二重積分習題練習及解析

1、補充補充輪換輪換對稱性結(jié)論對稱性結(jié)論: : 若若Dx,y滿足輪換對稱性滿足輪換對稱性(將將D的邊界曲線的邊界曲線 方程中的方程中的x與與y交換位置交換位置,方程不變方程不變),則則 ( , )d d( , )d d . DD f x yx yf y xx y 1 1 證證 yx yx ybxa I D dd )()( )()( 設(shè)設(shè) 的的對對稱稱性性得得由由區(qū)區(qū)域域關(guān)關(guān)于于直直線線xy yx xy xbya I D dd )()( )()( 所以所以, D yxbaIdd)(2)( 2 1 baI ,1 , 0)(上上的的正正值值連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)x )( 2 1 dd )()( )()

2、( bayx yx ybxa D 證證明明： 為常數(shù)，為常數(shù)，其中其中ba, xy ba x y O 1,0),( yxyxD 例例 習習 題題 課課 二二 重重 積積 分分 知識要點知識要點 解題技巧解題技巧 典型例題典型例題 其中其中 ii n i i D fyxfI ),(limd),( 1 0 一、二重積分的概念與性質(zhì)一、二重積分的概念與性質(zhì) 是各小閉區(qū)域的直徑中的最大值是各小閉區(qū)域的直徑中的最大值. 幾何意義幾何意義 二重積分二重積分I表示以表示以D為底為底, 柱體的體積柱體的體積. z =f (x, y)為曲頂為曲頂, 側(cè)面是側(cè)面是 （一）二重積分的定義（一）二重積分的定義,幾何意

3、義與物理意義幾何意義與物理意義 定義定義1. 平面上有界閉區(qū)域平面上有界閉區(qū)域D上二元有界函數(shù)上二元有界函數(shù) z = f (x, y)的二重積分的二重積分 2.當連續(xù)函數(shù)當連續(xù)函數(shù),0),(時時 yxfz 以以D的邊界為準線的邊界為準線,母線平行于母線平行于z軸的柱面的軸的柱面的曲頂曲頂 一般情形一般情形, 知識要點知識要點 D yxf d),( 物理意義物理意義 3. xOy平面上方的曲頂柱體體積平面上方的曲頂柱體體積 減減xOy平面下方的曲頂柱體體積平面下方的曲頂柱體體積. 若平面薄片占有平面內(nèi)有界閉區(qū)域若平面薄片占有平面內(nèi)有界閉區(qū)域D, ),(yx 則它的質(zhì)量則它的質(zhì)量M為為: 它的面它

4、的面 密度為連續(xù)函數(shù)密度為連續(xù)函數(shù) .d),( D yxM 性質(zhì)性質(zhì)1(線性運算性質(zhì)線性運算性質(zhì))為常數(shù)為常數(shù), 則則 (重積分與定積分有類似的性質(zhì)重積分與定積分有類似的性質(zhì)) D yxgyxf d),(),( 、設(shè)設(shè) DD yxgyxf d),(d),( 性質(zhì)性質(zhì)2 將區(qū)域?qū)^(qū)域D分為兩個子域分為兩個子域 D yxf d),( )( 21 DDD 對積分區(qū)域的可加性質(zhì)對積分區(qū)域的可加性質(zhì). 1 d),( D yxf 2 d),( D yxf , 21 DD （二）二重積分的性質(zhì)（二）二重積分的性質(zhì) 以以1為高的為高的 性質(zhì)性質(zhì)3(幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用) 若若 為為D的面積的面積 注注 D d既可

5、看成是以既可看成是以D為底為底, 柱體體積柱體體積. D d1 D d 又可看成是又可看成是D的面積的面積. D yxf d),( 特殊地特殊地 性質(zhì)性質(zhì)4(4(比較性質(zhì)比較性質(zhì)) ),(),(yxgyxf 設(shè)設(shè),),(Dyx 則則 D yxg d),( D yxf d),( D yxf d),( ( (保序性保序性) ) D Myxfm d),( 幾何意義幾何意義 以以m為高和以為高和以M為高的為高的 性質(zhì)性質(zhì)5(5(估值性質(zhì)估值性質(zhì)) ),),(Myxfm 設(shè)設(shè) 為為D的面積的面積, 則則 ,),( , 0),(Dyxyxf 設(shè)設(shè)則曲頂則曲頂 柱體的體積介于以柱體的體積介于以D為底為底,

