2019-2020學年高中數(shù)學 第3章 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) 3.6 指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較課件 北師大版必修1

1、6指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù) 增長的比較 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)增長速度的比較 當a1時,指數(shù)函數(shù)y=ax是增函數(shù),并且當a越大時,其函數(shù)值的增 長就越快. 當a1時,對數(shù)函數(shù)y=logax是增函數(shù),并且當a越小時,其函數(shù)值的 增長就越快. 當x0,n1時,冪函數(shù)y=xn顯然也是增函數(shù),并且當x1時,n越大, 其函數(shù)值的增長就越快. 【做一做】 四個函數(shù)在第一象限中的圖像如圖所示,a,b,c,d所表示 的函數(shù)可能是() 解析:根據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質和圖像的特 點,a,c對應的函數(shù)分別是冪指數(shù)大于1和冪指數(shù)大于0小于1的冪函 數(shù).b,d對應的函數(shù)分別為底數(shù)大于1和底數(shù)大于0小于

2、1的指數(shù)函數(shù). 答案:C 思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“”,錯誤的打 “”. (1)y=ax(a1),y=xn(x0,n1)和y=logax(a1)都是增函數(shù),且它們 的增長速度是一樣的. () (2)函數(shù)y=2x與函數(shù)y=x3的圖像有且只有兩個交點. () (3)指數(shù)函數(shù)一定比對數(shù)函數(shù)增長的快. () 答案:(1)(2)(3) 探究一探究二探究三 函數(shù)增長快慢的比較函數(shù)增長快慢的比較 【例1】 已知函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3的圖像如圖,設兩個函數(shù)的圖 像相交于點A(x1,y1)和B(x2,y2),且x1x2. (1)請指出圖中曲線C1,C2分別對應哪一個函數(shù)

3、; (2)若x1a,a+1,x2b,b+1,且a,b1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 指出a,b的值,并說明理由. 分析:(1)由指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)不同的增長速度可判斷曲線所對應 的函數(shù);(2)通過計算比較函數(shù)值的大小關系,求出a,b的值. 探究一探究二探究三 解:(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長速度知:C1對應函數(shù) g(x)=x3,C2對應函數(shù)f(x)=2x. (2)依題意知x1和x2是使兩個函數(shù)的函數(shù)值相等的自變量x的值.當 xx3,即f(x)g(x); 當x1xx2時,f(x)x2時,f(x)g(x). 因為f(1)=2,g(1)=1,f(2)=22=4,g(2)=2

4、3=8, 所以x11,2,即a=1. 又因為f(8)=28=256,g(8)=83=512, f(8)g(8),f(9)=29=512, g(9)=93=729,f(9)g(10), 所以x29,10,即b=9. 綜上可知,a=1,b=9. 探究一探究二探究三 比較函數(shù)增長快慢的方法:(1)利用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù) 的不同的增長特點比較函數(shù)增長的快慢;(2)借助函數(shù)圖像,通過圖 像特點以及變化趨勢來比較函數(shù)的增長快慢;(3)通過計算相同區(qū) 間上函數(shù)值的增量的大小來比較函數(shù)增長的快慢. 探究一探究二探究三 變式訓練變式訓練1(1)下列所給函數(shù),增長最快的是 () A.y=5xB.y=x5

5、C.y=log5xD.y=5x (2)以下是三個函數(shù)y1,y2,y3隨x變化的函數(shù)值列表: 其中關于x成指數(shù)函數(shù)變化的函數(shù)是. 解析:(1)在一次函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)中,增長最 快的是指數(shù)函數(shù)y=5x,故選D. (2)指數(shù)函數(shù)中的增長量是成倍增加的,函數(shù)y1中增長量分別為 6,18,54,162,486,1 458,4 374,是成倍增加的,因而y1呈指數(shù)變化. 答案:(1)D(2)y1 探究一探究二探究三 根據(jù)函數(shù)的不同增長特點比較大小根據(jù)函數(shù)的不同增長特點比較大小 【例2】比較下列各組數(shù)的大小: 分析:先觀察各組數(shù)值的特點,再考慮構造適當?shù)暮瘮?shù),利用函數(shù) 的性質或圖像進行求解.

