的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反，所以取負(fù)號(hào)，撓曲線的近撓曲線的近 似微分方程似微分方程為：為： z EI xM dx vd v )( 2 2 由上式進(jìn)行積分，由上式進(jìn)行積分， 就可以求出梁橫截面的就可以求出梁橫截面的 轉(zhuǎn)角和撓度。轉(zhuǎn)角和撓度。 v x M0 0)( x v v x Mb。 解：解：1 1）由梁整體平衡分析得：）由梁整體平衡分析得： 0, AAB FbFa HRR ll 2 2）彎矩方程）彎矩方程 1 0 xa AC AC 段：段： 222 () A M xR xF xa CB C

9、B 段：段： ab 1 x 2 x A C x A R B R A B B F 111,A Fb M xR xx l 2 axl 22 (), Fb xF xa l HA 28章節(jié)課堂 3 3）列撓曲線近似微分方程并積分）列撓曲線近似微分方程并積分 111 () Fb EIvM xx l 1 2 1111 () 2 Fb EIvEIxxC l 1 3 1111 6 Fb EIvxC xD l AC AC 段：段： 1 0 xa 2222 ()() Fb EIvM xxF xa l 2 22 22222 ()() 22 FbF EIvEIxxxaC l 2 33 22222 () 66 FbF

10、EIvxxaC xD l CB CB 段：段： 2 axl 111,A Fb M xR xx l 222 ()(), Fb M xxF xa l ab 1 x 2 x A C x A R B R A B B F l 29章節(jié)課堂 4 4）由邊界條件確定積分常數(shù)）由邊界條件確定積分常數(shù) 22 ,( )0 xlvl 11 0,(0)0 xv 代入求解，得代入求解，得 位移邊界條件位移邊界條件 光滑連續(xù)條件光滑連續(xù)條件 1212 ,( )( )xxaaa 1212 ,( )( )xxav av a 22 12 () 6 Fb CClb l 12 0DD 1 2 1111 () 2 Fb EIvEIx

11、xC l 1 3 1111 6 Fb EIvxC xD l 2 22 22222 ()() 22 FbF EIvEIxxxaC l 2 33 22222 () 66 FbF EIvxxaC xD l 1 0D （1） 33 22 ()0 66 FbF llaC lD l （2） 2 1 2 Fb aC l 2 2 2 Fb aC l （3） 3 11 6 Fb aC aD l 3 22 6 Fb aC aD l （4） ab 1 x 2 x A C x A R B R A B B F l 30章節(jié)課堂 5 5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程 1 222 1 () 26 FbFb

12、 EIxlb ll 1 322 11 () 66 FbFb EIvxlbx ll AC AC 段：段： 1 0 xa 2222 222 ()() 226 FbFFb EIxxalb ll 3322 2222 ()() 666 FbFFb EIvxxalbx ll CB CB 段：段： 2 axl （1 1） （2 2） （3 3） （4 4） ab 1 x 2 x A C x A R B R A B B F l 31章節(jié)課堂 6 6）確定）確定C C截面的撓度：截面的撓度： 7 7）確定）確定A A截面轉(zhuǎn)角：截面轉(zhuǎn)角： 222 () 6 c Fab vlab EIl 將將 x x1 1=a =

13、a 代入代入v v1 1 或?qū)?或?qū)?x x2 2=a =a 代入代入v v2 2 22 () 6 A Fb lb EIl 將將 x1=0 代入（代入（1）式：）式： ab 1 x 2 x A C x A R B R A B B F l 1 322 11 () 66 FbFb EIvxlbx ll 1 222 1 () 26 FbFb EIxlb ll 2222 222 ()() 226 FbFFb EIxxalb ll 3322 2222 ()() 666 FbFFb EIvxxalbx ll 32章節(jié)課堂 疊加原理：疊加原理：多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的