6、兩個平頂柱體體積之間兩個平頂柱體體積之間. 性質(zhì)性質(zhì)6(6(二重積分中值定理二重積分中值定理) ) ),( D yxf d),( 體體積等于以體體積等于以D為底為底),( f以以 幾何意義幾何意義 域域D上連續(xù)上連續(xù),為為D的面積的面積, 則在則在D上至少存在一點上至少存在一點 使得使得 ),(f ,),( , 0),(Dyxyxf 設(shè)設(shè)則曲頂柱則曲頂柱 為高的平頂柱體體積為高的平頂柱體體積. 設(shè)設(shè)f (x, y)在閉區(qū)在閉區(qū) (1)設(shè)設(shè)f (x, y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上連續(xù)上連續(xù). D yxyxfdd),( 若若D關(guān)于關(guān)于 ,dd),(2 1 yxyxf D 則則 x軸對稱軸對稱,

7、 f (x, y)對對y為奇函數(shù)為奇函數(shù), 即即 , 0 ,),(),(),(Dyxyxfyxf f (x, y)對對y為偶函數(shù)為偶函數(shù), 即即 ,),(),(),(Dyxyxfyxf 則則 D yxyxfdd),( 其中其中;0 1 yDD （三）對稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)（三）對稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì) (2)設(shè)設(shè)f (x, y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上連續(xù)上連續(xù). D yxyxfdd),( 若若D關(guān)于關(guān)于 ,dd),(2 1 yxyxf D 則則 y軸對稱軸對稱, f (x, y)對對x為奇函數(shù)為奇函數(shù), 即即 , 0 ,),(),(),(Dyxyxfyxf f (x, y)對對

8、x為偶函數(shù)為偶函數(shù), 即即 ,),(),(),(Dyxyxfyxf 則則 D yxyxfdd),( 其中其中 ;0 1 xDD D (3)設(shè)設(shè)f (x, y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上連續(xù)上連續(xù). 則則對對稱稱關(guān)關(guān)于于直直線線若若閉閉區(qū)區(qū)域域,xyD DD yxxyfyxyxf;dd),(dd),( ),()(,),( 21 xyxbxayxD 其中函數(shù)其中函數(shù) 、)( 1 x )( 2 x b )( 2 xy )( 1 xy a D 在區(qū)間在區(qū)間a, b上連續(xù)上連續(xù). 二、在直角坐標系中化二重積分為二、在直角坐標系中化二重積分為 x O y 累次積分累次積分 (1) 設(shè)設(shè)f (x, y)在

9、平面有界閉區(qū)域在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)上連續(xù). D yxf d),( b a x x yyxfx )( )( 2 1 d),(d 先對先對y 后對后對x的二次積分的二次積分 ),()(,),( 21 yxydycyxD 其中函數(shù)其中函數(shù) 、)( 1 y )( 2 y 在區(qū)間在區(qū)間c, d上連續(xù)上連續(xù). (2) 設(shè)設(shè)f (x, y)在平面有界閉區(qū)域在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)上連續(xù). D yxf d),( d c y y xyxfy )( )( 2 1 d),(d 先對先對x 后對后對y的二次積分的二次積分. x O y D )( 2 yx c d )( 1 yx D yxf d),( ddrr極坐

10、標系中的面積元素極坐標系中的面積元素 D rrrrf dd)sin,cos( 三、在極坐標系中化二重積分為累次積分三、在極坐標系中化二重積分為累次積分 )( 1 r )( 2 r OA D (1)設(shè)設(shè)f (x, y)在平面有界平面閉區(qū)域在平面有界平面閉區(qū)域D上連續(xù)上連續(xù). )()(,),( 21 ryxD 其中函數(shù)其中函數(shù).,)()( 21 上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間、 d )(2 )(1 ;d)sin,cos( rrrrf D ;d)sin,cos(d )( 0 rrrrf D yxf d),( AO )( r (2)設(shè)設(shè)f (x, y)在平面有界平面閉區(qū)域在平面有界平面閉區(qū)域D上連續(xù)上連續(xù).