6、 探究一探究二探究三 (2)令函數(shù)y1=x2,y2=log2x,y3=2x.在同一坐標系內作出上述三個函 數(shù)的圖像如圖,然后作直線x=0.3,此直線必與上述三個函數(shù)圖像相 交.由圖像知log20.30.3220.3. 探究一探究二探究三 探究一探究二探究三 1.比較函數(shù)值大小的關鍵在于構造恰當?shù)暮瘮?shù),若指數(shù)相同而底 數(shù)不同,則考慮冪函數(shù);若指數(shù)不同而底數(shù)相同,則考慮指數(shù)函數(shù);若 底數(shù)不同,指數(shù)也不同,則需引入中間量. 2.將函數(shù)值涉及的函數(shù)的圖像在同一直角坐標系中畫出來,通過 圖像位置之間的關系比較大小. 探究一探究二探究三 A.abcB.acb C.bcaD.bac 解析:由已知結合對數(shù)函數(shù)

7、圖像和指數(shù)函數(shù)圖像得到a0,0c1,因此選B. 答案:B 探究一探究二探究三 函數(shù)不同增長特點在實際問題中的應用函數(shù)不同增長特點在實際問題中的應用 【例3】 某公司為了實現(xiàn)1 000萬元利潤的目標,準備制定一個激 勵銷售部門的獎勵方案:在銷售利潤達到10萬元時,按銷售利潤進 行獎勵,且獎金y(單位:萬元)隨銷售利潤x(單位:萬元)的增加而增加, 但獎金總數(shù)不超過5萬元,同時獎金不超過利潤的25%.現(xiàn)有三個獎 勵模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪個模型符合該公司要求? 探究一探究二探究三 解:借助計算器或計算機作出函數(shù)y=5,y=0.25x,y=log7x+1,

8、y=1.002x在第一象限的圖像如圖所示: 觀察圖像發(fā)現(xiàn),在區(qū)間10,1 000上,模型y=0.25x,y=1.002x的圖像 都有一部分在y=5的上方,這說明只有按模型y=log7x+1進行獎勵才 符合公司要求,下面通過計算確認上述判斷. 探究一探究二探究三 首先計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬元. 對于模型y=0.25x,它在區(qū)間10,1 000上是單調遞增的,當 x(20,1 000時,y5,因此該模型不符合要求. 對于模型y=1.002x,利用計算器,可知1.0028065.005,由于y=1.002x 在(-,+)上是增函數(shù),故當x(806,1 000時,y5,因此,也不符合要 求.

9、 對于模型y=log7x+1,它在區(qū)間10,1 000上是增加的,且當x=1 000 時,y=log71 000+14.555,所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要 求. 探究一探究二探究三 再計算按模型y=log7x+1獎勵時,獎金是否超過利潤x的25%,即當 x10,1 000時,利用計算器或計算機作f(x)=log7x+1-0.25x的圖像 (圖略),由圖像可知f(x)在10,1 000上是減少的,因此f(x)f(10)- 0.316 70,即log7x+10.25x.所以當x10,1 000時,y2).若要較準確反映數(shù)學成績與考試次序關系,應選 作為模擬函數(shù);若f(1)=4,f(3)=6

10、,則所選函數(shù)f(x)的解析式為. 解析:由于指數(shù)函數(shù)增長迅速,而對數(shù)型函數(shù)增長緩慢,因此滿足 先上升后下降再上升的是f(x)=(x-1)(x-q)2+p,當x=1時,y=4且x=3 時,y=6, 答案:f(x)=(x-1)(x-4)2+4 123456 1.當x越來越大時,下列函數(shù)中,增長速度最快的應該是 () A.y=100 xB.y=log100 x C.y=x100D.y=100 x 解析:由于指數(shù)型函數(shù)的增長是爆炸式增長,則當x越來越大時,函數(shù) y=100 x的增長速度最快. 答案:D 123456 A.f(x)的增減速度越來越慢,g(x)的增減速度越來越快 B.f(x)的增減速度越來

11、越快,g(x)的增減速度越來越慢 C.f(x)的增減速度越來越慢,g(x)的增減速度越來越慢 D.f(x)的增減速度越來越快,g(x)的增減速度越來越快 解析:由圖像可知兩個函數(shù)的增減速度都是越來越慢的. 答案:C 123456 3.為了治理沙塵暴,A市政府大力加強環(huán)境保護,其周邊草場綠色植 被面積每年都比上一年增長10.4%,那么經過x年綠色植被的面積為 y,則y=f(x)的圖像大致為 () 解析:由已知條件可得函數(shù)關系y=f(x)=a(1+10.4%)x,a為草場綠色植 被的初始面積,故選D. 答案:D 123456 4.若a1,n0,則當x足夠大時,ax,xn,logax中最大的是. 解析:由指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)增長快慢的差別易知,當x足 夠大時,axxnlogax. 答