14、變形 等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。 )()()()()( 221121iinnn PPPPPPP )()()()()( 221121iinnn PvPvPvPvPPPv 10-3 10-3 疊加法求梁的撓度與轉(zhuǎn)角疊加法求梁的撓度與轉(zhuǎn)角 計(jì)算時(shí)可查表計(jì)算時(shí)可查表10-110-1（p194p194）。）。 疊加原理適用條件：小變形、材料服從胡克定律。疊加原理適用條件：小變形、材料服從胡克定律。 33章節(jié)課堂 例例4 4 按疊加原理求按疊加原理求A A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C C點(diǎn)點(diǎn) 撓度。撓度。 解、解、載荷分解如圖載荷分解如圖 查梁的

15、簡(jiǎn)單載荷變形表：查梁的簡(jiǎn)單載荷變形表： 3 6 C P P a v E I 2 4 A P P a E I 4 5 24 C q qa v E I 3 3 A q qa E I q q P P = + A A A B B B C aa 34章節(jié)課堂 3 6 C P P a v E I 2 4 A P P a E I 4 5 24 C q qa v E I 3 3 A q qa E I q q P P = + A A A B B B C aa 疊加疊加 qAPAA )43( 12 2 qaP EI a EI Pa EI qa 624 5 34 cqcPC vvv 35章節(jié)課堂 例例5 5 按疊加

16、原理求按疊加原理求B B點(diǎn)轉(zhuǎn)角和撓度。點(diǎn)轉(zhuǎn)角和撓度。 解、解、載荷分解如圖載荷分解如圖 4 1 () 8 B q ab v EI 3 1 () , 6 B q ab EI 2BBBCC vvvb v 433 (34 ) 8624 qaqa bqa ab EIEIEI B q A B v B v c v C B q C A B q C A =+ （1 1） （2 2） 3 , 6 c qa EI 4 8 c qa v EI 3 2 6 Bc qa EI 查梁的簡(jiǎn)單載荷變形表：查梁的簡(jiǎn)單載荷變形表： 36章節(jié)課堂 疊加：疊加： 4 1 () 8 B q ab v EI 3 1 () 6 B q a

17、b EI 12BBB 3 2 (34 ) 24 B qa vab EI B q A B v B v c v C B q C A B q C A =+ （1 1） （2 2） 3 2 6 B qa EI 12BBB vvv 43 ()(34 ) 824 q abqaab EIEI 33 () 66 q abqa E IE I 37章節(jié)課堂 max vv 10-4 10-4 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施梁的剛度條件及提高梁剛度的措施 建筑工程中的梁主要是強(qiáng)度條件控制，即按強(qiáng)度條件建筑工程中的梁主要是強(qiáng)度條件控制，即按強(qiáng)度條件 設(shè)計(jì)出梁的截面尺寸，然后進(jìn)行剛度校核。設(shè)計(jì)出梁的截面尺寸，然后進(jìn)行剛度

18、校核。 剛度條件就是將最大撓度控制在一定范圍內(nèi)，而對(duì)轉(zhuǎn)剛度條件就是將最大撓度控制在一定范圍內(nèi)，而對(duì)轉(zhuǎn) 角一般不要求。角一般不要求。 建筑鋼梁的許可撓跨比：建筑鋼梁的許可撓跨比： 11 2501000 v l 38章節(jié)課堂 例例6 圖示圖示一圓木桁條，一圓木桁條，d=11.62cm、l=3.6m，E=104MPa， q=1.04kN/mq=1.04kN/m，桁條的容許撓度，桁條的容許撓度 v=l/200, ,試校試校核此桁條的剛度。核此桁條的剛度。 q B A l vmax 4 44 cm895 64 62.1114. 3 64 d I EI ql v 384 5 4 max 解：解：查表查表 v ll EI ql v 6 .141108951010384 6 . 31004. 15 384 5 864 334 max 可見(jiàn)，不滿足剛度條件。因此需重新設(shè)計(jì)圓木的直徑?？梢?jiàn)，不滿足剛度條件。因此需重新設(shè)計(jì)圓木的直徑。 39章節(jié)課堂 q B A l vmax 64 4 d I v EI ql v 384 5 4 max （2 2）重新設(shè)計(jì)桁條尺寸）重新設(shè)計(jì)桁條尺寸 根據(jù)剛度條件：根據(jù)剛度條件： v dE ql EI ql v 4 44 max 64 384 5 384 5 m vE ql d 4 64 434 4 1054. 2 6 . 314. 31010384 2006 . 3