11、 )(0 ,),( ryxD 其中函數(shù)其中函數(shù).,)(上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間 )( 0 2 0 d)sin,cos(d rrrrf 極坐標系極坐標系下區(qū)域的下區(qū)域的面積面積.dd D rr D o A )( r (3)設(shè)設(shè)f (x, y)在平面有界平面閉區(qū)域在平面有界平面閉區(qū)域D上連續(xù)上連續(xù). )(0 ,20),( ryxD D yxf d),( 其中函數(shù)其中函數(shù).,)(上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間 再確定交換積分次再確定交換積分次 1. 交換積分次序交換積分次序: 先依給定的積分次序?qū)懗龇e分域先依給定的積分次序?qū)懗龇e分域D的的 不等式不等式, 并畫并畫D的草圖的草圖; 序后的積分限序后的積分限

12、; 2. 如被積函數(shù)為如被積函數(shù)為 圓環(huán)域時圓環(huán)域時, 或積分域為或積分域為 ),( 22 yxf ),( 22 yxf ),( x y f)(arctan x y f圓域、扇形域、圓域、扇形域、 則用極坐標計算則用極坐標計算; 解題技巧解題技巧 3. 注意利用對稱性質(zhì)注意利用對稱性質(zhì), 數(shù)中的絕對值符號數(shù)中的絕對值符號. 以便簡化計算以便簡化計算; 4. 被積函數(shù)中含有絕對值符號時被積函數(shù)中含有絕對值符號時, 應(yīng)應(yīng) 將積分域分割成幾個子域?qū)⒎e分域分割成幾個子域, 使被積函數(shù)在使被積函數(shù)在 每個子域中保持同一符號每個子域中保持同一符號, 以消除被積函以消除被積函 .d 1 d 1 3 1 0

13、2 y y xy x x 解解 例例 計算積分 計算積分 xO y 2 xy 1 1 交換積分次序交換積分次序. . 原式原式 = xxy y y dd 1 3 00 y 1 1 0 3 2 d 12 1 y y y 1 0 3 3 1 )d(1 6 1 y y ).12( 3 1 典型例題典型例題 1.1.交換積分次序交換積分次序 計算計算 222 .d)232( 2 ayx yxx 解解 積分域是圓積分域是圓 , 222 ayx 故關(guān)于故關(guān)于x、y軸、軸、 故將被積函數(shù)分項積分故將被積函數(shù)分項積分: 222 d)32( ayx yx 0 而而 222 d 2 ayx x 222 d 2 a

14、yx y 222 )d( 2 1 22 ayx yx 極坐標極坐標 a rr 0 3 2 0 dd 2 1 . 4 4 a 又又 222 d2 ayx ,2 2 a 所以所以 原式原式 =.2 4 2 4 a a 對稱對稱,xy 例例 直線直線 2.2.利用對稱性利用對稱性 222 cyx 0, )()( )()( 222 zcyx yx ybxa z 曲曲面面 . 0, 0, 0 cba且且 證證 yx yx ybxa V D dd )()( )()( yx xy xbya yx ybxa DD dd )()( )()( )()( )()( 2 1 D yxbadd)( 2 1 xy x y

15、 O 所圍立體的體積等于所圍立體的體積等于),( 2 1 2 bac )(u 其中其中是連續(xù)是連續(xù) 的正值函數(shù)的正值函數(shù), 所求立體在所求立體在xOy面上的投影區(qū)域為面上的投影區(qū)域為 .: 222 cyxD 有有: ).( 2 1 2 bac 例例 證明證明: : cos2 .2:,dd)( 22 xyxDyxyx D 其其中中計計算算二二重重積積分分 解解 原式原式 = rrrdcosd 2cos 0 2 0 . 用極坐標用極坐標. . xO y rr ddcos2 2 cos2 0 2 0 2 0 cos2 0 3 d)(cos 3 2 r 2 0 3 dcoscos 3 16 2 0 4

16、 dcos 3 16 2 2 1 4 3 3 16 對稱性對稱性 積分區(qū)域關(guān)于積分區(qū)域關(guān)于 x軸對稱軸對稱 2 例例 3.3.坐標系的選擇坐標系的選擇 若函數(shù)若函數(shù) f (x, y)在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域D: 解解 , 1),(d)d,( 2 yxfyxyxfxy D 10 , 10 yx 上連續(xù)上連續(xù), 且且 求求 f (x, y) . 設(shè)設(shè) D yxyxfId)d,( I 1),( 2 yxfxyI 兩邊積分兩邊積分, 得得 DD yxyxyxfdddd),( 11I1 I 1dd 1 0 1 0 2 IyyxxI D yxxyIdd 2 1 4 1 2 II 2 I .41),(xyyxf

17、 xO y 1 1 I D 例例 1 1 計算二重積分計算二重積分 D2 d)1( 22 1 yx D d)1( 22 2 yx D 極坐標極坐標 ,d|1| 22 D yx例例 將將D分成分成D1與與D2兩部分兩部分.D1 其中其中 解解 y Ox 1 22 yx d|1| 22 D yx 由于由于 d)1( 22 1 yx D 1 0 2 2 0 d)1(drrr 8 d)1( 22 2 yx D 直角坐標直角坐標 1 1 22 1 0 2 d)1(d x yyxx 3.3.被積函數(shù)帶絕對值、最大被積函數(shù)帶絕對值、最大( (小小) )值符號的積分值符號的積分 .10 , 10),( yxy

18、xD d)1( 22 2 yx D 1 1 22 1 0 2 d)1(d x yyxx 1 0 1 1 3 2 d 3 2 xy y yx x 1 0 2 3 22 d)1( 3 2 3 2 xxx 1 0 2 d) 3 2 (xx 1 0 2 3 2 d)1( 3 2 xxI 3 2 3 1 其中其中 1 0 2 3 2 d)1(xxI txsin 2 0 4 dcostt. 16 3 2 2 1 4 3 . 3 1 8 因此因此 d|1| 22 D yx . 3 1 4 3 1 8 8 8 d)1( 22 1 yx D 1 1 ,dd,max| 2 D yxyxxy 其中其中 .10 ,

19、10),( yxyxD 選擇適當?shù)淖鴺擞嬎氵x擇適當?shù)淖鴺擞嬎? x y O 2 xy xy 解解 原式原式 = 1 D 3 D 2 D 1 dd,max| 2 D yxyxxy 2 dd,max| 2 D yxyxxy 3 dd,max| 2 D yxyxxy 例例 1 1 ,dd,max| 2 D yxyxxy 其中其中 .10 , 10),( yxyxD 選擇適當?shù)淖鴺擞嬎氵x擇適當?shù)淖鴺擞嬎? x y O 解解 原式原式 = 1 D 3 D 2 D 1 2 1 0 d)(d x yyxyx x x yxxyx 2 d)(d 2 1 0 2 0 2 1 0 d)(d x yxyxx . 40 11 2 xy xy 例例 計算計算,dd|)|(| D yxyx0, 1|:| xyxD 解解 積分區(qū)域積分區(qū)域D關(guān)于關(guān)于x軸對稱軸對稱, 被積函數(shù)關(guān)于被積函數(shù)關(guān)于y為偶函數(shù)為偶函數(shù). 原式原式= 記記D1為為D的的y0的部分的部分. yxyxdd|)|(| 1 dd)(2 D yxxy x yxyx 1 0 0 1 d)(d2 則則 2 1 D 3 2 x y o D1 1 1 1 yx 1 1 yx ,)( 為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)設(shè)設(shè)tf證明證明 D a a ttatfyxyxfd|)|)(dd)( ).0( 2